动点路径长专题

1、专题3动点路径长选择题共2小题1如图，抛物线y=x2-二x -卫与直线y=x - 2交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达2 2抛物线的对称轴上的某点 E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点 B.假设使点P运动的总路径最短，那么点P运*/动的总路径的长为A 丄r2.如图，半径为4的O O中，CD为直径，弦AB丄CD且过半径0D的中点，点 F.当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为E为O O上一动点，CF丄AE于点A .兀B .酝C .墜兀D .遞 TT233填空题共9小题3. 2022?鄂尔多斯如图，直线y= - x+4与两坐标轴交 A、B两点，点M,当点

2、P从点0运动到点A时，那么点P为线段0A上的动点，连接 BP,过点AM运动路径的长为.4.如图，半径为 2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点 P.从点P向半径0A引垂线PH交0A于点H .设 0PH的内心为I，当点P在AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 5. 2022?江西模拟扇形的圆心角为60°半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到 O'A'B位置, 点O到O的路径是 OOitOiO2tO2O； 点O到O的路径是|严t； 点O在OitO2段上运动路线是线段 O1O2； 点O到O的所经过的路径长为纟TT.以上命题正确的选项是 .3

3、R 060A&06. 2022?宁德如图，在 Rt ABC纸片中，/ C=90 ° AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿 PB折叠，得到点C的对应点D P在C点时，点C的对应点是本身，那么折叠过程对应点7. 如图， AB=10 , P是线段AB上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边 ACP和厶PDB , 连接CD，设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时，那么点G移动路径的长是 .& 2022?湖州如图，点A是第一象限内横坐标为 2】；的一个定点，AC丄x轴于点M，交直线y= - x于点N .假设点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30

4、° BA丄PA，那么点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求 当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 .VV-JOC$9.2022?桂林如图，线段 AB=10 , AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以 AP、PB为边向上、向下作正 方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为01、02，当点P从点C运动到点D时，线段092中点G的运动路径的长是_ .XP. SC1/ '、10.2022?竹溪县模拟如图： AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1 ; P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB，连

5、结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到 点D时，那么点G移动路径的长是.11如图，一根长为 2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时AB的中点P运动的路径长为 米.BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒三解答题共1小题12.2022?义乌市模拟如图，边长为 4的等边 AOB的顶点O在坐标原点，点 A在x轴正半轴上，点 B在第一 象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点 O向点A匀速运动，当点 P到达点A时停止运动，设点 P 运动的时间是t秒.在点P的运动过程中，线段 BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转 60°得PC .1当点P运动

6、到线段 OA的中点时，点 C的坐标为 ;2在点P从点O到点A的运动过程中，用含 t的代数式表示点 C的坐标；3在点P从点O到点A的运动过程中，求出点 C所经过的路径长.1如图，抛物线点P从A点出发, 到点B .假设使点D .解答:且易得AB即是所求的长度. 解：如图2抛物线y=x2- x2II x -22 -2丄x - 2 2x 2,与直线y=x- 2交于 A、B两点,?动点路径长专题?参考答案与试题解析选择题共2小题y=x2-x -上与直线y=x - 2交于A、B两点点A在点B的左侧，动2 2先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动P运动的总路径最短，那么点P运动的总路

7、径的长为B .''J"1考点：二次函数综合题.专题：压轴题.分析：首先根据题意求得点 A与B的坐标，求得抛物线的对称轴， 然后作点A关于抛物线的对称轴 X的对称点4A',作点B关于x轴的对称点B',连接A'B',那么直线A'B'与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而4解得：x=1当x=1时,当x=时,y=x - 2= - 1,3y=x - 2=-点A的坐标为-冷，点B的坐标为1,-1，H2X1=4/抛物线对称轴方程为：x=-作点A关于抛物线的对称轴违的对称点A ',作点B关于x轴的对称点B',连接A

8、B ',那么直线A B '与对称轴直线x=2的交点是E,与x轴的交点是F, BF=B 'F, AE=A 'E,点P运动的最短总路径是 延长BB ', AA相交于C,13 二=1 , A1-4+1-AE+EF+FB=A E+EF+FB =A 'B',B C=1+w£,:W / A/I点P运动的总路径的长为工二2应选A.点评： 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用.2.如图，半径为 4的O O中，CD为直径，弦AB丄CD且过半径 0D的中点，点E为OO上一

9、动点，CF丄AE于点 F.当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为考点：圆的综合题.专题：压轴题.分析：连接AC , AO,由AB丄CD，利用垂径定理得到 G为AB的中点，由中点的定义确定出0G的长，在直角三角形AOG中，由A0与0G的长，利用勾股定理求出 AG的长，进而确定出 AB的长，由CO+GO求出 CG的长，在直角三角形 AGC中，利用勾股定理求出 AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形 ACF始终 为直角三角形，点 F的运动轨迹为以 AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG丄AE ,此时F与G重合；当E位于D时，CA丄AE，此时F与A重合，可得出当点

10、E从点B出发顺时针运动到 点D时，点F所经过的路径长AG,在直角三角形 ACG中，利用锐角三角函数定义求出 / ACG的度数，进 而确定出处所对圆心角的度数，再由 AC的长求出半径，禾U用弧长公式即可求出 两的长，即可求出点 F所 经过的路径长.解答：解：连接AC , AO ,/ AB 丄 CD , G为AB的中点，即 AG=BG=AB ,/ O O的半径为4,弦AB丄CD且过半径 OD的中点， OG=2,在Rt AOG中，根据勾股定理得： AG=J出0? _og?=2帀, AB=2AG=4 岳,又/ CG=CO+GO=4+2=6 ,在Rt AGC中，根据勾股定理得： AC-KG2= ,/ C

11、F丄 AE , ACF始终是直角三角形，点 F的运动轨迹为以 AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG丄AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA丄AE，此时F与A重合,当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长在 Rt ACG 中，tan/ ACG=t_=',CG 3 / ACG=30 °厂;所对圆心角的度数为 60°直径 AC=4 二 血的长为吧学& .那么当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为上二兀3点评:此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得

12、到点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长G-,是解此题的关键.二.填空题共9小题3. 2022?鄂尔多斯如图，直线y= - x+4与两坐标轴交 A、B两点，点P为线段OA 上的动点，连接 BP,过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动 到点A时，那么点M运动路径的长为 L .考点：一次函数综合题.分析： 根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点 M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的3,求出一上的长度即可.解答：解：/ AM垂直于直线BP, / BMA=90 °点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的

13、、,连接ON ,T直线y= - x+4与两坐标轴交 A、B两点, OA=OB=4 , ON 丄 AB , / ONA=90 °/ AB=4 二0故答案为:点评： 此题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据/ BMC=90 ° 判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力.18Q34.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形垂线PH交OA于点比设 OPH的内心为过的路径长为OAB的起上有一运动的点 P.从点P向半径OA引TnI，当点P在血上从点A运动到点B时，内心1所经7LA HO三角形的内切圆与内心.专

14、题：计算题.分析：如图，连 OI , PI, AI ,由厶 OPH 的内心为 1,可得到 / PIO=180 ° - / IPO - / IOP=180 ° - 1/ HOP+ / OPH2考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质;=135 °并且易证 OPI OAI，得到/ AIO= / PIO=135 °所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 135。的一段劣弧上；过A、I、O三点作O O',如图，连OA ,O'O,在优弧AO取点P,连PA,PO,可得/ APO=18O ° - 135°=45 ° 得/

15、AOO=90 ° O O=唾OA= X2=/，然后利用弧长公式计算弧 OA的长.解答:解：如图，连OI,/ OPH的内心为 / IOP= / IOA ,PI, AI ,I,/ IPO= / IPH ,点评: / PIO=180 ° - /IPOIOP=180 V/HOP+ / OPH，而 PH丄 OA，即 / PHO=90 °, PIO=180 書/HOP+ / 回=180 冷180 90° =135°2又 OP=OA , OI 公共，而 / IOP= / IOA , OPI OAI , / AIO= / PIO=135 °所以点I在

16、以OA为弦，并且所对的圆周角为过A、I、O三点作O O',如图，连O, , OO, 在优弧AO取点P,连PA, PO,/ / AIO=135 ° / APO=180。- 135 °45 ° / AOO=90 ° 而 OA=2cm , OSOA季 M,135 °的一段劣弧上;弧OA的长=故答案为:ISOcm.亠cm.2此题考查了弧长的计算公式:所以内心I所经过的路径长为cm .，其中I表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数.同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.5.2022?江西模拟扇形的圆心

17、角为60°半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O'A B位置， 点O到O的路径是 OO1tO1O2tO2O' 点O到O的路径是I丨 t - 宀; 点0在0102段上运动路线是线段 0102； 点0到0的所经过的路径长为二-以上命题正确的选项是 3考点：旋转的性质；弧长的计算.分析：圆心0由0到01的路径是以A为圆心，以0A为半径的圆弧；由01到02圆心所经过的路线是线段 0102; 由02到0',圆心经过的路径是：以 B为圆心，以0B为半径的圆弧据此即可判断.解答： 解：圆心0由0到01的路径是以A为圆心，以0A为半径的圆弧；由01到02圆心所经过的路线是线

18、段 0102 ；由02到0 '，圆心经过的路径是：以 B为圆心，以0 B为半径的圆弧.故正确的选项是： 故答案为：点评：此题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心0经过的路线是解决此题的关键.6. 2022?宁德如图，在 Rt ABC纸片中，/ C=90 ° AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片 沿PB折叠，得到点C的对应点D P在C点时，点C的对应点是本身，那么折叠过程对应点 D 的路径长是考点：翻折变换折叠问题；弧长的计算.分析：根据翻折变换的性质以及 ABC是等腰直角三角形判断出点 D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径 的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解.解答

19、:解：/ Z C=90 ° AC=BC , ABC是等腰直角三角形，如图，点D的路径是以点 B为圆心，以BC的长为半径的扇形,路径长=2 n180故答案为：2 n点评:此题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键.7如图, 侧作等边 时，那么点 AB=10 , P是线段AB上的动点，分别以 ACP和厶PDB，连接CD，设CD的中点为G移动路径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.专题：压轴题.分析： 分别延长AC、BD交于点H，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，那么G的运行轨迹 HAB 的中位线 MN，运用

20、中位线的性质求出 MN的长度即可.解答： 解：如图，分别延长 AC、BD交于点H ,/ Z A= Z DPB=60 ° AH / PD,/ Z B= Z CPA=60 ° BH / PC,四边形CPDH为平行四边形， CD与HP互相平分. G为CD的中点， G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以 G的 运行轨迹为 HAB的中位线 MN .4 FE MN=】AB=5，即G的移动路径长为 5.2故答案为：5.点评：此题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律,判断出其运动路径，综合性较强.8.2022?湖州

21、如图，点A是第一象限内横坐标为 2屈的一个定点，AC丄x轴于点M ,交直线y= - x于点N .假设点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30 :，二工 BA丄PA，那么点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点 P从点 O运动到点N时，点B运动的路径长是 .考点：一次函数综合题.分析:解答:1首先，需要证明线段 B0Bn就是点B运动的路径或轨迹，如答图所示.利用相似三角形可以证 明；2其次，如答图 所示,利用相似三角形 AB 0Bns AON ,求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路 径长.解：由题意可知，OM= I .，点N在直线y= - x 上, AC丄x轴于点M，那么 O

22、MN为等腰直角三角形， ON= F -OM= 上X?；.,=八卜.如答图 所示，设动点P在O点起点时，点 B的位置为B0,动点P在N点终点时，点 B的位置为Bn,连接B0Bn./ AO 丄 AB0, AN 丄 ABn, / OAC= / B0AB n,又 AB0=AO ?tan30° ABn=AN ?tan30° AB0： AO=AB n： AN=tan30 AB0BnsAON，且相似比为 tan30° B0Bn=ON?ta n30° -IX _ =-JO-JV-X' A/Vo芒答圏C现在来证明线段 B0Bn就是点B运动的路径或轨迹.如答图 所示

23、，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP , ABi, B0Bi./ AO 丄 AB0, AP 丄 ABi, / OAP= / BoABi,又 ABo=AO ?tan30° AB i =AP?tan30° AB0： AO=AB i： AP, AB0BiAOP , AB0Bi = Z AOP .又 ABoBns AON , / AB 0Bn= / AOP , / AB0Bi = Z AB0Bn , 点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径或轨迹综上所述，点 B运动的路径或轨迹是线段故答案为：，:.B0Bn,其长度为答图爲专题：压轴题.点评

24、:此题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大.此题的要点有两个：首先，确定点 B的 运动路径是此题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力； 其次，由相似关系求出点 B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，防止陷入坐标关系的复杂运算之中.9. 2022?桂林如图，线段 AB=10, AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形 APEF和PHKB ,设正方形对角线的交点分别为01、02,当点P从点C运动到点D时，线段092中点G的运动路径的长是 考点：正方形的性质；轨迹.专题：压轴题.分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线

25、的长，进而得出线段解答:解：如下列图：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线， 利用正方形的性质即线段 0102中点G的运动路径的长就是 020的长,线段AB=10 , AC=BD=2，当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB , AP=2 , BP=8 ,那么 01P= :, 02P=4 I!, . 02P=02B=4掘:，当P与D重合，那么 P'B=2，贝U AP=8 , 0'P=4 . I, 0P'= I:, H 0=B0, 020=4出-=3故答案为：3 一 1点评:此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据得出01

26、02中点G的运动路径的长.G点移动的路线是解题关键.10.2022?竹溪县模拟如图： AB=10，点C、D在线段 AB上且AC=DB=1 ;P是线段CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB，连结EF，设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，那么点G移动路 径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.分析:分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，贝U G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN .再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答： 解：如图，分别延长 AE、BF交于

27、点H ,/ / A= / FPB=60 ° AH / PF,/ / B= / EPA=60 ° BH / PE,四边形EPFH为平行四边形， EF与HP互相平分. G为EF的中点， G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点， 所以G的运行轨迹为三角形 HCD的中位线MN ./ CD=10 - 1 - 1=8, MN=4，即G的移动路径长为 4.故答案为：4.点评：此题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质， 判断出其运动路径，综合性较强.11.如图，一根长为 2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时 BC为1米，当A点下滑至A处并且解答此题的关键是作出辅助线，找到

28、点G移动的规律,A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为米.考点： 专题： 分析：解答:勾股定理的应用；弧长的计算.压轴题.先根据三角函数求出 / BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到/ ACP可得/ PCP的度数，再根据弧长的计算公式求解即可.解：连接CP , CP/ / ACB=90 ° BC=1 米，A B=2 米， / BA C=30 °/ P是木棒AB的中点， PC=PA=1 米， / PCA=30 °同理求出/ B CP =30 °贝U / PCP =30 °的度数，同理求出/ B'CP'的度数,B'点评:木棒AB的中点p运动的路径长为：故答案为:护.>2 n>2 n考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒 的弧长.AB的中点P运动的路径为半径为 1的扇形三.解答题共1小题O PA12.2022?义乌市模拟如图，边长为 4的等边 AOB的顶点O在坐标原点，点 A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度 由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒. 点P的运动