南京市、淮安市届高三第三次模拟考试数学试题及答案

1、南京市2022届高三年级第三次模拟考试数 学考前须知：1 .本试卷共4页，包括填空题第 1题第14题、解答题第15题第20题两局部.本试卷总 分值为160分，考试时间为120分钟.2 答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交答复题卡.参考公式：、 1方差 s2= n【(X1 X )2+(X2 x )2 + + (Xn x )2，其中 X 为 X1, X2,，Xn 的平均数.柱体的体积公式：V= Sh,其中S为柱体的底面积，h为柱体的高.1锥体的体积公式：V= 3Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.一、填空题：本大题共 14小题

2、，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.上.1 .全集 U = 1 , 2, 3, 4，集合 A= 1 , 4 , B= 3 , 4，那么?u(A U B)=.2. 甲盒子中有编号分别为1, 2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3, 4, 5, 6的4个乒乓球.现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 .3. 假设复数z满足z+ 2z= 3+ 2i,其中i为虚数单位，z为复数z的共轭复数，那么复数 z的模为 4. 执行如下列图的伪代码，假设输出y的值为1，那么输入X的值为 Read x甲乙77 908 94 810 35第5题图If x&g

3、t; 0 ThenX+ 1Else yj 2 x2End IfPrint y第4题图5. 如图是甲、乙两名篮球运发动在五场比赛中所得分数的茎叶图，那么在这五场比赛中得分较为稳定方差较小的那名运发动的得分的方差为.n16. 在同一直角坐标系中，函数x 0 , 2n 的图-象和直线 汽 的交点的个数是X2 y27. 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线2m2 3m=1的焦距为6,那么所有满足条件的实数 m构成的集合是3 18f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x 2, 4时，f(x)=log4(x 2),那么f(2)的值为9. 假设等比数列an的各项均为正数，且 a3 ai=2，那么a5的最小

4、值为10. 如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB= 1 , BC= 2, BBi= 3, / ABC = 90°点D为侧棱BBi上的动点当 AD + DCi最小时， 三棱锥D ABCi的体积为.11. 假设函数f(x)= ex( x2+ 2x+ a)在区间a, a+ 1上单调递增，Ci第10题图12.在凸四边形ABCD中,BD = 2, 且 AC BD = 0,(AB + DC)?(BC + AD) = 5,那么四边形ABCD的面积那么实数a的最大值为 .为 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆 0: x2 + y2=1，圆 M : (x+ a+ 3)2 + (y 2a)

5、2=i(a 为实数).假设圆 0 与圆M上分别存在点P, Q,使得/ OQP=30，那么a的取值范围为.14. a, b, c为正实数，且 a + 2b< 8c, 2 +2,那么3a+ 8b的取值范围为a b cc、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内.作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.15. 本小题总分值14分如图，在三棱锥 A BCD中，E, F分别为棱 BC, CD上的点，且 BD /平面 AEF .1求证：EF /平面ABD;2假设BD丄CD, AE丄平面BCD，求证：平面AEF丄平面C16. 本小题总分值14分向量 a= (2cosa, s

6、in2 a, b= (2sin a, t), a (0,21假设a- b=(5，0),求t的值；n2假设 t= 1,且 a ?b= 1,求 tan(2 a+ 厶)的值.17. 本小题总分值14分在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台I,看台n,三角形水域ABC及矩形表演台 BCDE四个局部构成如图.看台I,看台n是分别以AB, AC为直径的两个半圆形区域，且看台I的面积是看台n的面积的 3倍；矩形表演台BCDE中，CD = 10米；三角形水域ABC的面积为400 3平方米.设 / BAC = 0.1求BC的长用含0的式子表示;2假设表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价.第17

7、题图18. 本小题总分值16分如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆x2+ y2 = 1(a>b > 0)的右顶点和上顶点分别为 A, B, M为线段AB 的中点，且 OM AB = - 2b2.1求椭圆的离心率；k2,求证:2a= 2,四边形ABCD内接于椭圆,ki k2为定值.19. 本小题总分值16分常数 p> 0,数列an满足 an+ 1=|p an|+ 2 an+ p, n N*.1假设 a1= 1, p = 1, 求a4的值； 求数列 an的前n项和Sn.2假设数列an中存在三项ar, as, at (r, s, t N*, rv sv t)依次成等差数列，求 型

8、的取值范围.p20. 本小题总分值16分 入 R，函数f (x) = ex ex 心1 nx x+ 1)的导函数为 g(x).1求曲线y= f(x)在 x= 1处的切线方程；2假设函数g(x)存在极值，求 入的取值范围；3假设x> 1时，f (x)A0恒成立，求 入的最大值.南京市2022届高三年级第三次模拟考试数学附加题考前须知:1 附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交答复题卡.21. 【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每题10分，共

9、计20分请在答.卷卡指定区域内 作答.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 1:几何证明选讲如图，AD是厶ABC的高，AE是厶ABC的外接圆的直径，点 B和点C在直线AE的两侧.第 21(A)图求证：AB AC = AD AE .B.选修4 2:矩阵与变换2 x 11矩阵A =, X = ，且AX = ，其中x, y R .y 2121求x, y的值；1 1 2假设 B =，求(AB) 1.0 2C .选修44:坐标系与参数方程n曲线C的极坐标方程是 2 8 COSB+ 15= 0,直线I的极坐标方程是 0= ； R.假设P, Q分 别为曲线C与直线l上的动点，求PQ的最小值.

10、D .选修4 5:不等式选讲 x>0，求证：x3 + y2 + 3>3x+ 2y.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 本小题总分值10分在平面直角坐标系 xOy中，直线I : x= 1,点T(3, 0).动点P满足PS丄I,垂足为S,且0P ST=0.设 动点P的轨迹为曲线C.1求曲线C的方程；2设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线 PQ过点(1, 0)，线段PQ的中点为M，直线I与x轴的交点为N.求证：向量SM与NQ共线.23. 本小题总分值10分数列an共有3nn N*丨项，记f (n)

11、= aj+ a2+ a3n.对任意的k N*, 1 < kw3n,都有ak 0 , 1，且对于给定的正整数p (p>2), f(n)是p的整数倍.把满足上述条件的数列an的个数记为Tn.1当p= 2时，求T2的值；2当 p= 3 时，求证：Tn = ；8n+ 2( 1)n.南京市2022届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准、填空题本大题共 14小题，每题5分，计70分3厂3121 . 22. 83.54.156. 27.仏8. 29. 8: -1 1 + . ； 5610. :11. :求导12. 313. 6，014. 27, 3032512 .解：设 AC】BD O ,

12、OA a , OB b , OC c, OD d .依题意得(b a c d)(c b d a) 5, (c a)2(b d)2 5, (c a)2 4 5 9.13.解：当P为切点时，OQP 30，那么OQ 2，圆M上点到点0的最小距离OM 1 2所以(a 3)(2a)9，化简得5a 6a 0,解得a 0.51 014.解 1:令-x , cy，那么点.由平面区域可得,切切点为解2 :令ac2y3当直线z 3x(3,9)时,z 27 .3x 8y -(3x2y，那么2y3278,直线x2.2y2相交于A(2,3),B(4, 2)两8y过点A(2,3)时,8,且 3a 8b且3x2,，当xz

13、30 ;当直线z3x 8y与曲线8y .9-时等号成立.4将不等式组中两式相乘得232，又由一-x y更2x，有x y所以 3x 8y 4(x2y)8 x 30,当 x3时等号成立.自解二、解答题本大题共 6小题,90分解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15.本小题总分值14分证明：1因为BD /平面 AEF, BD 平面BCD,平面 AEF门平面BCD = EF，所以BD / EF .因为BD 平面 ABD, EF 平面 ABD，所以EF /平面 ABD . 6分2因为 AE丄平面 BCD , CD 平面BCD，所以AE丄CD . 8分因为BD丄CD , BD / EF，所以 CD

14、丄EF . 10分又 AE QEF = E, AE 平面 AEF , EF 平面 AEF ,所以CD丄平面AEF . 12分又CD 平面ACD，所以平面 AEF丄平面 ACD . 14分16.本小题总分值14分解：1因为向量 a= (2cosa, sin2a), b= (2sin a, t),21且 a b = (一, 0)，所以 cos a sina=-，t= sin255a., 1 + 2 1由 cos a sin a= 5 得(cos a Sin a = 25,124即 1 2sin acos a=小厂，从而 2sin acos a=.2525'49 所以(cos a+ sin

15、a2= 1 + 2sin acos a=25因为a (0 , n,所以 cos a+ sin a= 7所以(cos a+ sin a (cos a sin a 3 sin a= 5,从而29t= sin a= 252因为 t= 1,且 a ?b= 1,所以 4sin acos a+ sin2 a= 1,即卩 4sin acos a= cos2 a.n1因为 a (0 , 2),所以 cos a* 0，从而 tana= 4.所以tan2 a=2tan a2 =1 tan a815从而ntan2 a+ tanq15+1tan(2 a+ n = = 23n 871 tan2a tanq 1 帖9分1

16、1分14分17. 本小题总分值14分解：1因为看台I的面积是看台H的面积的3倍，所以AB= 3AC.1_800仁 ABC 中, S-ABC = 2AB?AC?sin =400M，所以 ac2=荷 3分由余弦定理可得 BC2= AB2+ AC2 2AB?AC?cos 0=4AC2 2寸3AC2 cos 0 =(4 2 3cos 0) 800 ,'“7 sin0，即BC =8002 3cos 03cos0)?sne = 40/0- 所以 BC= 40、P - pos 0,0 (0, n ) sin 02设表演台的总造价为 W万元.因为CD = 10m，表演台每平方米的造价为0.3万元,所以

17、W= 3BC =他丁岂評，氏(0, n记 f(0)= 2評，茨(0，n11分那么仁0)=气警由 f '( 0) = 0,解得 0=rn当 0 (0, 6)时，f '( 0) V 0;n沃(6, n时，f'(0)>0.n故f(0)在(0, 6)上单调递减,(n，n上单调递增,'6从而当0= n, f(0)取得最小值，最小值为f(6)= 1.所以Wmin = 120(万元).14分答：表演台的最低造价为 120万元.18. 本小题总分值16分a b解：1A(a, 0), B(0, b),由M为线段AB的中点得 MQ, 2).所以 OM = (|, 2), Kb

18、 = ( a, b).因为 OM AB = ；b2，所以(；，；) ( a, b)= : + ； = 2圧，整理得a2= 4b2,即卩a = 2b. 3分因为 a2= b2 + c2,所以 3a2= 4c2,即卩 3a = 2c.所以椭圆的离心率 e= c =呼.5分a 22方法一：由a= 2得b= 1，故椭圆方程为X + y2= 1 .1从而A(2, 0), B(0, 1)，直线AB的斜率为2. 7分因为1AB / DC,故可设 DC 的方程为 y= ?x+ m.设 D(X1, y1), C(X2, y2).联立1y= ?x+ m, x2X + y2= 1,4消去 y,得 x2 2mx+ 2

19、m2-2 = 0,所以xi + x2= 2m,从而xi = 2m X2.直线AD 斜率 k1=y1 :X1 212X1 + m，直线BC斜率k2=X1 21y2 1 2X2 + m 1X2X211分所以12x1 + mk1 k2 =X1 212X2 + m 1X21 14X1x2 2(m 1)x1 1?mx2+ m(m 1)(xi 2)X21 1 14X1x2 2m (x1 + X2) + 2X1 + m(m 1)X1X2 2X21 1 14X1x2 ?m 2m+ 2(2m X2)+ m(m 1)X1X2 2X21 14X1X2 2X2 1X1X2 2X24'16分1即"k2

20、为定值4.方法二：由a= 2得b= 1,故椭圆方程为:+ y2=1.1 从而A(2, 0), B(0, 1)，直线AB的斜率为2.X02设 C(X0, y0),那么 才+ y°2= 1.因为1AB/ CD，故 CD 的方程为 y= 2(x xo) + yo.联立1y= 2(x XO)+ yo,2消去y,得:+ y2= 1,4x2 (xo+ 2yo)x + 2xoyo = 0,解得x= xo舍去或x= 2yo.所以点D的坐标为(2yo,12xo).13分所以12X0k1 k2=2y0 2y0-1 = 1,即 k11-k2为定值;.16分19. 本小题总分值16分解：1因为 p= 1,所

21、以 an+1= |1 an|+ 2 an+ 1.因为a1= 1，所以a2= |1 a1|+ 2 a1+ 1 = 1,a3= |1 a2|+ 2 a2+ 1= 3,a4= |1 a3|+ 2 a3+ 1= 9.因为 a2= 1, an+1 = |1 an|+ 2 an+ 1,所以当n > 2时，an> 1,从而 an+ 1= |1 an|+ 2 an+ 1 = an 1 + 2 an+ 1 = 3an,于是有 an= 3n2(n?2).当n= 1时，S1 = 1 ；当n?2时，1 3n13n 1 3Sn= 1 + a2 + a3 + + an= 1+13 =21, n 1,所以Sn3

22、n13,n 2,23n 1 3即 Sn= 2，n N*. 8 分2因为 an+ 1 an= |p an| + an + p?p an + an + p = 2 p> 0,所以an+ 1 >an,即 an单调递增. 10分门当:?1时，有a1?p,于是an?a1?p,所以 an+1= |p an|+ 2 an+ p = an p + 2 an+ p= 3an,所以 an= 3n 1a1.假设an中存在三项ar, as, at (r, s, t N*, rvsv t)依次成等差数列，那么有2 a$= ar + at,即 2X 3s1= 3r 1 + 3t 1.* 2 因为 s<

23、t 1，所以 2X 3sr= 3X 3sv3t1v 3r1 + 3t 1，即* 丨不成立.故此时数列an中不存在三项依次成等差数列. 12分ii 丨当一1v31 v 1 时，有一pva1 vp.p此时 a2= |p a1|+ 2 a1 + p = p a1 + 2 a1 + p= a1 + 2 p>p,于是当n?2时，an?a2> p,从而 an+ 1 = |p an|+ 2 an+ p = an p + 2 an+ p= 3an.所以 an= 3n 2a2= 3n2(a1+ 2p) (n?2).假设an中存在三项ar, as, at (r, s, t N*, rvsv t)依次成

24、等差数列,因a2 p，由i可知，r = 1,于是有 2 x 3s 2(ai + 2 p) = ai + 3七 2(ai + 2p).因为 2< s< t 1,所以一a1 = 2X 3s 2 3t 2= 2x 3s1 x 3t1v 0.ai+ 2 p93因为2X 3s2 3t2是整数，所以 ai w 1,ai + 2 p于是 ai< ai 2p,即卩ai< p, 与一pv aiv p相矛盾.故此时数列an中不存在三项依次成等差数列. 14分iii当 p w 1 时，那么有 aiw pv p, ai + pw 0,于是 a2= | p ai|+ 2ai + p = p ai

25、 + 2 ai + p= ai + 2p,a3= |p a2|+ 2a2 + p= |p+ ai|+ 2ai+ 5p = p ai + 2ai + 5p = ai + 4p,此时有ai, a2, a3成等差数列.ai八综上可知：-"W 1. 16分20. 本小题总分值16分解：1因为 f'(x) = ex e入nx,所以曲线y= f (x)在x= 1处的切线的斜率为f'(1) = 0.又切点为(1, f (1)，即(1, 0),所以切线方程为y= 0. 2分2g (x) = ex e Anx, g'(x)= ex 入当AW 0时，g，(x)> 0恒成立，

26、从而g (x)在(0,+s )上单调递增，故此时g (x)无极值.4分当 A> 0 时，设 h(x)= ex x，贝V h'(x)= ex+ ；> 0 恒成立，所以h(x)在(0,+s )上单调递增. 6分当0 v Av e时，A Ah(1) = e A>0, hQ = ee ev 0,且 h(x)是(0, + )上的连续函数,因此存在唯一的xo (A 1),使得h(xo) = 0.当入?e时，h(1) = e入w 0, h(入4 ex- 1> 0,且 h(x)是(0,+ )上的连续函数， 因此存在唯一的xo 1 ,为，使得h(xo) = 0.故当 入0时，存在

27、唯一的 xo>0，使得h(xo)= 0.且当 0v xv X0 时，h(x) v 0, 即 卩 g'(x)v 0 ;当 x > X0 时，h(x)> 0, 即 卩 g'(x) > 0.所以g (x)在(0, X0)上单调递减，在(X0,+ )上单调递增，因此g (x)在x= X0处有极小值.所以当函数g (x)存在极值时，入的取值范围是(0,+ ). 3g (x) = fz(x) = ex e ；lnx, gz(x) = exX假设g (x) > 0恒成立，那么有 入w xeX恒成立.设(j)(x) = xeX(x> 1)，那么(j)(x)=

28、 (x+ 1) ex> 0 恒成立，所以yx)单调递增，从而怕)=e,即卩疋e.于是当入we时，g (x)在1 ,+ )上单调递增，此时 g (x)> g (1) = 0,即 f(x) > 0,从而 f (x)在1 , +s )上单调递增.所以f (x)> f (1) = 0恒成立.当 心e时，由2知，存在X0 (1 ,为，使得g (x)在(0, X0)上单调递减， 即f(x)在(0, X0)上单调递减.所以当 1 V XV X0 时，f，(x) v f(1) = 0,于是f (X)在1 , X0)上单调递减，所以f (X0)V f (1)= 0.这与x> 1时，

29、f (x) > 0恒成立矛盾.10分13分16分因此入w e,即入的最大值为e.南京市2022届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21 .【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4 1:几何证明选讲证明：连结BE因为AD是边BC上的高,AE是厶ABC的外接圆的直径,所以/ ABE =Z ADC = 90°.又/ AEB =Z ACD ,所以 ABEADC ,所以Ad = Ac，即 AB AC = AD AE.10分B.选修4 2:矩阵与变换解得 x= 3, y=

30、 0.2解：1AX =y1因为AX =22由1知x 2 2 yx 2= 1 所以x21，2 y= 2,2 3，又2 3所以AB =0 2a b设(AB)1c d口 2a + 4c 2b+ 4d 即4c 4d，那么2a+ 4c = 1,所以4C=0, 解得2b + 4d = 0,4d = 1,1 2 即(AB) 1 =1c= 0, d=4说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构C .选修4 4:坐标系与参数方程解：由于 2= x2 + y2, cos 0= x,所以曲线C的直角坐标方程为 x2+ y2 8x+ 15= 0,10分即(X 4)2+/= 1所以曲线C是以(4, 0)为

31、圆心，1为半径的圆.直线I的直角坐标方程为 y= x,即x y= 0.因为圆心(4, 0)到直线I的距离d =|4 0|=2 2> 1.所以直线I与圆相离，从而 PQ的最小值为d 1= 2 2 1.8分10分D .选修4 5:不等式选讲证明：因为 x> 0，所以 x3+ 2= x3+ 1 + 1 > 3彳 x3X 1 X 1 = 3x,当且仅当x3= 1, 即卩x= 1时取“ = . 4分因为 y2 + 1 2y= (y 1)2> 0,所以 y2+ 1> 2y,当且仅当y= 1时取“ = .8分所以(x3 + 2)+ (y2+ 1) >3x+ 2y,即 x3

32、 + y2+ 3>3x+ 2y,当且仅当 x = y= 1 时，取 “ = . 10 分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内 作答.解容许写出文字说 明、证明过程或演算步骤.22.本小题总分值10分解：1设P(x, y)为曲线C上任意一点.因为PS丄I，垂足为S,又直线I: x= 1，所以S( 1, y).因为 T(3, 0)，所以 ST= (4, y).因为赤=(x, y), O)P ST= 0,所以 4x y2= 0，即 y2= 4x.所以曲线C的方程为y2= 4x. 3分2因为直线PQ过点(1, 0),故可设直线 PQ的方程为x= my+ 1 . P(X1, y1), Q(x2, y2).联立 y 4x， 消去 x,得 y24my 4= 0.x= my+ 1,所以 y1+ y2= 4m