含参变量的积分

1、含参变量的积分1含参变量的正常积分2.求F F(x)COSX x e sin xdy; F(x)b xsin(xy),dya xx2t2f (t,s)ds dt.求以下极限：limx2a2dx ；a 012limx2 cosax dx ；a 001 adxlim2 21.(X)，其中:x aX22 F(x) x e xy dy ;3.设f(x)为连续函数,1xxF(x)h2 00f (x)d d求 F"(x).4.研究函数F(y)1 yf(xdx0 x y的连续性，其中f (x)是0, 1上连续且为正的函数.5应用积分号下求导法求以下积分：52(1)0 ln(a2sin x)dx (

2、a 1);(2) 0 ln(122acosx a )dx (|a | 1);"22(3)0 ln(a2 2 2sin x b cos x)dx (a,b0)；p arctan(atanx), 八,1).(4) 02tanx dx (|a 16应用积分交换次序求以下积分:0,b0)1 xb(1) 0韦axdx (ax1 0sinIn1xbxIn xax dx (a0,b 0).7设f为可微函数，试求以下函数的二阶导数:(1) F(x)x0 (x y)f (y)dy; F(x)ba f(y)|xy dy (ab)；&证明:00(x21 1 2 211 x ydy 2 ydx.00

3、 (x2 y2)2y2dx，问是否成立9设 F(y)F(0)01加厂小曲10.设2F(x) 0xcosecos(xsin )d求证F(x) 2 .11设f (x)为两次可微函数，(x)为可微函数，证明函数1 u(x,t) - f (x2满足弦振动方程1x atat)f(xat)2a at (z)dz22u2u丄2a -2tx及初始条件u(x,0)f (x),ut(x,0)(x).2含参变量的广义积分1证明以下积分在指定的区间内一致收敛：cos(xy)0 2dy (x a 0)；0 x y(2) 0$dy ( x )；01 y(3) 1 yxe ydy (a x b)；(4) 1 e xy C0

4、孚dy (p 0,x 0)；1 y2sin x , z c、(5) 0 pdx (p 0).0 1 x2 讨论以下积分在指定区间上的一致收敛性：(1) 0 、e "dx (0)；(2) 0 xe xydy ,ix a,b (a 0) , ii x 0, b；(3) e (x )dx ,ia b ,ii;(4) o e x (1 此 sin xdy (0 x ).3.设f(t)在t 0连续，o t f (t)dt当 a, b皆收敛，且a b。 求证： t f(t)dt关于在a,b 致收敛04讨论以下函数在指定区间上的连续性：x(1) F(x) 0 dy，x (,)；0 x y2(2)

5、F(x) 0 y xdy，x F(x) 0sinydy , x (°,2).0 y ( y) ；0 1 y5假设f(x,y)在a,b c,)上连续，含参变量广义积分I(x) c f(x, y)dy在a,b)收敛，在xb时发散，证明I (x)在a,b)不一致收敛6 .含参变量的广义积分I(x)f (x, y)dy在a,b一致收敛的充要条件是：对任趋于的递增数列An其中A c，函数项级数An iA f (x,y)dyUn(x)n 1在a,b上一致收敛7用上题的结论证明含参变量广义积分I(x) f(x,y)dy在a,bc&利用微分交换次序计算以下积分：dx(1) In(a)02 市

6、n为正整数，a 0；0 (x a)axbx0,b0;e esin mxdxxx2(3)o xe sinbxdx (0).9用对参数的积分法计算以下积分:(1)ax2bx2e edxx0,b0丨；axbx 0esinmxdxa10利用0,b0.y(1 x2)dy计算拉普拉斯积分cos xdx1 xL1xsin x ,2 dx.1 x211.利用1"xxy2dy (x 0)计算傅伦涅尔积分0 sin x2dxFio cosx2dxsin xcosxdxdx .12.利用积分sin x , dxx2x dx计算以下积分:(1).4 sin xdx;xsin ycosyx , dy ;Xdx

7、 (a 0)；2(ax bx c)dx (a 0)2(x2 a_)x dx (a0).13求以下积分：1 et(1)costdt ;0 tln(11x2)2xdx.14.证明：11(1)0ln(xy)dy在,b (b 1)上一致收敛;0b1 dx-在(，b (b 1)上一致收敛.0 xy3 欧拉积分1利用欧拉积分计算以下积分:(1)dx ；1 x400 Cdx ；0 ,x02ta nnxdx ；(1. x)dx；0 x2、a2 x2)dx (a 0)；sin6 x cos4 xdx ；dx1 x4 'x2ne x dx n为正整数；(8)dx一 3 cosx(9)02sin2n xdxn为正整数；(10)1xm In10 x1dx n为正整数.ln -pdx ；2将以下积分用