分式的恒等变形

1、第二讲分式的恒等变形分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为根底， 并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性， 在数学竞赛中 常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分 式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。:根本知识1.分式的运算规律1加减法:空同分母c£_翌异分母be(2)乘法：a?cacbdbd(3)除法：acadbdbc(4)乘方：nn anc2.分式的根本性质1aamJaa m (m 0)bbmbb m2分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不 变。4.倒数性质1如果两个数互为倒数，

2、那么这两个数的乘积为 1。2如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幕仍互为倒数。3如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。?例1.假设a、b、c均为非零常数，且满足a b c a b c a b ccba又 x (a b)(b c)(c a)，且 x 0,求 x 的值 abc? 1 1 3,求 2X 3xy 2y 的值 x yx 2xy y? 例3.三个正数a、b、c满足abc=1.aab abbc b 1c 的值ac c 1abcbc a2

3、ac b2 ab c2a(bc a2)2b(ac b2)20,例6.x+y+z=3a a 0,且x、y、z不全相等，求(X a)(y a) (y a)(z a) (z a)(x a)的值。(x a)2 (y a)2 (z a)2.2例b-2c2bca2 b22caa2 b22c2abn是自然数,求(-2c2bc2a )2n 1a2 b2)2n 12ca2 ,2 2a b c )2n 12ab的值假设x a 1,求丄x3 x2 x 2的值2d 2十4，试求分式*的值例10.三个不全为零的数X、y、Z 满足 4x 3y 6z 0 ,x 2y 7z 0。求手等等的值?例11.假设x、y、z为有理数，

4、且(y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z 2x)2 (z x 2y)2 (x y 2z)2求迟1)(zj 1)(xy 1)的值(x l)(y l)(z 1)? 例12.a、b、c互不相等，且满足a+b+c=O,o2 .2 2求42z2c的值。2a bc 2b ac 2c aba b, a 0,b0, a b 0,x4aba b，x求x2a2a求(a b)(a c)(b c)的值。abc卩2,竺，竺都是整数， 且p 1,q1,求p q的值q p三、有关分式的化简问题(a b)(b c)(c a)(a b)(b c)(c a)(x 丄)2 xx12x -2x - 3xX2X3XnXXi

5、(XiX2)X2 )( XiX2X3)(XiX2Xn 1)(X1X2Xn)a2 b2(a b c)2，并且 b2化简ab(a c)2(b c)2mn2 m n20，化简旦 aXmx n m?例21.化简:(y x)(z x)(x 2y z)(x y 2z)(z y)(x y)(x y 2z)(z y 2x)(x z)(y z)(y z 2x)(x 2y z)a bcc ca三、有关分式的证明问题c 0且 匚 口 a bbe bb2c2正数、负数、还是零。，求证:a b c例24.有理数a、b、c满足丄1 1a b ca b或 bc或 ca 。例25.假设n为自然数，且丄1 - 1一，求证:ab c a b c11 112n 1 a° 2n 12n 1bc2n 1 a 2n 12n 1bc?例26-证明：对于任意自然数n，分数器不可约a b c 0,且a、b、c都不等于0 ,求证：11 11 11a(bc)b(ac)c(;b)3 0 o?例28.证明:1 1a(a d) (a d)(a 2d)1a (n 2)da (n 1)dn 1aa (n 1)d?例29.设n为正整数，求证:1 1133 51 1。(2n 1)(2 n 1)2x y z 0,x y 0, y z 0, z x 0,Lbz丄,cx z