西南大学数学物理方法课程试题 A卷参考答案和评分标准

1、西南大学 数学物理方法 课程 20162017学年 第学期期 考试时间120分钟考核方式学生类别人数211适用专业或科类物理学（师范）年级2015级题号合计得分签名阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处理。一、填空题：（共10小题，每小题2分，共20分）1、方程的解为_或_。2、幂极数的收敛半径为_ e _。3

2、、设，则Imz_0_。4、设C为正向圆周|z|=1，则=_4i_。5、设C为正向圆周，其中，则=或 6、函数在点z=0处的留数为_6_。7、函数 的傅里叶变换为8、 在的区域上，复变函数的幂级数展开为9、微分方程 在 的有限解为，被称为 n阶勒让德多项式10、定解问题的解为u(s,t)= t 。 二、选择题（共5题，每题3分，共15分） 1、下面说法正确的是( D )A）若函数在点解析，则函数在点可导，反之亦然。B）是二阶齐线性偏微分方程。 C）若洛朗级数中含的负幂项，则展开中心一定是被展开函数的奇点。 D）函数在处是非孤立奇点。2、若在Z平面上解析，则=（ D ）A.) B. C. D. 3

3、、是函数的（C）A 3阶极点B4阶极点C5阶极点D6阶极点 4、本征值问题的本征值和本征函数为（ C ）A. B. C. D. 5、设的罗朗级数展开式为，则其收敛圆环域为( C )A. ； B. 或；C. 或； D. .三、证明题：（共1题，共10分）设，证明在原点满足CR条件，但不可微。证明：令，则，。，（1分）；（1分），（1分）。（1分）（1分）在原点上满足CR条件。（1分）但。（1分）令沿趋于，则（2分）依赖于，在原点不可导。（1分） 四、计算题：（共2小题，共15分） 1、（7分）计算积分的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。 解：因在C内有二阶级点z=I，（2分）所以(5分) 2、

4、（8分）用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题解：将方程拉普拉斯变换： （3分）即 亦即 （2分）反演，得 （3分）五、（10分）用分离变量法求解如下定解问题 解：第一步：分离变量 (2分)设，代入方程可得此式中，左端是关于的函数，右端是关于的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与无关的常数。设为，则有 将代入边界条件得从而可得特征值问题第二步：求解特征值问题 (3分)1) 若，方程的通解形式为由定解条件知，从而，不符合要求。2) 若，方程的通解形式为由边界条件知，从而。3) 若，方程的通解形式为代入边界条件得从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数第三步：求特解，并叠加出一般解 (2

5、分)求解了特征值问题后，将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解第四步：确定叠加系数 (3分)由初始条件可知可得故原方程的解为六、（10分）求解以下定解问题：解：先将非齐次边界条件化为齐次边界条件，令，使满足，解之，得：。 （2分） 满足。（1分）令，可求得， （1分），。定解问题的通解为： 。（2分）由初始条件得：，。（2分）于是，。（2分）七、（10分）用傅里叶变换求解定解问题。解：由于在内变化，对进行傅里叶变换，（*） (2分)其中，（*）的通解为，。 由，得，所以总的可写为， （2分）其中。由，得。 （2分）进行傅里叶反变换，得 ， （2分）而，代入上、下限时应注意到，。 （2