老龄化来袭模型经济与人口结构

1、数学建模训练承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填

2、写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 马维新 2. 钟也磐 3. 成博 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012年 08 月 19日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：数学建模训练编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人口结构摘要本文主要是对我国人口结构、退休政策、生育制度做了一定分析，合理预测我国人口发展以及对经济发展的影响。问题一，我们确定了六个影响经济发展的因素和六个因素下的十二个指标

3、，利用灰色关联度模型，找出十二个指标和人口结构与经济发展的关联程度，并根据关联程度的大小对十二个指标和人口结构中的城镇化率、性别比例、老龄化程度、受教育程度做了排序：产业结构>科技水平>劳动力因素>物质资本>人力资本>制度因素、受教育程度>老龄化程度城镇化率>性别比问题二，我们分别用logistic模型和灰色预测GM（1,1）模型对人口结构进行了预测，利用熵权法对两个预测结果进行加权，得到最终预测结果。其中总人口数单位为十亿，性别比为男比女（男为1），城镇化率老人比例和受教育程度单位为%。问题三，我们通过查找的数据，分析了放宽一胎化生育政策后自然增长率

4、的变化，建立了自然增长率变化的函数，在第二问的基础上，对人口结构的预测结果进行了修正。问题四，我们从就业和养老金两个方面，分析了延长退休年龄对经济发展发展的影响。根据利用计量模型和养老金的计算公式求解出的结果，我们认为延长退休年龄对解决养老金的资金缺口有很大的帮助。问题五，我们根据以上问题的结论并查找了相关资料，对我国人口结构和经济的可持续发展提出了一些建议。关键字：人口结构、灰色关联分析、灰色预测模型、logistic人口阻滞增长模型、计量模型、一、问题重述1.1题目背景改革开放以来，我国经济高速发展，在2010年成为全球第二大经济体，并且在处理重大事件方面和高技术研发方面都显示了我国的强大

5、实力。在世界各地都有中国制造的同时，我们国内也暴露出一些问题：老龄化、养老金资金缺口、公民道德素质不高、征兵标准有所降低等等。我国也正在积极解决：将中国科学院研究生院更名为中国科学院大学、考虑放宽一胎生育和延长退休年龄等等。近年来的国内负面消息和舆论热点层出不穷，其中有些是实实在在发生了，而有一些只是人们的猜测，甚至谣言。但不可否认的是，现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，他们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧。1.2问题（1）、定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。（2）、就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构

6、。（3）、如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。（4）、定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。（5）、基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。二、模型假设2.1、所得有关数据与实际相近，比较准确；2.2、人口的迁移不影响和出国人数不影响人口结构的变化；2.3、我国的产业结构不会有大的变化；2.4、自然灾害对我国的人口结构不会有影响；2.5、乡村人口自然增长率比城镇人口自然增长率高。三、符号说明：影响经济发展的第个因素（=1,2,3,4）；：第年第个因素下的第个指标；：第年人口结构的第个组成部分；：第年的GD

7、P；：第年的自然增长率；：月基本养老金；：基础养老金；：个人账户养老金；：劳动者的就业年龄；：现行法定退休年龄；：延迟退休年数；：岁人口的平均劳动参与率；：岁劳动者总量；：第产业部门（=1,2,3，）。四、模型的建立与求解4.1、模型的建立：对于问题一，我们将它分为两个小问题，一是对影响经济发展因素的定量分析，二是就人口结构对经济发展的影响做出了分析。在此，我们把GDP作为体现经济发展的指标，首先要确定影响经济发展的因素并给出能反映每个因素的指标。综合各经济学派对经济增长影响因素的概述，同时考虑现实经济中数据的可获得性，我们从产业结构，物质资本，劳动力因素，科技水平，人力资本，制度因素6个方面

8、选取影响经济增长的12个指标如下表:我们采用灰色关联分析的方法找出各个指标与GDP即经济发展的关联度，并进行排序，以此来判定各个因素对经济发展影响的大小。原始数据有单位且各数据单位不一致，没有可比性，因此进行标准化处理，数据标准化的公式如下：针对12指标和GDP的13个数据序列，计算12个指标和GDP之间的关联程度，即两个相比较的序列在第n年的相对差值。具体公式如下：得到关联系数后,将各关联系数按样本数n求出平均值可得关联度值，具体公式如下：模型求解：求得最终影响经济发展的各个指标的关联度值为：0.8519 0.9972 0.9657 0.7434 0.5350 0.9563 0.8889 0

9、.7804 0.6887 0.7913 0.5632 0.4702接着将各个因素下指标的关联度取平均值分别为：0.93820，0.74340，0.74565，0.83465，0.74000,0.51670关于人口结构对经济发展的影响，采取同样的方法，对于人口结构的组成我们用老龄化人口所占比例，性别比，城镇化率和受教育程度来表示，采取同样的方法，四个指标的关联度值为：0.4414 0.5989 0.5969 1.0000由以上结果可以对各个指标对经济发展的影响进行排序得：受教育程度>老龄化程度城镇化率>性别比由以上数据可以看出各个因素对经济发展影响的大小,如产业结构,科技水平和受教育

10、程度对经济发展影响显著,而性别比和制度因素则影响较弱.4.2、问题二：模型建立：对于问题二，我们分别采用灰色预测模型和logistic人口阻滞增长模型对人口总 数进行预测，然后用熵权法对预测结果进行客观的组合，是预测结果更符合实际。对于老年人口比例和城镇化率，由于老年人口比例和城镇化率与资源环境的限制关系不大，所以我们直接用灰色模型预测老年人口比例，而关于男女性别比，我们对30年内的性别比进行观察发现，它的变化趋势类似于周期函数，于是我们用三角函数进行拟合，拟合程度较高，决策系数达到0.93我们用此来预测其未来30年的值。灰色预测模型：1) 设原始数据序列有n个观察值，通过累加生成新序列 ，利

11、用新生成的序列去拟和函数曲线。2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列的预测值序列 3) 利用累减还原：得到灰色预测值序列： (共nm个，m个为未来的预测值)。将序列分为和，其中反映的确定性增长趋势，反映的平稳周期变化趋势。利用灰色GM（1，1）模型对序列的确定增长趋势进行预测Logistc人口阻滞增长模型：考虑自然资源和环境对人口的影响，并以记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。如果人口的净增长率随着的增加而减小，且当时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成 其中为常数，此模型就叫logistic模型。熵权法：熵权法是一种决定指标的方法，我

12、们知道，综合指标取决于单个指标数的确定，一般情况下的权重是根据经验来确定的，但是这种确定权重的方法缺少科学根据，也不能保证确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息，且权重的确立因人而异，所以其应用受到了限制，而熵权法就能够避免这些问题，使权重的确立具有科学的根据，具有说服力。熵权法的步骤确立如下： 计算第j项指标下第i个方案的指标比重 计算指标j的熵值 （） 计算第j项指标的差异系数 定义权重则 就为熵权法确定的权重。2、误差指标的选举为了能全面的各个预测方法以及组合预测的预测效果，必须制定一套切实可行的误差指标。按照预测效果的评价惯例，本文选取如下指标作为参考：（1）、平方和误差（2）、平均

13、绝对值误差（3）、均方误差（4）、平均绝对值百分比误差（5）、均方百分比误差3、组合模型权重的确定设以选定m种个体预测方法，n个误差指标，m种个体预测方法对应n个误差指标构成了评价指标值矩阵；第个指标下第种个体方法的指标比重值为 第个指标的熵值为： 记 第个指标的权重为： 记矩阵R中每列最优值为，对该矩阵所有元素做标准化处理，可得： 这样，各个体预测方法的熵权评价值，可以表示为： 模型求解：灰色预测模型得到的结果为： logistic模型得到的结果为：因为灰色预测模型进行长期预测时误差较大，而且从图像上看灰色预测模型预测的人口曲线接近一条直线，即人口一直保持较高的增长率，这是不符合实际，也是不

14、合理的。而logistic模型预测在2020年以后中国人口几乎不在增长，人口增长率下降得太快也是不符合实际的，所以我们采用熵权法对两个模型的预测值进行加权，得到两个预测结果的权重分别为：0.3572,0.6428最终的预测结果为:时间总人口数65岁以上老人比例性别比城镇化率受教育程度20111.34498.943741.049351.485048.9437420121.3499.154761.053453.05779.1547620131.35269.370751.060354.67849.3707520141.35589.591841.063456.348619.5918420151.358

15、99.818151.063958.069839.8181520161.361810.04981.066959.8436410.049820171.364610.28691.070561.6716210.286920181.367310.52961.068463.5554410.529620191.3710.77811.062465.4968110.778120201.372811.03241.061167.4974711.032420211.375511.29271.064469.5592511.292720221.378211.55911.062471.6840111.559120231.3

16、8111.83181.05273.8736711.831820241.383712.1111.042976.1302212.11120251.386512.39671.042178.4556912.396720261.389312.68921.043680.852212.689220271.392112.98861.040183.3219112.988620281.394913.2951.036385.8670613.29520291.397713.60871.040888.4899613.608720301.400613.92981.052491.1929713.929820311.4035

17、14.25851.061793.9785514.258520321.406314.59491.063596.8492214.594920331.409214.93921.061399.8075814.939220341.412115.29171.0601102.856315.291720351.415115.65251.0612105.998215.652520361.41816.02181.0627109.23616.021820371.42116.39981.0629112.572716.399820381.423916.78671.0619116.011316.786720391.426

18、917.18281.0613119.55517.182820401.429917.58821.0607123.20717.5882模型的检验： 男女比例拟合图 人口总量拟合图由图像可见，预测数据与01-10年人口统计的数据吻合的很好，自然增长率在缓慢减小的同时趋于平稳，这也是符合实际的。4.3、问题三：模型的建立:根据搜集的统计数据,有42.17%的人支持放开二胎,有34.85%的人反对,还有22.98%的人表示两者均可。我们假设放开一胎化生育政策的结果为可以生二胎,但不能生二胎以上。根据统计的结果，我们预测2011年的人口自然增长率约为2010年的1.5366倍，2011年的时候人口自然增长

19、率会出现一个小高峰，但之后会渐渐减小，最终趋于稳定。针对以上假设和猜想，我们构造了一个自然增长率附加值的函数。我们01-10年的自然增长率进行一元线性函数拟合，发现拟合程度比较高。所以，我们预测在一胎化政策不变的情况下，未来30年内自然增长率还会以每年千分之1.3422的速度增长，但是现在要考虑放开一胎化政策的影响，所以我们对未来30年的自然增长率还要附加上因政策变化而长生的影响即自然生长率附加值。附加值函数的特点必须要符合短期达到高峰，并在高峰之后迅速下降并最终接近0而趋于平缓，因为人口在短期之内增加之后，由于资源和环境的限制使社会矛盾会激化，使人们生对二胎的期望减小，最终人口增长率会重新回

20、到放开政策前的水平。我们的附加值函数设为：先用一元线性拟合函数对未来30年人口增长率进行预测，然后加上附加值，得到未来30年每年的人口增长率，然后对总人口数进行预测。由于放开生育政策对30年内的老年人口和男女性别比变化趋势不会有直接影响，所以我们预测老年人口数和男女性别比不会有太大变化。考虑到农村人口出生率和城镇人口出生率的差异，放开一胎化政策会在某种程度上抑制城镇化的加速，所以我们对城镇人口自然增长率和农村人口自然增长率的附加值分别加权来表示两者的差异。设放宽政策后城镇出生率比乡村出生率为4:6，则城镇人口增长率附加值为模型的求解：4.4、定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。由充分

21、就业的含义及劳动经济学中有关经济增长与就业的关系，导出经济发展与就业之间的模型，继而得出延迟退休年龄与就业之间的量化关系模型 。在经济理论中, 就业弹性系数是研究经济发展与就业增长数量关系的函数，它反映的是劳动力就业的增长率与经济增长率之间的比率 即为即GDP每增长一个百分点可以带动的就业增长的百分点。显而易见 ，就业系数越大 ,吸收劳动力的能力就越强，反之则越弱。上式也可以表示为：从( 2 )式我们不难看出在就业弹性系数一定的情况下，GDP的增长率与从业人数的增长率呈同向变化,即经济发展是促进就业增长的最直接动力,经济的增长会明显带动就业率的提升。而GDP增长率用表示就业弹性系数 代入 (

22、2) 式 ,有：在实际中各产业部门对劳动力的吸纳能力有所不同，即各产业部门的就业弹性系数各不相同 。一般来说，如果按照传统的产业划分方法以各类服务业为代表的第三产业的就业弹性系数大于以重化工业和制造业为代表的第二产业，而第二产业的就业弹性系数又大于以农业和采掘业为代表的第一产业。因此 ，我们可以将( 3) 式进一步表示为:其中，为行业部门的就业弹性系数，为部门的GDP增长率。（4）式左边的从业人数增长率为从业人数增加量与基期从业人数的比值，若用L表示参加就业的劳动力,则为从业人数的增加量，从而可以将从业人数增长率简单表示为：将( 5)式代入( 4)式，得：这样(6)从业劳动力与经济发展之间的关

23、就(6) 式简单地表示出来了。由于延迟退休年龄短期内最直接的效应就是会增加从业劳动量 所以研究延迟退休年龄对就业的影响，就是要评估因延迟退休年龄而产生的那部分从业劳动力增量对就业的影响程度。我们将(6)式进一步限定于延迟退休年龄条件下 的从业劳动力与经济发展之间的关系:（7）式中为因延迟退休年龄而产生的从业劳动力增量，等于推迟退休年龄后的实际从业人数减去推迟退休年龄前 的实际从业人数（即基期）这样就将问题集中在如何表示上。直接来统计从业劳动力是一项非常复杂和困难的工作。因此，我们可以根据人口统计数据和劳动参与来粗略估计某一时期从业劳动力 的总量 。所以，我们假设现存的岁劳动者总量为，其相应的劳

24、动力参与率为， 即为岁劳动者的总从业人数。以此类推，便可得到各个不同年龄的从业劳动力总量为。进一步考虑延迟退休年龄前后的从业劳动力，只需将参加工作的年限加以限定。岁劳动者若岁开始参加工作至岁退休，则总的从业劳动力数量为：，当退休年龄发生变化，如延迟岁至岁时（>0），从业劳动力总量将由变为。的关系式可 以表示为：根据充分就业的定义，我们将（8）式带入式（7），我们便可得到延迟退休年龄与就业之间的量化关系模型:由公式（9）可以看出，一方面，退休年限的延迟会增加市场上劳动力的可供给量。一般地延迟 退休的年限长短与市场上劳动力的可供给总量成正比。延迟退休的年限变动越小，市场上劳动力的可供给总量的

25、增量就越小，其对当前就业市场的压力就较小。另一方面，按照充分就业的思想，退休年限的延迟变动，无论从变动的时间上还是变动幅度上都必须适应经济发展对劳动力的需求变化，以避免严重冲击劳动力市场，进而影响社会的安定。因此我们可以利用模型在一定的假设条件下，在对未来增长情况及其就业弹性系数的合理预测，通过求解的最优值便可得到延迟退休年龄的最佳年限选择，通过我们查找的2010年的数据，我们可以得出延迟退休年龄的最佳年限为四年，与人社部所提出的推迟五年的退休政策比，可得出推迟五年的退休政策对经济有一定的促进作用。关于延长退休年龄对养老金的影响我们借助养老金计算公式：月基本养老金基础养老金个人账户养老金其中基

26、础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资本人指数化月平均缴费工资）/2*缴费年限*1=全省上年度在岗职工月平均工资(1本人平均缴费指数)/2 * 缴费年限*1 %个人账户养老金个人账户全部储存额/计发月数假设平均缴费指数为1.6,60岁退休的老人缴费年限为30年，根据2010年的平均工资和储蓄数据我们可以得到老人退休后的月基本养老金为919.4元，如果65岁退休，平均缴费指数不变的情况下，缴费年限延长为35年，我们通过灰色模型预测2015年的平均工资和人均储蓄额，可以得到老人退休后的月基本养老金为2068元，增长了一倍多，所以延长退休年龄有助于缓解养老金缺口问题。4.5、对于中国人口结构和经济

27、可持续发展提出建议（1）、放宽一胎化生育政策，逐渐使社会年龄趋于合理。山西翼城县放开一胎化生育25年,在1982-2000年的两次人口普查期间，全国人口增长了，而翼城为；全国男女性别比为，翼城为。翼城县的人口年龄结构几乎是全国的一个缩影，这就证明了放宽一胎化生育政策不会导致人口暴涨，反而对我国人口的发展有一定的促进作用。我们上面所算出的结果也说明，放开一胎化生育政策只会在一段时间内增长较快，不会导致人口暴涨。（2）、延长退休年龄：正如背景中所提到的，全国老年人口的人口集中在中国，并且有报告称我国的养老金缺口在2013年将达万亿，这样，延迟退休年龄可以缓解养老金给国家带来的压力，并且还会对我国的

28、经济发展有一定的促进作用。虽然延长退休年龄会使社会就业压力增大，会使社会矛盾更加激烈，但我国可以通过宏观调控来增加就业岗位，减缓一定的压力。（3）、继续加大对高学历人才的培养、努力留住我国的高技术人才。第一，科技创新会提高我国在国际上的影响力；第二，高技术创造的经济效益会弥补我国巨大的养老金缺口；第三，可持续发展需要高技术的支持。（4）、转变教育观念，重视素质教育，提高国民素质。生活中类似背景中所给出的事件还有很多，对于素质的要求不仅仅在于道德，可持续发展也需要全体人民的自觉，需要大家一起去努力。（5）、加快企业转型，严格排污标准和资源的开采和使用指标。可持续发展是国家发展的重要组成部分，企业

29、的可持续是其实现的关键。五、模型优缺点5.1、模型的优点:第一问我们采用了灰色关联度分析法,较好地反映了各因素与经济发展之间的关系,能客观地反映出人口结构对经济的影响。第二问与第三问采用了灰色模型与LOGISTIC模型的双模型的熵权组合模型，避免了单模型的不确定性，较好的预测出未来三十年的人口结构。第四问通过延迟退休年龄对我国就业影响的计量模型和对养老金的计算模型，较好地反映出延迟退休年龄与经济的关系。5.2、模型的缺点： （1）、模型所需要的数据量过大，给查找带来不便。 （2）、没有考虑第四问模型中就业弹性系数与劳动参与率的变化。 （3）、第五问对养老金问题的处理比较简单。（4）、在比较城镇

30、人口出生率和乡村人口出生率时主观因素较大。六、参考文献1中国国家统计网 ()2邓聚龙 灰色系统理论教程M. 华中理工大学出版社, 199013姜启源 数学模型M 北京：高等教育出版社 20054王宏健 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 福建20075吕志勇 韩鑫 姜英霞 延迟退休年龄对我国就业影响的计量模型研究 山东 2500 14七、附录7.1、灰色预测GM(1,1) MATLAB程序y=input(' '); n=length(y);yy=ones(n,1);yy(1)=y(1);for i=2:nyy(i)=yy(i-1)+y(i);endB=ones(n-1,2);f

31、or i=1:(n-1)    B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1)/2;    B(i,2)=1;endBT=B'for j=1:n-1    YN(j)=y(j+1);endYN=YN'A=inv(BT*B)*BT*YN;a=A(1);u=A(2);t=u/a;t_test=input('请输入需要预测个数：');i=1:t_test+n;yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;yys(1)=y(1);for j=n+t_test:-1:

32、2    ys(j)=yys(j)-yys(j-1);endx=1:n;xs=2:n+t_test;yn=ys(2:n+t_test);plot(x,y,'r',xs,yn,'*-b');det=0;for i=2:n    det=det+abs(yn(i)-y(i);enddet=det/(n-1);disp('百分绝对误差为：',num2str(det),'%');disp('预测值为： ',num2str(ys(n+1:n+t_test);7.2、

33、灰色关联度 for i=1:12    for j=1:10xi(j)=(xi(j)-amin(xi)/(amax(xi)-amin(xi);    endendfor i=1:10    y(i)=(y(i)-amin(y)/(amax(y)-amin(y);enda=ones(1,10);b=ones(1,10);for j=1:10a(j)=abs(x1(j)-y(j);for i=2:12  

34、60; if abs(xi(j)-y(j)<a(j)        a(j)=abs(xi(j)-y(j);    else        continue;    endendendfor j=1:10b(j)=abs(x1(j)-y(j);for i=2:12    i

35、f abs(xi(j)-y(j)>b(j)        b(j)=abs(xi(j)-y(j);    else        continue;    endendendfor i=1:12    for j=1:10     &

36、#160;  xi(j)=(a(j)+0.5*b(j)/(abs(xi(j)-y(j)+0.5*b(j);    endendc=ones(1,12);for i=1:12    c(i)=sum(xi)/10end7.3、熵权法t=1:10;y=127672128453129227129988130756131448132129132802133450134091;y=y'a,r1,J,COV,mse=nlinfit(t,y,fc,200000,0.5,127672);y1=

37、fc(a,t,11:40);y1zb11=sum(r1.2);zb12=sum(abs(r1)/10;zb13=sqrt(zb11)/10;zb14=sum(r1./y)/10;zb15=sqrt(sum(r1.2./y)/10;r2=0 122.415985   38.657688-28.39513 -98.722576111.224522 -65.121246-29.15214935.622962-89.30465;zb21=sum(r2.2);zb22=sum(abs(r2)/10;zb23=sqrt(zb21)/10;zb24=sum(r1./y)/10;zb25=sqrt(sum(r1.2./y)/10;zb=zb11,zb12,zb13,zb14,zb15;    zb21,zb22,zb23,zb24,zb25p=ones(2,5);pause1=zeros(1,5);for j=1:5    for i=1:2        pause1(j)=pause1(j)+zb(i,j);&