x届高考数学全程复习知识点同步学案第七章 立体几何直线、平面垂直的判定与性质

1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：0，(2)二面角定义：从一条直

2、线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角­l­或二面角P­AB­Q二面角的平面角如图，过二面角­l­的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，那么AOB就叫做二面角­l­的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，那么0，当时，二面角叫做直二面角做一做1直线a平面，b，那么a与b的位置关系是()A平行B垂直C异面 D以上都有可能答案：B2. 如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，那么以下直线中与B1O垂

3、直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析：选D.由题易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，A1C1B1O.1辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面(3)注意对平面与平面垂直性质的理解2学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，假设图中不存在这样的直线，那么可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为

4、线线垂直做一做3“直线a与平面M内的无数条直线都垂直是“直线a与平面M垂直的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直不能推出“直线a与平面M垂直，反之可以，所以应该是必要不充分条件4将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，那么在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直解析：选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，那么ADBC，翻折后如题图2，AD与BC

5、变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD.又BDCDD，故AD平面BCD，所以ADBC.,学生用书P132P134)_线面垂直的判定与性质(高频考点)_直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直；(3)求体积问题(x·高考x卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的

6、点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥M­CDE的体积直线与平面垂直的性质解(1)证明：如图，因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以 PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面DMF.(2)因为PDDC，PC2，CD1，PCD60°，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.过点F作FGCD，得FGFCsin 60°×，所以DEFG，故MEPE，所以MD.SCDEDE·DC

7、××1.故VM­CDEMD·SCDE××.规律方法判定线面垂直的四种方法：(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么与另一个也垂直(4)利用面面垂直的性质定理1.(1)(x·大庆市x次质检) 如图，四棱锥P­ABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90°.求证：PCBC；求点A到平面PBC的距离(2) 如下图，在四棱锥P­ABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDA

8、D，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高证明：PH平面ABCD；证明：EF平面PAB.解：(1)证明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.由BCD90°知，BCDC，PDDCD，BC平面PDC，BCPC.设点A到平面PBC的距离为h，ABDC，BCD90°，ABC90°，连接AC(图略)，AB2，BC1，SABCAB·BC1，PD平面ABCD，PD1，VP­ABCSABC·PD，PD平面ABCD，PDDC，PDDC1，PC，PCBC，BC1，SPBCPC·BC，VA­PBC

9、VP­ABC，SPBC·h，h，点A到平面PBC的距离为.(2)证明：因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.证明：取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB._面面垂直的判定和性质_(x·高考x卷) 如图，在三棱

10、锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90°，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE

11、平面ABC.规律方法判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2. 如下图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点求证： (1)EF平面A1CD；(2)平面A1CD平面A1ABB1.证明：(1) 如下图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，且DEAC.又F为A1C1的中点，所以A1FA1C1AC，且A1FAC，所以A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以

12、EFDA1. 又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD. (2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又侧棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD，又AA1ABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1._垂直关系的综合应用_(x·高考北京卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别为A1C1，BC的中点 (1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥E­ABC的体积解(1)证明：在三棱

13、柱ABC­A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1. (2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥E­ABC的体积VSABC·AA1×××1×2.规

14、律方法垂直关系综合题的解法(1)三种垂直的综合问题一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行综合问题求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用(3)垂直与体积结合的问题在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积3. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点 (1)设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长等于2，求三棱锥C­B1ED的体积；(2)求证：平面EB1D平面B1CD.解：(1)根据，点B1到平面CDE的距离等于2，CDE的面积等于2，三棱锥B1­CDE的体积等于.VC­B1EDVB

15、1­CDE，VC­B1ED，即三棱锥C­B1ED的体积等于.(2)证明：设B1D的中点为M，连接ME，MC.设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2a，那么EDa，B1Ea，EDB1E，MEB1D，ME a.由ABCD­A1B1C1D1是正方体，得CD平面BCC1B1，CB1平面BCC1B1，CDCB1，MCB1Da.ME2MC25a2EC2，MEMC.又B1D平面B1CD，MC平面B1CD，B1DMCM，ME平面B1CD.ME平面EB1D，平面EB1D平面B1CD._平面图形的翻折问题_如图1，在RtABC中，ABC90°，D为

16、AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图2所示(1)假设M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF；(2)求证：BDA1F；(3)假设平面A1BD平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由解(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)证明：因为A1EBD，EFBD且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直因为平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BC

17、DBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.因为A1B平面A1BD，所以A1BEF，又因为EFDM，所以A1BDM.假设A1BCD，因为CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，这与A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直规律方法对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法4.(x·x武汉市调研)如图，正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A­BC

18、D.(1)求证：平面AOC平面BCD；(2)假设三棱锥A­BCD的体积为，且AOC是钝角，求AC的长解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.(2)由(1)知BD平面AOC，VA­BCDSAOC·BD.又VA­BCD，×OA·OC·sinAOC·BD，即××××sinAOC× 2，sinAOC.AOC是钝角，AOCx0°.在AOC中，由余弦定理

19、，得AC2OA2OC22·OA·OC·cosAOC()2()22×××cos x0°6，AC.,学生用书P134)考题溯源空间线面垂直关系的证明(x·高考x卷)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解(1)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)因为B1C1AD

20、，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为)连接A1D.因为棱柱ABCD­A1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190°.在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D

21、.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.考题溯源本考题由教材人教A版必修2 P66探究“如图，直四棱柱ABCD­ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD？改编而成如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3. (1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离解：(1)证明：过点B作CD的垂线交CD于点F，那么BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBF

22、E中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD，得BEBB1，所以BE平面BB1C1C.(2)连接B1E，那么三棱锥E­A1B1C1的体积VAA1·SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2，故SA1C1E3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，那么三棱锥B1­EA1C1的体积V·d·SEA1C1d，从而d，d.1(x·x郑州市质量检测)设，分别为两个不同的平面，直线l，那么“l是“成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也

23、不必要条件解析：选A.依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l是“成立的充分不必要条件2(x·黑龙江齐齐哈尔模拟)在如下图的四个正方体中，能得出ABCD的是()解析：选中，CD平面AMB，CDAB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为.3(x·高考x卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A假设mn，n，那么mB假设m，那么mC假设m，n，n，那么mD假设mn，n，那么m解析：选中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；B中，由m，可得m或m与相交或m，错误；C中，由m，n可

24、得mn，又n，所以m，正确；D中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误4. (x·衡阳联考)如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC90°，BC1AC，那么点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC的内部解析：选A.连接AC1(图略)，ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，应选A.5. 如图，在三棱锥D­ABC中，假设ABCB，ADCD，E是AC的中点，那么以下结论正确的选项是()A平面ABC平面AB

25、DB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选C.要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与x个平面垂直因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ADC，所以平面ADC平面BDE.6. 如图，BAC90°，PC平面ABC，那么在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_解析：PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，

26、ACPCC，AB平面PAC，ABAP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7设，是空间中两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)解析：因为当n，m时，平面及所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以假设mn，那么，从而由正确；同理也正确答案：(或)8. 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出以下结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号为_解析：因为PA垂直于圆O所在的平面，所以

27、PA平面ABC，即PABC，又因为AB是圆O的直径，所以BCAC，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以AFBC，又AFPC，所以AF平面PBC，所以AFPB.又因为AEPB，所以PB平面AEF，即PBEF.答案：9(x·忻州市x次联考) 四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为，设E、F分别为AB、SC的中点，且SE2，M为CD边上的点 (1)求证：EF平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD.解：(1)证明：取SB的中点P，连接PF，PE(图略)F为SC的中点，PFBC，又底面ABCD为正方形，BC

28、AD，即PFAD，又PESA，平面PFE平面SAD.EF平面PFE，EF平面SAD.(2)连接AC(图略)，AC的中点即为点O，连接SO(图略)，由题知SO平面ABCD，取OC的中点H，连接FH(图略)，那么FHSO，FH平面ABCD，平面EFH平面ABCD，那么连接EH并延长EH与DC的交点即为M点连接OE(图略)，由题知SO，SE2，OE1，AB2，AE1，MC，即点M的位置在CD边上靠近C点距离为.)1. (x·唐山市统考)如图，在三棱锥P­ABC中，PAPBABBC，PBC90°，D为AC的中点，ABPD. (1)求证：平面PAB平面ABC；(2)如果三棱

29、锥P­BCD的体积为3，求PA.解：(1)证明：取AB中点为O，连接OD，OP.因为PAPB，所以ABOP.又ABPD，OPPDP，所以AB平面POD，因为OD平面POD，所以ABOD.由，BCPB，又ODBC，所以ODPB，因为ABPBB，所以OD平面PAB.又OD平面ABC，所以平面PAB平面ABC.(2)由(1)知，OP平面ABC.设PAa，因为D为AC的中点，所以VP­BCDVP­ABC××a2×aa3，由a33，解得a2，即PA2.2. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB

30、，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证： (1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，那么ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNA

31、C1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.3如图(1)，在平面四边形ABCD中，A90°，B135°，C60°，ABAD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AMMD，2CNND.如图(1)，将ABD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面BCD，并连接AC，MN(如图(2)(1)证明：MN平面ABC；(2)证明：ADBC；(3)假设BC1，求三棱锥A­BCD的体积解：(1)证明：在ACD中，2AMMD，2CNND，MNAC，又MN平面ABC，AC平面ABC，MN平面ABC.(2)证明：在ABD中，ABAD，BAD90°，ABD45°

32、;，在平面四边形ABCD中，ABC135°，BCBD.又平面ABD平面BCD，且BC平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面ABD，又AD平面ABD，ADBC.(3)在BCD中，BC1，CBD90°，BCD60°，BD.又在ABD中，BAD90°，ABAD，ABAD.SABDAB×AD，由(2)知BC平面ABD，VA­BCDVC­ABD××1. 第6讲空间向量及其运算1空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使得ab(2)共面向量定理：

33、如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量根本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底2两个向量的数量积(与平面向量根本相同)(1)两向量的夹角：两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，那么AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b通常规定0a，b假设a，b，那么称向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积a·b|a|b|cosa，b(3)向量的数量积的性质：a·

34、;e|a|cosa，e；aba·b0；|a|2a·aa2；|a·b|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：(a)·b(a·b)；a·bb·a(交换律)；a·(bc)a·ba·c(分配律)3空间向量的坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，a·ba1b1a2b2a3b3，aba1b1a2b2a3b30，aba1b1，a2b2，a3b3(R)，cosa，b .(2

35、)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，那么(x2x1，y2y1，z2z1)做一做1a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，那么以下结论正确的选项是()Aac，bcBab，acCac，ab D以上都不对解析：选C.c(4，6，2)2a，ac.又a·b0，故ab.2假设向量a，b，c是空间的一个基底，向量mab，nab，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是()Aa BbCc D2a解析：选C.ab，ab分别与a，b，2a共面，它们分别与ab，ab均不能构成一组基底1辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别(2)共线向量定理中ab存在唯一的实数R

36、，使ab易无视b0.(3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a·b)·ca·(b·c)不一定成立2建立空间直角坐标系的原那么(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上3利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后

37、应进行转化做一做3在直三棱柱ABC­A1B1C1中，假设BAC90°，ABACAA1，那么异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30° B45°C60° D90°解析：选C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如下图，那么B(0，1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，cos，60°，异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.4A(3，2，1)，B(1，0，4)，那么线段AB的中点坐标和|分别是_解析：设P(x，y，z)是AB的中点，那么()(3，

38、2，1)(1，0，4)(2，1，)，dAB|.答案：(2，1，)，_空间向量的线性运算_如下图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3). 解(1)P是C1D1的中点， aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，a(acb)abc.又ca.(abc)(ac)abc.规律方法用向量表示某一向量的方法：用不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法那么或平行四边形法那么，把所求向量用向量

39、表示出来1. 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点 (1)化简_(2)用，表示，那么_解析：(1)().(2)()().答案：(1)(2)_共线、共面向量定理的应用_E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接BG(图略)，那么()，由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.规律方法在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法那么、平行四边形法那么和共

40、线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向向量靠近常见的向量处理方法见下表：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任意一点O，t对空间任意一点O，xy对空间任意一点O，x(1x)对空间任意一点O，xy(1xy)2.A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，假设点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解：(1)由题知3，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内_空间向量的数量积与坐标运算(高频考点)通过近几年高考试题可以看出，试题以空间向量的运算为主，特别是数量积

41、的运算及其应用，更是考查的热点高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度：(1)空间向量的数量积的运算；(2)线与线垂直问题；(3)线段长度问题空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)假设向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos ，a和b的夹角的余弦值为.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)·(k2，k，4)(k1

42、)(k2)k282k2k100.解得k或k2.规律方法(1)空间向量数量积的计算方法：定义法：设向量a，b的夹角为，那么a·b|a|b|·cos .坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么a·bx1x2y1y2z1z2.(2)数量积的应用：求夹角：设向量a，b所成的角为，那么cos ，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)：运用公式|a|2a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题：利用aba·b0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题3. (1)空间四边形ABCD的每条边和对角

43、线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，那么·()Aa2B.a2C.a2 D.a2(2)a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，那么向量ab与ab的夹角是_(3)点A(1，2，1)，B(1，3，4)，D(1，1，1)，假设2，那么|的值是_解析：(1)设a，b，c，那么|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.又(ab)，c，故·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.(2)(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos21si

44、n2)(sin21cos2)0，(ab)(ab)，即向量ab与ab的夹角为90°.(3)设P(x，y，z)，(x1，y2，z1)(1x，3y，4z)，由2，得点P坐标为(，3)，又D(1，1，1)|.答案：(1)C(2)90°(3)1点A(3，0，4)，点A关于原点的对称点为B，那么|AB|等于()AxB9C25 D10解析：选D.点A关于原点对称的点B的坐标为(3，0，4)，故|AB|10.2(x·高考x卷)向量a(1，0，1)，那么以下向量中与a成60°夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)解析：选B.对于选

45、项B，设b(1，1，0)，那么cos a，b.因为0°a，b180°，所以a，b60°，正确3在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，假设xy，那么x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：选C. 如图，()，所以x，y.4在空间四边形ABCD中，···()A1 B0C1 D不确定解析：选B.如图，令a，b，c，那么···a·(cb)b·(ac)c·(ba)a·ca·bb·ab

46、83;cc·bc·a0.5(1，5，2)，(3，1，z)，假设，(x1，y，3)，且BP平面ABC，那么实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2，4 D4，15解析：选B.，·0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3，1，4)，那么解得6在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，那么垂足Q的坐标为_解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，)答案：(0，)7在以下条件中，使M与A、B、C一定共面的是_2；0；0.解析：0，那么、为共面向量，即M、A、B、C

47、四点共面答案：8空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且a，b，c，用a、b、c表示向量_解析：如下图，()()()(2)()(bca)答案：(bca)9(x·郑州模拟)a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc.求(1)a，b，c.(2)ac与bc所成角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，此时a(2，4，1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以b·c0，即68z0，解得z2，于是c(3，2，2)(2)ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此ac与bc所成角的余弦值为.故ac与bc所成角的余弦值为.10. 如下图，空间四

48、边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·；(2)EG的长解：设a，b，c，那么|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，ca，a，bc.(1)·(ca)·(a)a·ca2.(2)()()abc，2(abc)2(a2b2c22a·b2a·c2b·c)，|，即EG的长为. 第7讲立体几何中的向量方法1直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，那么称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向

49、量(2)定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，那么求法向量的方程组为.2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1·n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmn·m0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmn·m03.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，那么cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成角的求法如下图，设

50、直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，那么有sin |cos |(3)求二面角的大小a如图，AB，CD是二面角-l-两个半平面内与棱l垂直的直线，那么二面角的大小，b如图，n1，n2分别是二面角-l-的两个半平面，的法向量，那么二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n24. 点到平面的距离的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，那么点B到平面的距离d. 做一做1以下命题中，正确命题的个数为()假设n1、n2分别是平面、的法向量，那么n1n2；假设n1、n2分别是平面、的法向量，那么 n1·n20；假设n是平面的法向量，a与共面，那么n·a0；假设两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面一定不垂直A1B2C3 D4答案：D2向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，假设cosm，n，那么l与所成的角为()A30° B60°Cx0° D150°解析：选A.由于cosm，n，m