华南理工高数第8章

1、第八章 重积分作业 9 二重积分的概念与性质1利用二重积分的性质 ,比拟以下积分的大小：1 (x y)d D与D(x y)0 ln 1 x y z ln 1 x y z ，因此 ln(1 x y z)dv 大 d(a)D 是由直线 x0,y0 及 xy 1所围成的闭区域；(b) D 是由圆周 (x2)2(y 1)22 所围成的闭区域解：(a)因为在区域内部有x y 1,23x yx y ，从而D2(x y)2d 大(b)因为在区域内部有xy 1, x23yx y ，从而 (xDy)3d 大 2exyd与2xy edDD(a)D 是矩形闭区域：0x 1,0y 1 ；(b) D 是矩形闭区域： 1

2、 x 0,0 y 1解：(a)因为在区域内部有 0 xy 2xy,1exye2xy，从而e2xyd 大D(b)因为在区域内部有0 xy 2xy,1exye2xy0 ，从而Dexyd大 3ln(1 xy z)dv 与ln2(1 xyz)dv ，其中是由三个坐标面与平面 x y z1所围成的闭区域解： 因 为在 区域内 部有 11 xyz2e,0 ln 1xyz 1 ， 从而2 利用积分的性质，估计以下各积分的值：1I xy(x y)d ，其中D是矩形闭区域：0 x 1,0 y 1 ；D解：因为在区域内部有 1 xy(x y) 2,2I ln(1 x2y2z2)dv,其中 为球体 x2 y2 z2

3、1；解：因为在区域内部有 1 ln(1 x2 y2 z2) In 2,V，34因此01 In 233I (x y)ds，其中L为圆周x2 y2 1位于第一象限的局部;L解：因为在曲线上积分，不妨设 x cost, y si nt, , 2 x y cost si nts L 2 ，因此 2、2 I 2.2 ， 2 22一 dS，其中x y z为柱面x y 1被平面z 0, z 1所截下的局部.解：因为在曲面上积分，从而1，S因此 I 2作业10 二重积分的计算1 .试将二重积分f (x, y)d 化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为:D1由直线y x, x 3及双曲线xy 1所围成的闭区域

4、；1解：作图得知区域 D可以表示为：1 x 3,1 y x，x3 x得f (x, y)ddx fx, y dyD11x区域D也可以分块表示为：1y1,1x 3;1 y3, y x 33y1333从而f (x, y)ddyf x, ydxdy f x, ydxD131y1 y2环形闭区域：1 x2 y24.解：在极坐标下环形闭区域2 21 x y 4 为 1 r 2,0从而 f (x, y)dD在直角坐标下环形闭区域1 <4 x2I dx f x, y dy2 4 x2f rcos ,rsin rdr2 2x y4需分块表达，分块积分变为1rvdx f x, y dy1x21- ：4 x2

5、dx fdy11 x224 x2dx fdy14 x22 .改换以下二次积分的积分次序填空：2y4x2 f (x, y)dx dx f x, y dy ；7012ody2dx1'22_211 s1 y2x x2 x f(x, y)dy dy f x, y02 ydx;1ody2y33 y23 x0 f(x, y)dx 1 dy o f(x,y)dx dx f x, y0X-dy .3 画出积分区域，并计算以下二重积分：1 x yd ，其中D是由两条抛物线 y x, y x2所围成的闭区域;D解：作图，原式1 xdx x ydy0 x21 2x0$3 2 4 114 32 4 Jx4 x

6、 dxx43 115 x "52ex ydD，其中D是由X1所确定的闭区域;解：作图，原式01 xdx ex ydy1 x 11 1dx0 x 1xx ye dy3x2 y2 d ,其中D是由不等式0 yDsinx,0 xn所围成的闭区域;sin x解：作图，原式=dx (x2 y2)dy(x2 si nx0 0 03sin3x)dx2 4944 xcos(x y)d ，其中D是顶点分别为(0,0),(兀0),( n,Dn的三角形闭区域.x解：作图，原式=xdx cos(x y)dy0x(sin2x sinx) dx024.求由y 2px2 2p ,y2qxq2(p,q0)曲线所围成

7、的闭区域的面积.解：曲线方程联立，得2pxc22qx q ,x,ypq2 2q ydx呻'pq作图知，原式= dy 何 y2 p2 2ppq 22q ypq2q2 2y p2pdy* pq5 .求由四个平面x 0, y0,x1, y 1所围柱体被平面0及2x3y z 6所截得的立体的体积.解：四个平面x 0, y 0, x 1,y 1决定的区域D为:1,0在区域D内部z 6 2x 3y从而所截得的立体的体积1 1dx3y dyV 6 2x 3y dv dy 6 2x 3yD006.化以下二次积分为极坐标系下的二次积分: 11 10dy ° f(x,y)dx14 cosf rc

8、os ,r sin rdr d f r cos000,rsin rdr1sinf r cos , r sin0rdr40r cos ,r sin rdr ；2v3xI 2 220dy x f C.x y dy7 .利用极坐标计算以下积分：2 21 ex y d ，其中D是由圆周x2 y2 4所围成的闭区域;D2 2解：D是圆周x y 4，即0 r 2,02 2222 1 2 er rdr2er2e4 1从而x y Ie ddD00202X ydD，其中D是由圆x2 y2 xy所围成的闭区域;解：D是圆周x22y xy围成，知其为 0 r cos sin 、2 sin -4解：D是圆环的关于原点

9、对称的两局部,a r b， arcta narcta n 与3 42sin 4从而原式=r cossin rdrd、2 sindr2drD44034 ,2 sin 4,424.8 31d2 sin tdt 434303 42 223yd , D 是x yx 与 a2x22yb20,a bD确定的闭区域;arcta narcta n从而原式=r sinDrdrdarcta nbarcta nbsin dr2drsin dr2drarcta naarcta naarcta narcta nb3 rcosarcta narcta ncos由对称性更简单：因为 x, y Dx, yD，对称点的积分微元

10、反号4 xd ，其中D是介于两圆x2D2 2 2y 2x和x y 4x之间的闭区域.解：D介于两圆之间，可知 2cos r 4cos从而原式=r cos rdrdDcos d2112 2 4 d cos d112 3 134 2 2&用适当的坐标计算以下积分：1x2 y2d ，其中D是由直线yD所围成的闭区域；4cosr2dr64 8 cos4 dx a，y a，y 3a a 0a y 3a, y a x y(xy2)d3ay2 2x y dxdyDay a4y a3a4 y1334 2412ay312a解：作图知D由直角坐标表达方便,3a33yya2aydya34小 424 1448

11、421 49aa -aa1232y2 Rx所围成的闭区域;2. R2x2y2dD其中D是由圆周x2解：由表达式D由极坐标表达方便,0 r RcosRcos原式= R rDrdrd、R2r2 rdr22 -2 -R333 sin2r332.3sin02 _R3R3dudvrdrd,01,0原式:= uvDu v12dudv= d012 r0sin2111sincoscos sind0432d,vu x 1 r cosy 1 r sin2x221.cos rcossin1 rdr1 . 212 sinsincos8320D :yb2abrdrd ,0 r 1,0解：用广义极坐标 x ar cos

12、, y br sin21原式=d rrdr00作业11三重积分的概念与计算1 .试将三重积分f (x, y, z)dv化为三次积分，其中积分区域分别为:1由双曲抛物面 xy z及平面x y 10, z 0所围的闭区域11 x xyf(x,y,z)dvdx dy f x, y, z dz ;0 0 02由曲面z x22 22y及z 2 x所围的闭区域f(x,y,z)dv212 r2 cos2d rdr00r2 1 sin2f r cos , r sin ,z dz.2.计算以下三重积分:1 (1 x yz?dv，其中为平面x 0,y0,zz 1所围成的四面体;解：分析边界作图知为 0 x 1,0

13、 y 1 x, 011 x 1 x原式=dx dy01(1 x y(1112 0In 2 52 162xy2z3dxdydz,其中是由曲面xy z与平面y,x 1, z0所围的闭区域;解：分析边界作图知为01,0 yxy丄 1 x12dx28。12643 xzdxdydz，其中是由平面y, y1,z0及抛物柱面zx2所围的闭区域.解：分析边界作图知y 1,0x21 y x2原式= dy dx xzdz0 0 0ydy x5dx20 011216y dy01843 利用柱面坐标计算以下三重积分：x2 V221 e dv，其中 是曲面x2V 1和平面z 0, z 1所围成的闭区域;解：原式rdr

14、e'dzr rdrr2V2所围成的闭区域;21#2 r2解：原式drdrzdz00r22 11r小24.1 21 41 67d-2r r dr2-r-r-r0 02246012zdv,其中是曲面z 2 x2 y2及z x2(x2 V2)dv '其中是曲面z 2(x22V )和平面z 2所围成的闭区域;222解：原式drdr2 rdz002r222 21 2 r2d r3 20 0dr21 4 r2丄r612163(x3 xy2)dv,其中是曲面x2 (v 1)2 1和平面z 0,z 2所围成的闭区域.解：先作坐标轴平移，再用柱坐标u x r cos , v y 1 r sind

15、v dudvdz rdrd dz,0r 1,02 ,0 z 2原式.2 sindsin2123 uu v 12dudvdz=d33r cosrcosrsi n21 rdr dz1000212d43r cos4. 2r sincosc 32r cossin2r cosdr00215315.21 41 312r cos-r sincos一 r cossin-r cosd05523024 利用球面坐标计算以下三重积分:1.x2y2 z2dv，其中是球面x2 y2 z2 R2所围成的闭区域;解：xcos sin , ysin sin , z cosdv 2 sin d d d ,0R,02 ,02R原

16、式 d d0 0 02 sin d-4 sin4R coszdv，其中是由不等式x2z2 2Rz R 0，z Jx2 y2 所dv2 sindd d ,02Rcos ,0242 Rcos原式dd2 . , cossin d000确定的闭区域;解: x cos sin ,ysin sin , z cos2 ,0 -42 Rcoscos sin42d0 404445,8 R cos d cos6 cos是不等式x2y2 z21 , z . x2 y2 所确定的闭区域.解：xcos sin,ysinsindv2 sin d dd ,01,0241原式dd-.122 sin0 0 02 2 21cos

17、4tdt2081 x2 y2 z2dv，其中5.选取适当的坐标计算以下三重积分:zcos2,0 -44-22 2d2cos0cos tsin tdt0肩tsin 4t丿222728320161 xydv,其中是柱面x22y 1 及平面 z 0, z 1，x 0, y0所围成的在第一卦限内的闭区域; 解：用柱坐标xr cos,y r sin ,dvrdrddz,0r 1,01,0 z12z1 1z1.2z1原式=drdr r sinr cosdzd3r sin cosdrsin00 0008082, x2 y2 z2dv，其中是球面x2 y2 z2 z所围的闭区域;解：用球坐标xcos sin

18、,y sin sin , zcos2dv sin d d d ,0cos ,02 ,0222cos2cos4 sin d原式dd2 sin d0 0 02 0(x2 y2)dv，其中是由曲面4z225(x2105cos102y )及平面z 5所围的闭xr cos , yr sin ,dvrdrddz,02 2525 4 r原式=d rdrr2dz 235r0 05r2022 2x yz242xe adv ,其中是球面2 x区域； 解：用柱坐标区域;2,025rrz 55 4 -r122dr25 r8420y2 z2 a2所围的在第一卦限内的闭dv2 sindd d ,0a,0尹22a2原式dd

19、cos sinea22 sin d000解：用球坐标xcos sin , ysin sin , z cos2 21 2 cos d sin20 0a2 丄dtedt0sin 22 界 丄a2 tdea25t a2tea2a2上edt、2 、，2r2x yza2 b2c200dv ,解：用广义球坐标a4其中cos是椭球面sin2 x2 a2 y b22 z2 c1所围成的闭区域.sinsin,zcos2dv abc sin d d d ,01,02 ,0原式1abc 2 sin d4 e 2 abc2 abc cos c2de00作业12 重积分的应用1.球心在原点，半径为 R的球体，在其上任意

20、一点的体密度与该点到球心的距离成 正比，求这球体的质量.解：设球面的方程为z R ，球的密度为k. x2那么球体的质量为dvk.x2 y22zdvo3sin d2k cos3dk R42.求球体X22az的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的距离的平方.解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为 0,0, z022 2a cosd do oo4 sin cos d22a cos sin cos0267cos26a535x2y2 z2dv3 .sinsin042 a cos25a445cos52520Zo8a73设均匀平面薄片为椭圆形闭区域:2 x 2 a2y_b2求转动惯量.解：用

21、广义极坐标21xydd2 2 b r2 sinD0021yx2dd2 2 a r2 cosD002.3 1cos21 ,.3ab 一dab0244231cos213.a bda b0244O2 2(x y )dIxI y2 2a b abD4I ooR，球的密度为 k、.、x y z22° f 22x y k/x yz2dvR13k 64,厂-COScos-k R30 60 9解：设环域上点x,y,0处的单位面积产生的引力微元为dFG d2 r由对称性FxFyFzaG dR aGD 3 x2aG,r2 a21aGR2 a2a26 .一均匀物体密度为常量占有的闭区域2 2由曲面z x

22、y和平面z 0,x a, y a所围成，1求物体的体积;2求物体的质心；3求物体关4 .设半径为R的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比，求质量为M非均匀球体对其直径的转动惯量.解：设球面的方程为 x y2 z那么球体对其直径的转动惯量为2R53d d k si nd 2k0 0 05.求面密度为常数的均匀圆环形薄片：r2 x2 y2 R 2, z 0对位于z轴上的点P 0,0, a a 0处的单位质量的质点的引力.于z轴的转动惯量.解：Va ax2 y2dx dy 1dza a0a adxx2 y2 dya aa4 ax2a dx 8a433由对称性，质心应该在 z轴上，可设为0,

23、0,4Mza a x2 y2dv dx dyazdzx42x2 y2dyIz4ax2a3 2xdx5645adx dya a0dza adx0 04 y7a21511245第八章?重积分?测试题1.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论:1设有空间闭区域1 x, y,x xf (x, y)dxdy得极限为 B.等于 f (0,0)2x,y,x2 x2 2 o2y zR那么有DAxdv4xdv ;12Czdv4zdv ;122设平面闭区域D x, y a x a,x y2 2y zR2,z 0x0, y0,z0 ,B1ydv4 ydv ;2Dxyzdv14 xyzdv.2,D1x,y0 x

24、a,x ya ,贝U (xy cosxsin y)dxdy A DA2 cosxsin ydxdy ;DiB2 xydxdy ;DiC4 xy cosxsin y dxdy ;DiD0 .3设f (x, y)是有界闭区域2 2 2D:x y a上的连续函数，那么当a 0时,A.不存在;C.等于 f(1,1)D.等于 f(1,0).2选择适当的坐标系计算以下二重积分:x, y 0, xn2所围成的区域;1 |cos(x y) | d , D 是由直线 yD解：作图，分块积分。原式cos(x y)dD1cos(x y)dD24 2ydy cos(x0 y2xy)dx dx cos(x y)dy42

25、 xsin 2y dycos2y/2sin 2xy2d ，其中解：作图，分块积分。原式cosxdxy2dy0dxcos2y2cos2xx2D是由n, y 0 和cosx所围成;sin x.3sin x3原式=422max x , y exdx0 1,2dy(x2Dy2)d区域，且解：作图知y2y2原式 dyy7 y215 y_55D(y解：作图知0dx ycosx1 .sin3，其中Dydy ey dx0 1，其中Dcosx没有用上dxdy.3sin x3(x,y)|012 dx e0是由6 y3xx2dy2x, y34y31,01;212 xe0x,ydyx2dx1ex2cosx所围成的平面

26、761105x)2d2x,xR2，yR,y2y ，分块积分区别处理较方便RR2原式 dy0x22xy dxR 0dy0 y R2dxr2 2r2 sincos rdrRJdy R421 2sin0 3 4 0cosd - R483.交换以下二次积分的次序:140dy1*y 4).f(x,y)dx¥0dx24 x22x4f(x,y)dy ；4.将1dx01dx011 x2x f(x,y)dyX1y20dy 0 f (x,y)dx22厂y21 dy 0 f(x,y)dx ;2x0 f(x,y)dy13 x1 dx 02f (x, y)d y13 2y°dy f(x,y)dx.&

27、#165; yf (x, y)dxd y变为极坐标形式的二次积分，D其中D由不等式x 0, y(x2 y2)3 4a2x2y2 所规定.解：由 x r cos 0, y rsin00223222(x y ) 4a x yr asin2从而 f (x, y)d xd yDasin 2f r cos0,r sinrdr5.计算D解：作图，需要分块积分其中D是矩形域:1,0原式1x2dx x21 0y dy1dxx2dyx2x4dx2x2 2x4dx6.计算y sin x dxdydz, x其中1115解：作图或分析推理，得：02 - x2原式 dx dy0 0xy sin x dz0 X x,y0

28、,z0,xn-所围.2cosx42 dd cosx2 0x ,0 y22 x ., ysinx dx0 Xxcosx2dy2ocosxdx7 .将三次积分I1°dyf(x2y2z2)d z变为柱坐标及球坐标的形式.解：由上下限知：0 y 1, 、. y y2 x y y2,0 z . 3 x2 y2从而由坐标转化公式可推出区域表达式，因此得出sinro在柱坐标下I d rd r f (r20 0 0sin在球坐标下I d 2d 矿f( j0 /6 02 2 2&计算 (x z)e (x y z)dv，其中z2)dz2 . .sin d2 2 2:1 x y z 4,x 0,y

29、 0,z 0.解：由知:12,0从而，原式2d02d0cossincos2 sin d2d0cossincossincos1 2sin24te1 22dtdttee tdt1 cos44e2e5e49 .计算以下三重积分:1zln (x2y222x ydv, z2 1是由球面z21所围成的闭区域.解：由于当x, y,z时就有 x, y,而积分微元zln (x2 y2在对称点刚好反号，从而zl n(x22x2y2y2zz2 1z2 1)x2 y2 z2_VdV与平面x5所围成的闭区域.解:曲线y222x绕x轴旋转而成的曲面为 yz2 2x,与平面x 5的交线为2yz210,x5，所围成的闭区域为:02 ,0r "0,2 x 5(y2 z2)dv,其中是由xOy平面上曲线y2 2x绕x轴旋转而成的曲面2