华南理工大学高等数学统考试卷下08期中

1、2022-2022高等数学下册期中考试试卷考试时间：90分钟 班级： 成绩单号： 、填空题5 41、5分求函数z x2x422y2从而 dx f x, y dy dx f x, y dy dy12-3=x1yy2在点0,0处沿方向1,0的方向导数解由定义彳叫丄匚。12、5分求函数u x xy xyz在点M 1,0,3的梯度解 gradu m 1 y yz, x xz,xy 1,0,31,4,03、5分求曲面xy yz zx 1在点3, 1,2处的切平面方程和法线方程解令 F x,y,z xy yz zx 1，那么 n y z,x z, y x 3 121, 5,2从而切平面方程为x 3 5 y

2、 12 z 20，即卩 x 5y 2z 2042x, y dy dx f x, y dy2 菽法线方程为x 32 x4、5分交换积分次序 dx1XX解积分区域为两个小区域之并D1,D2:x2x4、x y 2作图得知合并后的区域也可表示为 D11D2：x, y dx8分设zx y,x y, xy，其中具有二阶连续偏导数，求dz与2z解 dz f1 dx dyf2 dx dyf3 ydx xdy2 yf3 dxxf3 dy从而二f1x2yf3，x yf1f2yf3y11 11213 x211f221 f23 xf3yf31 1f321f33 x11 f22 xyf33x y13 x y238分设f

3、(s,t)具有连续的偏导数，且f(s,t) 0 ,方程f (丿匸)x x0确定解:了 z是x,y的函数，试求启 y x yf xdy ydxf12xxdz zdx0 ,解出dzyf1 zf2 dxxf1dyxf2从而x y zx y四、8分求抛物面x2 y2与平面x y2z0之间的最短距离解:设点M x, y, z在抛物面上，那么其到平面的距离为x y 2z 276先求222f x,y, z 6d x y 2z 2 在 xz 0下的最小值点:2y 2z 2那么由Lx2 x y 2z2 2xLz4 x y 2z0,Ly 20,Lx2x y 2z 2 2y 0y2 z 0'得最小值点1 1

4、 1-,!,-，从而最短距离为dmin4 4 811122l4 4876V624五、8分设直线L: X y b 0 在平面x ay z 30上，而平面与曲面z x2 y2相切于点1, 2,5，求a,b之值解：由曲面得切平面法向量 2x,2y, 1 1, 2,52, 4, 1从而有切平面方程为2x 4y z 50由直线l： x y b 0x ay z 3得:y x bx b(a 1)y z b 3,1从而由该直线必平行于平面知s n 2 4 1a 0,a在由该直线上的点要在平面上得3 b 5 0,b2六、8分计算 x y dxdy，其中DD2 2x,y x 1 y 12,x y令 u x 1,v

5、y 1，得 x u 1, y v 1,dxdyJ dudv dudv54从而 x y dxdyDu v dudvDuv5- 24 d r cos40r sin rdr5_4cossin.2dr2dr0sincos0七、8分计算二重积分DIdxdy，其中 D : 02,0解:x2 1将区域划分为两个1,x212,D2D D1Idxdyx21 dxdyx21y dxdyDiD22D1x21 dxdyx2y dxdy12 dx0x2dy2 2dx0dyx2dx12 y2dx0dx2dx0x42x21 dx22x2dx05x_52x332x338815八、8分计算Iy2 dv，其中为平面曲线2z绕z轴

6、旋转一周0的曲面与平面8所围的区域。解:2由交线xz2Z知在xoy面上的投影域为D : x2y216用柱坐标计算I42r08rdr dzr2210243九、8分设由曲面x2y2与z 2 , x2 y2所围成的立体中每点的密度与该点到xOy平面距离成正比，试求该立体的质量 M用柱坐标计算Izdv d rdr zdz34十、求曲面z Jx2y2被柱面x2 y2ax a 0所截下的有限曲面片的面积解: zxxx ,x2zj dxdy2dxdy从而该面积=x22dxdyy2 ax.2a28分计算积分2z dv，其中x2 y2 和 x2y2 z2 2 所围成的空间闭区域。解：由2 2z x y2 2 2x y z 2z220,z1，从而在xOy上投影域为x2 y21，且关于坐标平面xOz, yOz都对称,2因此 x y z dv0 3312空2 t 22,2 t0 322r2 ,2_r2221J2 r22 x2y2 zdvdrdr00r2A12t2 r4 r1 6 rrdr23031 3dt4254t2-t3t 23153r2 z