华中科技大学-微积分-极限习题课及答案

1、例1求极限1limnCOSCOSp2220时，极限为1；n充分大时,sin歹0丨，原式limnsinsin。2lim(1n解 先求lim nln(1n所以原式=elim n(丄n另法利用1同理xm0x因为0时,lim xx 0即有由夹挤准那么得1，故原极限为1。2si陀limx 04lim WcosJxx 01 解 先求lim In cos xlimx 0-(cos、xx1)原极限为e 1/2。x e5lim x一- x e x exln xe i解 原式 limx e x exlnx ee. e1limx e x eeelimxx e x eexlnx eln xe (limx elim也x

2、 e x ee2er、1 cos x Jcos 2 x ? cos 3x16Iimx 011解 分子为 1 exp(ln cosx In cos2x In cos3x) 23(In cosx-In cos2x21,c、In cos3x),3原式xm0In cosx2x1 In cos2x2 x21 In cos3x3 x200cosx 12x1 cos2x 11 cos3x 1x2x22 33.练习1lim n Vn (tan-n. nsin#). n答案-x322sin xxeee eIimx 0 sinx x答案e3I1 cosx . cos2x limx 0n.cosnx2x答案丄n(n

3、 1)44x2lim (ex 0答案e 15lim (1- x)(1 3 x) (1 n x)x 1(1 x)n11答案 n!6Iim (sinx 1sinx)x提示和差化积，极限为 0设 a ( h?)， an 需 an 1?n1，求 Iim a1a2nan。提示：令 a0 cos ,0,，那么 an cos=。2例 2 设 x0R， xnsin xn 1, n 1，求 lim xnn解考虑x1 sin1,1，分三个情形：1丨假设x 0，极限为0.2假设x10，那么x2sin x-ix1，易得xnsinxn 1xn“1，故数列单调递3X10时，同理求得I综上极限为0.例 3 设为 a 0,

4、y1 b 0, ab，且Xn 1Xn yn ,? n 12(xn yn)证明 lim xn lim yn。nn分析 问题中的递推公式互相关联, 调有界准那么。且平均值不等式几何平均与算术平均可用，考虑单证 由于Xn 0,纱 n 0 ,且yn1 2(Xnyn )- xnynxn 1，?yn1 12(Xn yn)2n)%可知xn2Xnynxn 1, yn 1XnYn,Xn yn ,?那么 lim Xnnlim yn。n为单调增加数列，yn为单调减少数列，且 a Xn yn 6*故数列x* y极限都存在，设极限分别为 A,B，对yn 1 !(xn yn),?两边取极限得B (A B)/2，故注 此题

5、变化为：x1 a 0, y1 b 0, a b，且求以下函数的间断点并判断类型:1.f (x)x(X)sin x2 f(x) (1 e1x)1无定义的点x k ,k为整数.因为f(0 ),f(0 )，所以x 0是跳跃间断点;因为lim f (x)xlim x sin( x),所以x是可去间断点;k 0,1时，x k是第二类间断点。思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界?2无定义的点X 1及X 0 .因为Xlim f(x) 1/lim(1 e1),x 0x 0故x 0是f (x)的无穷间断点.又由于Xf(1 ) 1/lim (1 eC) 0，因?_x 11 xXf (1 ) 1/l

6、im (1 e1 x)1， 因x 11 x故X 1是f (X)的跳跃间断点例5设函数f (x)在闭区间0,1上连续,f (0) f (1)。证明存在X。0,1，使得f(x) f (X03)。122证令g(x)f (x)f (x)，0 x 一，那么由条件知g(x)在0,上连续，设33其最小值与最大值为 m,?M 。那么1 1 2m- g(0)g(：)g(；) m333又直接计算得知1 1 2 1 112 2Jg(0) g() g(-) 3(0)f() f(?) f(-) f(-) f(1) 02故由连续函数的介值定理，在区间0,内g(x)必能取到值0。亦即存在X0 0,1，31使得 f (X0)

7、f(X0 3)。3同型练习题：设函数 f(x)在闭区间0,1上连续，f(0) f (1)。证明存在X00,1，1使得 f (x0) f (x0),n 1。n例6 设函数f (x)在实轴上连续，且 f ( f ( x) X。证明 c，使f (c) c。数。例7设f(X)在X 1连续，且X 0 : f (x)2f (x )，证明：x0时,证对任x0, f(x) f(x)1f(x)1Tnf(x2 ). 令 n,利用f (x)是常1nx21及连续性条件得,f(x)limnf(x2 )c 11f (lim x2 )nf (1)，即f (x)恒等于f(1).同型练习题:设f(x)在x0连续，且f (x)

8、f (2x)，证明:f (x)是常数。n为常数，假设不等式sinx a2 s in2xan s innx x对所有xR成立,证明ai2a2nan设f(x)在()内连续，且任给x, y R，有f(x y) f (x) f(y)f (lim xn) lim f (xn) lim f 人nnn试证f (x)为线性函数f(x) ax，其中a f (1)。又 f(k) f (111)kf(1)，1 1f(1)f(一 一-)nf($，即 f(-)1-f(1)。n nnnnn从而f (m) mf)f (1)，故对有理数x都有f (x)f (1)x。nnn任给x (,)，存在有理数数列Xnx，利用f (x)的连续性，得证显然 f (0)0 , f ( x)f(x)，即f (x)为奇函数。f(x)f(1)x。注此题条件改为f (x)在x 0