解析几何圆锥曲线的概念及性质

1、4.2解析几何-圆锥曲线的概念及性质一、选择题1(2010·安徽)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D(，0)解析：原方程可化为1，a21，b2，c2a2b2，右焦点为.答案：C2(2010·天津)已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：渐近线方程是yx，.双曲线的一个焦点在y224x的准线上，c6.又c2a2b2，由知，a29，b227，此双曲线方程为1.答案：B4(2010·辽宁)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l

2、，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8D16解析：解法一：AF直线方程为：y(x2)，当x2时，y4，A(2,4)当y4时代入y28x中，x6，P(6,4)，|PF|PA|6(2)8.故选B.解法二：PAl，PAx轴又AFO60°，FAP60°，又由抛物线定义知PAPF，PAF为等边三角形又在RtAFF中，FF4，FA8，PA8.故选B.答案：B5高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4

3、 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于BPADPC，则RtABPRtCDP，从而PC2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得2化简得x2y2x250，显然，P点的轨迹为圆答案：A二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c<bc2<b2a2c2e2<，又e(0,1)，所以e.答案：7(2010·浙江)设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：F，则B，2p

4、×1，解得p.B，因此B到该抛物线的准线的距离为.答案：8(2010·北京)已知双曲线1的离心率为2，焦点与椭圆1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析：椭圆1的焦点为(±4,0)，双曲线的焦点坐标为(±4,0)，c4，2，c2a2b2，a2，b212，双曲线方程为1，渐近线方程为y±x±x，即x±y0.答案：(±4,0)x±y0即xD，由椭圆的第二定义得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得a23c2，即e2，解得e.答案：三、解答题10已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆

5、上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解：解法一：设椭圆的标准方程是1(a>b>0)或1(a>b>0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中，令x±c，得|y|.在方程1中，令y±c，得|x|.依题意知，b2.即椭圆的方程为1或1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|，|PF2|.由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴故在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，于是b2a

6、2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.11(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足x1(x>0)，化简得y24x(x>0)(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方

7、程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0.又x，于是不等式等价于·y1y21<0y1y2(y1y2)22y1y21<0，由式，不等式等价于m26m1<4t2，对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(32，32)12(

8、2009·陕西，21)已知双曲线C的方程为1(a>0，b>0)，离心率e，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若，求AOB面积的取值范围解：解法一：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线axby0的距离为，即.由得双曲线C的方程为x21.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y±2x.设A(m,2m)，B(n,2n)，m>0，n>0.由得P点的坐标为，将P点坐标代入x21，化简得mn，设AOB2，tan2，tan ，sin 2.又|OA

9、|m，|OB|n，SAOB|OA|·|OB|·sin 22mn1.记S()1，则S().由S()0得1，又S(1)2，S，S(2)，当1时，AOB的面积取得最小值2，当时，AOB的面积取得最大值.AOB面积的取值范围是.解法二：(1)同解法一(2)设直线AB的方程为ykxm，由题意知|k|<2，m>0.由得A点的坐标为，由，得B点的坐标为.由=得P点的坐标为，将P点坐标代入x21得.设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)SAOBSAOQSBOQ|OQ|·|xA|OQ|·|xB|m·(xAxB)m·1.以下同解

10、法一7.1数学思想方法-函数与方程思想一、选择题1已知向量a(3,2)，b(6,1)，而(ab)(ab)，则实数等于()A1或2 B2或C2 D0解析：ab(36,21)，ab(36，2)，若(ab)(ab)，则(36)·(36)(21)(2)0，解得2或答案：B2设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2.若对任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A，) B2，)C(0,2 D，1，答案：A3f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a、b，若a<b，则必有()Aaf(a)f(b) Bb

11、f(b)f(a)Caf(b)bf(a) Dbf(a)af(b)解析：xf(x)f(x)0，即xf(x)0，xf(x)是减函数又a<b，af(a)bf(b)又b>a>0，f(x)0，bf(a)af(a)且bf(b)af(b)，bf(a)af(a)bf(b)af(b)，bf(a)af(b)答案：C4f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2)0，则函数yf(x)在区间(1,4)内的零点个数为()A2 B3 C4 D5解析：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.由f(2)0，得f(2)0.又f(x)的周期为3，f(1)0，f(3)0.又ffff，f0.故选D.答案：D5已

12、知对于任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()A1<x<3 Bx<1或x>3C1<x<2 Dx<2或x>3解析：将f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函数，记为g(a)(x2)ax24x4.当a1,1时恒有g(a)>0，只需满足条件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空题6已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_解析：只需求(xy)的最小值大于等于9即可，又(xy)1a·aa12a21，等号成立仅当a·即可，所以()2219，即(

13、)2280求得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值为4.答案：47若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)(22|x2|)2，要使f(x)2a有实根，只需2a是f(x)的值域内的值f(x)的值域为1,4)1a2<4，1a<2.答案：1,2)8已知函数f(x)，aR，若方程f2(x)f(x)0共有7个实数根，则a_.解析：设yt2t，tf(x)作出两函数的图象如图所示，由t2t0知t0，或t1，当t0时，方程有两个实根；当t1时，要使此时方程有5个不同实根，则a1.答案：19若数列an的通项公式为an×n3×nn(其中nN

14、*)，且该数列中最大的项为am，则m_.解析：令xn，则0<x构造f(x)x33x2x，xf(x)8x26x1令f(x)0，故x1，x2.f(x)在上为增函数，f(x)在上为减函数f(x)maxf即当x时，f(x)最大，n2时，a2最大m2.答案：2三、解答题10设P是椭圆y21(a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值解：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)，则|PQ|.又因为Q在椭圆上，所以x2a2(1y2)|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)21a2，因为|y|1，a>1，若a，则1，当y时，|PQ|取最大值；若1

15、<a<，则当y1时，|PQ|取最大值2，综上，当a时，|PQ|最大值为；当1<a<时，|PQ|最大值为2.11已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x1)f(x)1，当x为偶数时，f(x1)f(x)3，且满足f(1)f(2)5.(1)求证：f(2n1)(nN*)是等差数列；(2)求f(x)的解析式(1)证明：由题意得，两式相加得f(2n1)f(2n1)4.因此f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)成等差数列即f(2n1)(nN*)是等差数列(2)解：由题意得，解得.所以f(2n1)f(1)(n1)×42(2n1)，因此当x为奇数时，f

16、(x)2x.又因为当x为奇数时，f(x1)f(x)1，所以f(x1)2x12(x1)1，故当x为偶数时，f(x)2x1.综上，f(x).12某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3x与t1成反比例如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元，当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等(1)将2010年的年利润y万元表示为促销费t万元的函数；(2)该企业

17、2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润收入生产成本促销费)解：(1)由题意，得3x，将t0，x1代入，得k2.x3.由题意，知每件零售价为·.年利润yx(332x)t16xt16t50(t0)(2)y5050242(万元)，当且仅当， 即t7时，ymax42，当促销费定为7万元时，利润最大3.2数列求和及数列综合应用一、选择题1若等比数列an的前n项和Sn，且S1018，S2024，则S40等于()A.B. C. D.解析：根据分析易知：S1018，S20S106，S30S202，S40S30，S40，故选A.答案：A2数列an的通项公式an，若an的前n项和

18、为24，则n为()A25 B576 C624 D625解析：an()，前n项和Sn(1)()()124，故n624.选C.答案：C3(2010·大连模拟)设Sn为数列an的前n项之和，若不等式aa对任何等差数列an及任何正整数n恒成立，则的最大值为()A0 B.C.D1解析：a10时，不等式恒成立，当a10时，将ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化简得：2，max.答案：B4已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a20等于()A0 BC. D.解析：a10，an1，a2，a3，a40，.从而知3为最小正周期，从而a20a3×62a2.答案：B5(2009

19、83;广东)已知等比数列an满足an>0，n1,2，且a5·a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()A(n1)2Bn2C(n1)2Dn(2n1)解析：a5·a2n522na，an>0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3an1)log2213(2n1)log22n2n2.故选B.答案：B二、填空题6设数列an的前n项和为Sn，Sn(nN*)，且a454，则a1_.解析：由于Sn(nN*)，则a4S4S327a1，且a454，则a12.答案：27设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3，则

20、_.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则由a55a3知a1d，9.答案：98设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S44a16d10，即2a13d5，S55a110d15，即a12d3.又a4a13d，因此求a4的最值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4a13d，经过点A(1,1)时有最大值4.答案：49(2009·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出

21、的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_解析：1,1,2,3,5,8,13,21，该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5个数，故答案为5.答案：5三、解答题10(2010·济南模拟)已知等比数列an的前n项和为Snk·2nm，k0，且a13.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)方法一：依题意有解得a22k，a34k，公比为q2，2，k3，代入得m3，an3·2n1.方法二：n2时，anSnSn12n1·k.由a13得k3，an3·2n1，