动态问题---点动是源泉(数学)

1、动态问题-点动是源泉河北省怀来县桑园中学075441 古金龙动态问题一般是指几何图形的运动，包括点动点在线或弧上运动、线动线的平移、对称、旋转、面动平面几何图形的平移、对称翻折、旋转。这类问题具有灵活性，多变性，融入三角形，四边形，圆，甚至函数图象，综合运用全等知识，相似知识，三角函 数，勾股定理等知识；同时运动产生变量，又和函数联系起来，利用一次函数、二次函数性 质解释动态问题。数形结合的升华局部就在此。但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是 无数个点的运动。点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷， 但万变不离其中，解决问题要抓住

2、一些关键点即可，现举例说明：一、双点动回归单点动点动包括单动点型、双动点型，其中双动点型在中考里常见的，两点速度可以是同速、 异速，方向随图形形状而有所要求。例1 09浙江丽水直角坐标系中菱形ABCD勺位置如图，C, D两点的坐标分别为4,0 , 0,3.现有两动点PQ分别从AC同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q 沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒1填空：菱形ABCD勺边长是 、面积是_、高BE的长是2探究以下问题： 假设点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2 个单位当点Q在线段BA上时，求 APQ的面积S关于t的 函数关系式，以及 S的最大值； 假设点P的速度为每秒1个

3、单位，点Q的速度变为每秒 k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的 k值，使得 APC沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形 为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出 k的值.解析：此题P点限定在一条线段上， 而Q点是在折线上 运动，由此注意分类。2 中重新限定了 Q点在线段上,所以只需求出三角形高用相似知识即可；中Q点的速度是变量，且运动路线分段，故需分类讨论，解决这一问还需知道两个三角形能组成菱形，那么此三角形必是等腰三角形。解:(1) 5 , 24,5(2由题意，得 AP=t , AQ=10-2t.如图1,过点Q作QGL AD垂足为G,由QG/ BE得 AQg ABE, QG

4、 =QA,BE BAqg48_48L,5251 24 丄 2 24 5S AP QG t2 t( w t w 5).2 2552T S = (t5)26(§ w t w 5).25225当t = 5时，S最大值为6.2DPOACQ(图1)E G 要使 APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴当t=4秒时，点P的速度为每秒1个单位， AP=4.以下分两种情况讨论对称的性质，只需 APQ为等腰三角形即可POACemQ1(图2)FMQ1FOD33, -FMAMCQ1AO42Q1F=MQ1-FM3310第一种情况：当点 Q在CB上时，/ PQ> BE>

5、PA 只存在点 Q,使 QA=QP.如图2,过点Q作QmAP,垂足为点 M QM交AC于点1F,那么 AIM AP = 2 .由厶 AMFo AOEh CQF,得2 cq=¥qf=?2.那么口 二空， “生3 5 k t CQ1AP 10第二种情况：当点 Q在 BA上时，存在两点Q, Q,分别使 AP= AQ,PA=PQ. 假设 AF=AQ，如图 3,CBBQ=10-4=6.那么忙 AP , . k=CB + BQ2.k t CB BQ2AP 2 假设PA=PQ,如图4,过点P作PNL AB垂足为 N, 由厶ANPA AEB得塑二塑.AE ABt AE= . AB2 - BE2 =7

6、 , AN= 28 .525 A(Q=2AN=56 , BC+BQ=10- 56 二!94DPEOCBAN *Q 3(图4)252525那么 1 x t AP k CB +BQ397Vt =cb bq3-AP"50.综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形 APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为U或3或岂.10250说明：由此题看出双动点问题可以转化为单动点问题来解决，逐个攻破，动中找静，假 设一点符合条件，描出此点就此处解决。二、点动引起线动 线的运动其实是直线或线段与几何图形的交点不断发生变化，在前几年考查上很单一， 近几年中考命题上有所突破。(09河北)如图5，在RtA

7、 ABC中，/ C=90° , AC = 3, AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC返回； 点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动.伴随着 P、Q的运动， DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当 点Q到达点B时停止运动，点 P也随之停止.设点 P、Q运动的时间是t秒(t > 0) .(1) 当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是;(2) 在点P从C向A运动的过程中，求 APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3

8、) 在点E从B向C运动的过程中，四边形 QBED能否成 为直角梯形？假设能，求 t的值.假设不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.解析：此题需弄清楚双点运动的路线及方向，且射线DE的产生A过程。想象出整个运动中各个图形位置关系变化的时段，运用相A似、勾股定理建立函数、方程(等式)，当然分类思想必不可少。解：(1) 1, 8;5(2) 作 QF 丄 AC 于点 F，如图 5, AQ = CP= t,. AP =3 -1 .由厶 AQFs ABC, BC = 52 32 =4 ,得QF4 QF t.51 4S (3 -t) t,2 5即 St26t .55(3) 能.当DE

9、 / QB时，如图6.DE丄PQ,. PQ丄QB，四边形 QBED是直角梯形.由厶APQ ABC，得 如=空AC AB 'R此时/ AQP=90 °即 I =3 135如图7,当PQ / BC时, 此时/ APQ =90° .DE丄BC,四边形QBED是直角梯形.由厶 AQP ABC ,得 AQ AP_ AC，即5浑.解得t15"845 t14【注：点P方法一、连接PC =t , QC2由C向A运动，DE经过点C.QC,作QG丄BC于点G,如图8.-QG2 CG2 £(5t)2 4 啟5t)2 .55345由 PC2 二QC2，得 t2 = (5

10、 _t)24 (5-t)2，解得 t 二一552方法二、由CQ =CP =AQ，得.QAC =/QCA，进而可得52 .B=. BCQ，得 CQ = BQ , AQ = BQ=2 .二tC,如图9.t/】14点P由A向C运动，DE经过点23226_t二【35t 4-45 7,55变为双向且往返；另外此题最大亮点探求问题时，按要求画图找到DE位线段垂直平分线性质求解。考查说明：此题一改正去点的运动方式单向单程 是两个点的运动带动了射线的运动不是线的平移 置动中找静，利用相似三角形判定、性质，直角梯形、 了综合能力。三、点动带动面动例1 设边长为2 a的正方形的中心 A在直线l上，它的一组对边垂直

11、于直线l，半径为r的O O的圆心O在直线I上运动，点A、O间距离为d。1如图10，当r v a时，根据d与a、r之间关系，将O O与正方形的公共点个数填入下表:A图10d、a、r之间关系公共点个数d > a+rd = a + ra r v d v a + rd =a rd v a - r所以，当r v a时，O O与正方形的公共点个数可能有 个；(2) 如图11,当r =a时，根据d与a、r之间关系，将O O与正方形的公共点个数填入下表:图11d、a、r之间关系公共点个数d > a +rd =a + ra < d v a + rd v a5共点时，试说明r a ；4(4) 就

12、r > a的情形，请你仿照 “当时，O O与正方形的公共点个数可能有个的形式，至少给出一个关于O O与正方形的公共点 个数的正确结论。解析：此题很象学过的圆和圆位置关 系的探索，(1) (2)问按要求动手画一画 即可出答案，思维活泼同学，能够想象出来。图12(3) 问借助几何知识，利用等式关系求解，(4)所以，当r =a时，O O与正方形的公共点个数可能有 个;(3)如图12,当OO与正方形有5个公问的思维含量较高考虑要全面(通过半径变化产生分类)解：(1)d、a、r之间关系公共点个数d > a + r0d =a + r1a- r v d v a + r2d =a r1d v a

13、r0所以，当r v a时，O O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2 个;d、a、r之间关系公共点个数d > a +r0d =a +r1a < d v a + r2d v a4所以，当r =a时，O O与正方形的公共点个数可能有0、1 2、4 个;3如下图，连接 OC.那么OE=OC= r， OF=EF-OE= 2a - r。在Rt OCF中，由勾股定理得，oF+fC=oC2225即2a-ra訂.整理解得r亍。一54当a v r v a时，O O与正方形4的公共点个数可能有 0、1、2、4、6、7、8个;5当r a时，O O与正方形的公共点个4数可能有0、1 2、5、8个；当5 a v r v i 2a时，O O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2、3、4、6、8个;4r = -. 2a时，O O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2、3、4个。说明：此题看似圆动，其实是圆心点的位置发生变化，圆位置也随之变化。此题 难点是圆的半径也变化。讨