利用零点分段法解含多绝对值不等式

1、利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法一一零点分段讨论法.一、步骤通常分三步：找到使多个绝对值等于零的点.分区间讨论，去掉绝对值而解不等式. 一般地n个零点把数轴分为 n+ 1段进行讨论.将分段求得解集，再求它们的并集.二、例题选讲例1求不等式|x+ 2|+ |x 1|>3的解集.分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式.解： |x+ 2| =x 2(x2)x1 (x1),|x 1|=.x 2(x2)1x(x1)故可把全体实数x分为三个局部： xv 2

2、,2<xv 1，x> 1.所以原不等式等价于下面三个不等式组:(I) X 2，或(n)x 2 1 x 3X 1，或(出)2 X 1x 2 x 13x 2 1 x 3不等式组(I )的解集是X|xv 2,不等式组(n)的解集是，不等式组(川)的解集是x|x> 1.综上可知原不等式的解集是x|xv 2或x> 1.例 2 解不等式 |x 1|+ |2 x|>3 x.解:由于实数1, 2将数轴分成(一31 , (1 , 2, (2 ,+3 )三局部，故分三个区间来讨论. 当XW 1时，原不等式可化为一(x 1) (x 2) >x+ 3,即卩XV 0故不等式的解集是

3、x|xv 0. 当1V XW 2时，原不等式可化为(x 1) (x 2)> x+ 3,即XV 2 故不等式的解集是 . 当x> 2时，原不等式可化为(x 1) + (x 2) >x+ 3,即x> 6 .故不等式的解集是x|x> 6.综上可知，原不等式的解集是x|xv 0或x> 6.例3关于x的不等式|x 5|+ |x 3|v a的解集是非空集合，求a的取值范围.解：T x= 5 时，|x 5|= 0; x= 3 时，|x 3|= 0.当xw 3时，原不等式可化为一 x+ 5 x+ 3 v a，即卩a> 8 2x,由xw 3,所以一2x?6，故 a>

4、; 2.当3v xw 5时，原不等式可化为一 x+ 5+ x 3v a,即卩a> 2.当x>5时，原不等式可化为 x 5+ x 3va，即a>2x 8> 10 8 = 2,故a>2. 综上知a > 2.无理不等式与绝对值不等式考试目标主词填空 |f(x)|<a(a>0),去掉绝对值后，保存其等价性的不等式是a<f(x)<a. |f(x)|>a(a>0),去掉绝对值后，保存其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)< a. |f(x)|>|g(x)|%)>口妝).2无理不等式对于无理不等式的求解，通常是

5、转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其根本类型有 两类：，.f(x) g(x)g(x) 02 或 g!><) 0f(x) g(x) f(x) 0f (x) 0.f (x) g(x) g(x) 0.f(x) g(x)23含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论 ,去掉绝对值符号4某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法或图像法求解.5.三角不等式|a| |b|w |a± b|w |a|+|b|,此不等式可推广如下：|ai+a2+a3+ +an|w|ai|+|a2|+|a3|+|an|当且仅当 ai,a2,a3,an 符号相同时取等号题型例如点津归纳【例1】解无理不

6、等式(1).x 1>2;(2). x 1 >2x 4;1 <2x+1.【解前点津】 (1)因2>0,故原不等式可化为不等式组(2)因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论【标准解答】x1 0x 1(1)化原不等式为：x 5.x1 4x5x 1 0 x 10(2)化原不等式为：2x 40或2 2x 4 0(x 1)(2x4)2x 2x 1或24x217x 170 x 2(3)化原不等式为两个不等式组x 102x 10x 1(2x 1)24x23x【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，根本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算对于那些复杂的

7、无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，防止消耗太多 精力【例2】解以下含有绝对值的不等式：(1) |x2 4|< x+2;(2) |x+1|>|2x 1|;(3) |x 1|+|2x+1|<4.【解前点津】(1)可直接去掉绝对值符号，转化为一(x+2)< x2 4< (x+2);(2)两边平方,去掉绝对值符号;(3)当x=1,丄时，有x1=0及2x+1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号 2【标准解答】(1)原不等式可化为：(x+2) < x2 4 w x+22x x 20 x 2 或 x 1x2 x 6 02 x3故原不等式的解集为1,3U 2.化原不等式

8、为 |x+1|2>|2x 1|2(2x 1)2 (x+1)2<0.(2x 1+x+l) (2x 1 x 1)<0 3x (x 2)<00<x<2.1令x 1=0得x=1,令2x+仁0得x=.1x23x 421-时，原不等式可化为：一(x 1) (2x+1)<41当x_,1时，原不等式可化为：一(x 1)+(2x+1)<4.21 <XW 1.2x 14当x (1,+g)时，原不等式可化为：(x 1)+(2x+1)<4,故由1 x .3x 4341144 4综上所述知：4,丄-,11,4-,4为原不等式解集.32233 3【解后归纳】解含

9、有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段？分几段？这只须算出“分点即可，即“绝对值为0时的变量取值，n个不同的分点，将数轴分割成了(n+1)段.【例3】假设不等式x ax -的解集是(4,m),求 a,m的值.2【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y= x (x> 0)及y=ax+3 (x>y= x的图像2位于y=ax+3图像的上方，那么与之对应的 x的取值范围就是不等式的解 .2【标准解答】设y1= x,它的图像是半条抛物线；y2=ax+°(x?0),它的图像是经过点(0,233),斜率为a的一条射线.2不等式 x

10、 ax 3的解即当yi= x的图像在y2=ax+ 3 x> 0的图像上方时相应的x的2 2取值范围，因为不等式解集为4,m,故方程 x ax -有一个解为4,将x=4代入x ax -2 2 得：4 4a 3 a -.2 8AQ再求方程.x - x -的另一个解，得:x=36,即m=36.8 2【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内，要确定那一局部的图像对应于不等式的解集.【例 4】解不等式 |log2x|+|log22 x|> 1.【解前点津】从x的可取值范围入手，易知 0<x<2,当x分别在0,1及1,2上取值时，

11、可同时去掉两个绝对值符号.【标准解答】t x>0且2 x>0故0<x<2时不等式才有意义当x 0,1时，因log2x< 0,log22 x > 0,故此时原不等式为Iog2x+log2(2 x)> 1Iog2 _x > log22x2 x 2x0 x 1当x 1,2时，因为Iog2x>0,log22 x<0,故此时原不等式为log2xlog2(2 x)> 1log2> log22x 2(2 x)x 2.2故原不等式的解集为 0,34,2.【解后归纳】此题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.无理不等

12、式的解法、引入：1、无理不等式的类型:、f(x). g(x)型f(x) °定义域g(x) 0f(x) g(x)g(x)0g(x) 0、.f(x)g(x)型f(x)0或2f(x) 0f(x)g(x)f(x)0、, f (x)g(x )型g(x)0f(x)g(x)2、典型例题:例1、解不等式 3x 4 x 30例2、解不等式x2 3x 2 4 3x例3、解不等式.2x2 6x 4 x 2ri例4、解不等式.2x 1 x 11例5、解不等式x2 1 ax 1(a 0)例6、解不等式3 2 x x 11三、小结:四、反应练习：解以下不等式1. 2x 3 3x 5 5x 62. 3x 3. x

13、 3 3x x 33. .41 x 、2 x4. (x 1) x2 x 20第6课无理不等式与绝对值不等式习题解答1. C 对a=3进行检验，考虑不等式的几何意义.2. C利用x>0,化简另一个不等式3. D由 0< ._x 3 <10<x 3<13<x<4.1近4. B由 4 x2>0 且 x+1>0 且 4 x2<(x+1)22<xW2.5. B 分别画出:y= a2x2 ,与y=2x+a的图像，看图作答.6. B |x a|< e ,|y a|< e |x y|=|(x a) (y a)|< x a|+|

14、y a|< e + e =2 & , 当 |x y|<2 e 时，不能推出 |x a|< e 且 |y a|< e .7. A假设 0<a<b<c,且 lga<lgb<lgc,又因为 |lga|>|lgc|>|lgb|>O,ac 1 (a+c)=ac+1 a c=(c 1) (a 1)<0,ac+1<a+c.8. B因 x>0,当 log2X<0 时，不等式成立，此时 0<x<1;当 log2x> 0 时,|2x+log2x|=2x+|log2x|.9. B4 x2L-x-

15、'，当 0<x< 2时，不等式成立，另由x2x02x0223 x 0.4 x1 04 x 110. 由(|x| 1) (|x| 3)<01<|x|<3x ( 3, 1) U (1,3).11. 由 x> 0 知,x x 2< 0,(仮2) (Jx+1) w 00 w 丘 w 20 w xw 4.x 1一 2 2x 2 23x2 2x 012. 考察 y= 1 x2 ,y=x+a 的图像，即直线 y=x+a 在半圆 x2+y2=1(y >0)上方a ( -. 2，+g).3x0.x 30 亠或1<xw 3 或 x>3x>1x3(3x) 3 x013.(1)化原不等式为x 10(2)化原不等式为：1 2x202 2(x 1)1 2x原不等式解集为:乎，3。,乎14.原不等式等价于3x25 x 2x3 15 x 2x 355 2x 3 1,7) U (*+g3).1解之:x< 7或- <xw 5或x>5,故原不等式解集为315. 由 a(a x) > 0xw a.当x>a时,a 2x<0,不等式成立，故-<