动态几何型压轴题

1、动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性 特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的 常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题一点动问题.1.09年徐汇区如图，ABC中，AB AC 10 , BC 12，点D在边BC上，且BD 4 ,以点D为顶点作 EDFB，分别交边AB于点E，交射线CA于点F .1当AE 6时

2、，求AF的长；2当以点C为圆心CF长为半径的O C和以点A为圆心AE长为半径的O A相切时，求BE的长;3当以边AC为直径的O O与线段DE相切时，求BE的长.题型背景和区分度测量点此题改编自新教材九上?相似形?24.54例六,典型的一线三角三等角问题,试题在原题的根底上改编出第一小题，当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系相切问题的存在性的研究形成了第二小题，参加直线与圆的位置关系 相切问题的存在性的研究形成了第三小题区分度测量点 在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，从而利用方程思想来求解.区分度性小题处理手法1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程.2. 圆与圆的

3、位置关系的存在性相切问题的处理方法：利用 d=R ± rR r建立方程.3. 解题的关键是用含 X的代数式表示出相关的线段.略解CFCD解：1证明 CDF s EBD BDBE ，代入数据得CF8 AF=22设 BE=X，那么 d AC 10, AE10 x,利用1CF32的方法x ,32相切时分外切和内切两种情况考虑：10 10外切，X 一XX4-2 内切，x x10 2.170x10当O c和O A相切时，BE的长为4、2或10厶17 .类题一个动点：09杨浦25题四月、五月、09静安25题、两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.3当以边AC为

4、直径的O O与线段DE相切时，3二线动问题在矩形ABCD中，AB = 3，点O在对角线 AC上，直线I过点O,且与AC垂直交AD于点E.(1)假设直线I过点B，把 ABE沿直线I翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A /重合, 求BC的长；假设直线I与AB相交于点F,且AO = 4 AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S.求S关于X的函数关系式，并指出 x的取值范围；探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x 4长为半径的圆与直线相切，假设存在，请求出题型背景和区分度测量点x的值；假设不存在，请说明理由.EAOACB此题以矩形为背景，结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了

5、学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线1沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、参加直线与圆的位 置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二.区分度性小题处理手法1.找面积关系的函数解析式，规那么图形套用公式或用割补法，不规那么图形用割补法.EAO2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程.3.解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段.略解(1) / A'是矩形 ABCD的对称中心 A' = AA '= 2 AC AB = A ',AB = 3 -AC = 6BC33/2小AO1 一 X42 9AF 1 (x29

6、) AE x124xACx29c1AE AF(x29)2S 3x(x29)2S AEF296x,96x42x 270x81°舍去,X2X23x 一假设圆A与直线I相切，那么 4不存在这样的x，使圆A与直线I相切. 类题09虹口 25题.三面动问题如图，在ABC中，AB AC 5,BC 6 , d、E分别是边AB、AC上的 两个动点D不与A、B重合，且保持DE / BC ,以DE为边，在点A的 异侧作正方形DEFG .1试求ABC的面积；2当边fg与BC重合时，求正方形DEFG的边长;3设AD x , ABC与正方形DEFG重叠局部的面积为y，试求y关于x的函数关 系式，并写出定义域；

7、4当BDG是等腰三角形时，请直接写出 AD的长.题型背景和区分度测量点例七,典型的共角相似三角形问题 ，试题为了形成坡度，在原题的根底上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当D点在AB边上运动时，正方形 DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠局部的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二.区分度性小题处理手法DE1B图3-1图3-4图3-52令此时正方形的边长为a，那么6，解得1255时,AD2时,36 2x

8、2524x524 2x2512525207311类题改编自09奉贤3月考25题，将条件2“当点M、N分别在边BA、CA上时 去掉，同时加到第3题中.F：在 ABC 中，AB=AC，/ B=30o, BC=6，点 D 在边 BC 上，点E在线段DC上，DE=3 , DEF是等边三角形，边 DF、 EF与边BA、CA分别相交于点M、N .1求证： BDM CEN ;2设BD= x , ABC与厶DEF重叠局部的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域.3当点M、N分别在边BA、CA上时，是否存在点 D，使以M为圆心，BM为半径的圆与直线 EF相切，如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理

9、由.例1:O O的弦AB的长等于O O的半径，点C在O O上变化不与 A、B丨重合，求 / ACB的大小分析：点C的变化是否影响/ ACB的大小的变化呢？我们不妨将点C改变一下，如何变化呢？ 可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，/ ACB所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB的一半，因此很自然 地想到它的圆心角，连结 AO、BO,那么由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC为等边三角形，那么/ AOB=600，那么由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/丄ACB= 2 / AOB=300 ,当点C在劣弧AB上变化时，/ ACB

10、所对的弧是优弧 AB ,它的大小为优弧 AB的一半，由O/ AOB=600得，优弧 AB的度数为3600-600=3000，那么由同弧所对的圆心角 与圆周角的关系得出：/ACB=1500 ,因此，此题的答案有两个，分别为300或1500.反思：此题通过点 C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需 要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式1: ABC是半径为2的圆内接三角形，假设AB 2 3，求/ C的大小.此题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上面一致，在sin 丄 AOB角形AOB中，2AB2OB号那么2 AOB卅即AO

11、B 1200从而当点C在优弧AB上变化时，/C所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧AB的一半,即 C 600当点C在劣弧AB上变化时，/ C所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧AB的一半，由/ AOB=1200得，优弧 AB的度数为 3600-1200=2400,那么由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/C=1200 , 因此 C 600 或/ C=1200.变式2:如图，半经为1的半圆O上有两个动点 A、B,假设AB=1 , 判断/ AOB的大小是否会随点 A、B的变化而变化，假设变化，求出变化 范围，假设不变化，求出它的值。 四边形ABCD的面积的最大值。那么/ AOB=600，解：1由

12、于AB=OA=OB，所以三角形 AOB为等边三角形， 即/ AOB的大小不会随点 A、B的变化而变化。2四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为2_34，而三角-OD AF OC形AOD与三角形BOC的面积之和为22BG2(afBG)，又由梯的中位线定理得三角形 AOD与三角形BOC的面积之和12(afBG) EH，要四边形- 3ABCD的面积最大，只需 EH最大，显然EH < OE= 2，当 AB / CD 时,EH=OE，因此 33 3 3四边形ABCD的面积最大值为 4 + 2=4对于此题同学们还可以继续思考：四边形ABCD的周长的变化范围.别为A、B,另一个

13、顶点 C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大？要求说明理由广州市2000年考题分析：要使三角形 ABC的面积最大，而三角形 ABC的底边AB为 圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。 过点C作CD丄AB于点 D，连结CO,由于CD< CO,当O与D重合，CD=CO，因此，当 CO与AB垂直时， 即C为半圆弧的中点时，其三角形 ABC的面积最大。此题也可以先猜测，点 C为半圆弧的中点时，三角形 ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1不与C重合，证明三角形 ABC的面积大于三角形 ABC1的面积即可。如图1 1显然三角形 ABC1的面积=2 AB X C1D，而C1D&l

14、t; C10=C0,那么三角形 ABC1的面积=2 AB1x C1D< 2 AB X C10=三角形 ABC的面积，因此，对于除点 C外的任意点 C1,都有三角形ABC1的面积小于三角形三角形ABC的面积，故点C为半圆中点时，三角形ABC面积最大.此题还可研究三角形 ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需 AC+BC 最大，而AC+BC2=AC2+CB2+2AC X BC=AB2+4 XA ABC的面积，因此A ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而A ABC的周 长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现，解决动

15、态几何问题的常见方法有：特殊探路，一般推证例2:如图，O 01和O 02内切于 A , O 01的半径为3, O 02的半径为2,点P为O 01BP上的任一点与点 A不重合，直线PA交O 02于点C, PB切O 02于点B,那么PC的值为A2B33C2.6D2分析：此题是 取一个特殊位置进行研究，当点道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以P满足PB丄AB时，可以通过计算得出PB= 32122.2ABBP8 28-2BC= AB2BP216 82.6在三角形BPC中，BP2PC=BC2BP所以，pc =3选B因此BC X AP=BP X AB ,2.63当然，此题还可以根据三角形相

16、似得BP APPC BP，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况,还要进一步证明对一般情况也成立。例3:如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4 , OA BC于0,点E和点F分别在边ACAB、AC上滑动并保持 AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、 A重合。判断 0EF的形状，并加以证明。判断四边形AE0F的面积是否随点 E、F的变化而变化，假设变化, 求其变化范围，假设不变化，求它的值AEF的面积是否随着点 E、F的变化而变化，假设变化，求其变化范围，假设不变化，求它的值。分析：此题结论很难发现， 先从特殊情况入手。 最

17、特殊情况为E、F分别为AB、 AC中点，显然有 EOF为等腰直角三角形。 还可发现当点E与A无限接近时， 点F与点C无限接近，此时 EOF无限接近厶A0C，而 A0C为等腰直角三 角形，几种特殊情况都可以得出 E0F为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？ 0E与0F相等吗？/ E0F为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三 角形0FC与三角形0EA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得： 0A=0C，/ 0CF= / 0AE，而AE=CF，那么 0EA 0FC，贝U 0E=0F，且/ F0C= / E0A，所以/ E0F= / E0A+ / A0F= / F0C+ / F

18、0A=900，那么/ E0F为直角，故A E0F为等腰直角三角形。动手实践，操作确认例4在O 0中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点与 A、C不重合， 那么AAC+CB=AD+DB(B) AC+CB<AD+DB (C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定分析:此题可以通过动手操作一下 ，度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量 一量，得出结论C例5:如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径 CA和非直径的弦 CD,延长BCA和CD与大圆分别交于点 B、E，那么以下结论中正确的选项是a DE AB b DE ABcDE

19、 ABDDE, AB的大小不确定分析：此题可以通过度量的方法进行，选B此题也可以可以证明得出结论，连结D0、E0,那么在三角形 0ED 中,两边之差小于第三边，那么0E0D<DE,即 0B0A<DE,因此 AB ED，即 DE AB建立联系，计算说明ADMN例6:如图，正方形 ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为 对角线AC上任意一点，贝U DN+MN的最小值为分析：能否将 DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN ,显然有ND=NB，那么问题就转化为 BN+NM 的最小值问题了， 一般

20、情况下：BN+NM > BM,只有在B、N、M三点共线时,BN+NM=BM因此DN+MN的最小值为BM=BC2CM此题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和 等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例7:如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OA BC于0,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持 AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断四边形AE0F的面积是否随点 E、F的变化而变化，假设变化，求其变化范围，假设不变化，求它的值AEF的面积是否随着点 E、F的变化而变化，假设变化，求其变 化范围，假设不变

21、化，求它的值。即例3的第2、第3问分析：此题的方法很多，其一，可以建立四边形AE0F与AE长的函数关系式，如设 AE=x，那么AF= 2 2 X，而三角形A0B的面积与三角形 A0E的面积之比=X ，而三角形1X0B 0A 2A0B的面积=2，那么三角形 A0E的面积=' 2，同理三角形 A0F的面积2 2 xx (2.2 x) 2=2 ，因此四边形 AE0F的面积=' 2；即AE0F的面积不会随点 E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.当然，此题也可以这样思考，由于三角形 A0E与三角形C0F全等，那么四边形 AE0F的 面积与三角形 A0C的面积相等，而 A0C的面积为2

22、,因此AE0F的面积不会随点 E、F的 变化而变化，是一个定值，且为 2.此题通过建立函数关系或有关图形之间的关系，然后通过简单的计算得出结论的方法应用比拟广泛.第(3)问，也可以通过建立函数关系求得， AEF 的面积1 1 2X(2 2 X) (x 、2)1=22,又x的变化范围为° x 2 2由二次函数知识得AEF的面积的范围为：° AEF的面积 1.此题也可以根据三角形 AEF与三角形0EF的面积关系确定AEF的面积范围不难证明AEF的面积W 0EF的面积，它们公用边EF,取EF的中点H，显然由于 0EF为等腰直角三角形，那么OH 丄 EF,作 AG 丄 EF,显然

23、AG < AH=AG，所以AEF的面积W OEF的面积，而它们的和为 2，因此° AEF的面积 1.此题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比方，比拟线段 EF与AO长度大小等可以通过 A、E、0、F四点在以EF为直径的圆上 得出很多结论 例&如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点 Q沿DA边从点D开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间° w t W 6，那么：1当t为何值时，三角形 QAP为等腰三角形？2求四边形QAPC的面积，提出一个与计算

24、结果有关的结论；3当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？分析：1当三角形QAP为等腰三角形时，由于/ A为直角，只能是 AQ=AP，建立等量关系，盘 6 t，即t 2时，三角形QAP为等腰三角形；2四边形QAPC的面积=ABCD的面积一三角形 QDC的面积一三角形 PBC的面积1 112 6 12 x -(12 2x) 6=22=36，即当P、Q运动时，四边形 QAPC的面积不变。3显然有两种情况： PAQs ABC , QAP ABC ,2x 12 2x 6由相似关系得6 x 6或6 x 12，解之得x 3或x 1.2建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们可以综合上述方