大学物理学第8章作业题

1、8 6 一铁心上绕有线圈100匝，铁心中磁通量与时间的关系为52. 8.0 105sin100n Wb，求在t 1.0 10 2s时，线圈中的感应电动势.分析 由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数dd山和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成E N,其中书N称为磁dtdt链.解线圈中总的感应电动势dE N 2.51 cos100ntdt当 t 1.0 10 2 s 时，E 2.51V .8 7有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以dL的变化率增长假设有一边长为 d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所dt示.求线圈

2、中的感应电动势.题S -7图-J分析 此题仍可用法拉第电磁感应定律E-来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁dt通量就需用 B dS来计算其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1S与B2之和.为了积分的需要，建立如下图的坐标系.由于B仅与x有关，即B Bx，故取一个平行于长直导线的宽为d x、长为d的面元d S,如图中阴影局部所示，贝U dS ddx，所以， 总磁通量可通过线积分求得假设取面元dS dxdy，那么上述积分实际上为二重积分.此题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式EmM 1求解.dt解1穿过面元d S的磁通量为d B dS B1 dS B2 dS 凶 ddx 卫 ddx

3、 2 n x d2 nx因此穿过线圈的磁通量为d2dgld2dgId ,gld,3-dx-dxInd 2 n x dd22 n4再由法拉第电磁感应定律,有Ed座In3dldt2 n4dt解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为门？2 n 4线圈与两长直导线间的互感为gd3M InI2n 4当电流以 虫变化时，线圈中的互感电动势为dtdlgd3 dlE MIndt2 n 4 dt试想：如线圈又以速率v沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为匕那么穿过回路的磁通量 B dS f 1, E,

4、它表现为变量I和 喲二元函数，将 代 S-J-JY入E即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中一v，再令d即可dtdt求得图示位置处回路中的总电动势.最终结果为两项， 其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势.8 - 11长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率 3绕通过支点且垂直于铜棒的轴转 动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差.XX8分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同.在开路时，两者大小相等，方向相反电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向.此题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可

5、以将整个棒的电动势看作是 OA棒与0B棒上电动势的代数和，如图b所示.而 EOA和EO B那么可以直接利用第8 2节例1给出的结果.解1如图a所示，在棒上距点 0为1处取导体元dl，那么L-r1EabV B dl3Bdl-3B L 2rAB-r2因此棒两端的电势差为U abEab3B L2r当L2>2r时，端点A处的电势较咼解2将AB棒上的电动势看作是 0A棒和0B棒上电动势的代数和，如图b所示.其中Eoa严2,EobEabEoaEob-wBL L 2r200 '轴以角速度3旋转,8 12如下图，长为L的导体棒OP,处于均匀磁场中，并绕 棒与转轴间夹角恒为 0,磁感强度B与转轴平

6、行.求0P棒在图示位置处的电动势.分析戊计算此时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO),也可用E |V B d|来计算由于对称性，导体 OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的.解1由上分析，得EopopV B dlyBsi n90ocosalIlsin 0 出cos 90。0d|2 LcoBsin 0 Idl0-wB Lsin 022由矢量v B的方向可知端点P的电势较高.解2设想导体0P为直角三角形导体回路OPQO中的一局部，任一时刻穿过回路的磁通量 为零，那么回路的总电动势E d dt° EOPEpq Eqo显然，Eqo = 0，所以E

7、opEpqEqo由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒 QP等效后者是垂 直切割的情况.N匝图8 - 19截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图a所示，共有 中仅画出少量几匝，求该螺绕环的自感L.皿 S-19 图分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质如形状、匝数、介质等有关 的量.求自感L的方法有两种：1.设有电流I通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L T计算L. 2.让回路中通以变化率的电流，测出回路中的感应电动势El，由公式LEl 计算l.式中El和 生 都较容易通过实验测定，所以此方法一般|dI /dt|dt适合于工程中.此外

8、，还可通过计算能量的方法求解.解 用方法1求解，设有电流I通过线圈，线圈回路呈长方形，如图b所示，由安培环路定理可求得在Ri v r v R2范围内的磁场分布为B M2 n由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为2r2 toNI葩N hl | R2书 N B dS N hdx0 In 2S冃 2*2nR那么2L tN竹门童I 2n R8 - 20如下图，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为Si和S2 , 磁导率分别为pi和国，管长为I，匝数为N,求螺线管的自感设管的截面很小川詁I分析 此题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响.在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀

9、的，磁感强度为 Bo ,由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为p Bo和比Bo .通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为Si和S2的两局部磁通量之和由自感的 定义可解得结果.解 设有电流I通过螺线管，那么管中两介质中磁感强度分别为Bipnl冲丨,B2pnl通过N匝回路的磁链为NBiSiNB2S2那么自感1N2LLiL2-pSlpS2I I8 23 如下图，一面积为4.0 cm2共50匝的小圆形线圈 A ,放在半径为20 cm共i00匝 的大圆形线圈B的正中央，此两线圈同心且同平面.设线圈 A内各点的磁感强度可看作是 相同的.求：i两线圈的互感；2当线圈B中电流的变化率为一50 Asi时

10、， 线圈A中感应电动势的大小和方向.分析设回路I中通有电流可设回路n通有电流虽然两种途径所得结果相同,ii ,穿过回路n的磁通量为|2，穿过回路I的磁通量为21，那么互感M = M21 =21|1 ；也12 ，贝U MM12但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同.以此题为例，如设线圈B中有电流I通过，那么在线圈A中心处的磁感强度很易求得,由于线圈A很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈的磁通量 BS反之,如设线圈A通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算,因而穿过线圈B的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径.解 (1)设线圈B有电流

11、I通过,它在圆心处产生的磁感强度BoNB境穿过小线圈A的磁链近似为NaboSaNaNb 錯 Sa那么两线圈的互感为NaNb06.28 10 62Rpll(2) Ea Mdt互感电动势的方向和线圈 B3.1410 4 V中的电流方向相同.8 - 24如下图，两同轴单匝线圈 A、C的半径分别为R和r，两线圈相距为d.假设r很小, 可认为线圈A在线圈C处所产生的磁场是均匀的求两线圈的互感假设线圈C的匝数为N匝，那么互感又为多少？解设线圈A中有电流感强度近似为穿过线圈C的磁通为那么两线圈的互感为通过，它在线圈C所包围的平面内各点产生的磁B m)ir22 R22 3/2d2也IR2222 3/2 n2

12、R2d22 2也n R22 3/22 R2d2假设线圈C的匝数为N匝,那么互感为上述值的 N倍.8 - 26 一个直径为0.01m,长为0.10 m的长直密绕螺线管，共1 000匝线圈，总电阻电流稳定后，线圈中所要使线圈储存磁能为最为7.76 Q.求：1 如把线圈接到电动势 E = 2.0 V的电池上,储存的磁能有多少？磁能密度是多少？ * 2从接通电路时算起, 大储存磁能的一半，需经过多少时间?1如回路自感为L 分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：1 2或很容易求得，那么该回路通有电流I时所储存的磁能wmli 2，通常称为自感磁能.22由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际

13、是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量 又可看作磁场能量，即 Wm vWmdV，式中Wm为磁场能量密度，积分普及磁场存在的空B的分B2间.由于Wm，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度2 口布上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用1LI2V WmdV 求解 L .解 1密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感n2s电流稳定后，线圈中电流I，那么线圈中所储存的磁能为R1 2 Wm-LI2出 n2se22IR253.28 10 J在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管(2)中，并为均匀磁场，故磁能密度 wm处处相等，wm Wm 4.17

14、 J m 3SL自感为L ,电阻为R的线圈接到电动势为E的电源上，其电流变化规律Et1 e L，当电流稳定后，其最大值RIm12 1122 EE芒按题意1 LILIm ,那么1将其代入11 e L中，得2 2 22 RRtLl n 12丄ln 2.21.5610 4sR2R8 - 13 如图(a)所示，金属杆AB以匀速v 2.0m1平行于一长直导线移动，此导线通有电流I(b)分析 此题可用两种方法求解.1用公式E v B dl求解，建立图a所示的1坐标系，所取导体元dl dx，该处的磁感强度B.2用法拉第电磁感应定律求2 n解，需构造一个包含杆 AB在内的闭合回路.为此可设想杆AB在一个静止的

15、形导轨上滑动，如图b所示.设时刻t，杆AB距导轨下端CD的距离为y，先用公式 B dS求得穿S-J过该回路的磁通量，再代入公式E-，即可求得回路的电动势，亦即此题杆中的电动dt势.解1根据分析，杆中的感应电动势为Eabv B dl dxl-JtIvlnil3.84 10 5 V 式中负号表示AB0.1m 2 n2 n电动势方向由B指向A,故点A电势较高.解2设顺时针方向为回路 ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为d X、长为y的面元d S,那么穿过面元的磁通量为d B dS讪ydx2n(穿过回路的磁诵量为也lyd ydx0 ln11S°.1m 2n<2n回路的电动势

16、为ed也1ln11-也ly53.84 10 Vdt2 ndt2n由于静止的形导轨上电动势为零，所以Eab E 3.84 10 5 V式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB导体来说，电动势方向应由B指向A,故点A电势较高.8 - 17半径为R = 2.0 cm的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外-b磁场可近似看作零假设通电电流均匀变化，使得磁感强度B随时间的变化率 竺为常量，且dt-Bdt为正值，试求：1管内外由磁场变化激发的感生电场分布；2如 0.010T s 1求距螺线管中心轴r = 5. 0 cm处感生电场的大小和方向.分析 变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的

17、空间分布与场源变化的磁场dBb包括磁场的空间分布以及磁场的变化率等密切相关，即EkdldS .在dtSS t一般情况下，求解感生电场的分布是困难的.但对于此题这种特殊情况，那么可以利用场的对称性进行求解.可以设想，无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而此题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆.同一圆周上各点的电场强度Ek的大小相等，方向沿圆周的切线方向. 图中虚线表示r v R和r > R两个区dB域的电场线.电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当0时，电

18、场线dtdB绕向与B方向满足右螺旋关系；当 匹 0时，电场线绕向与前者相反.dt解 如下图，分别在r v R和r > R的两个区域内任取一电场线为闭合回路1半径为r的圆，依照右手定那么，不妨设顺时针方向为回路正向.(1)r v R, E!Ek dl Ek 2 nd BdS2dBndtEkr dB2 dtr > R,E! Ek dlEk 2 ndtBdSnR2?EkR2 dB2r dt由于(2)dB 0，故电场线的绕向为逆时针.dt由于r > R,所求点在螺线管外，因此RdB2r dtdB将r、R、的数值代入，可得 Ek 4.0 10 5 V m 1，式中负号表示Ek的方向是逆

19、时针dt的.8 - 21有两根半径均为a的平行长直导线，它们中心距离为d .试求长为I的一对导线的自感导线内部的磁通量可略去不计.O1d/Ifd1r1分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d的矩形回路的一局部.设在矩形回路中通有 逆时针方向电流I，然后计算图中阴影局部宽为 d、长为I的磁通量该区域内磁场可以 看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加.解 在如下图的坐标中，当两导线中通有图示的电流I时，两平行导线间的磁感强度为B由12 n(J2ndr穿过图中阴影局部的磁通量为B dSdaBldr(l i n d aSana那么长为1的一对导线的自感为L(l ln daIna如导线内部磁通量不能忽略，那么一对导线的自感为L L1 2L2. L1称为外自感，即此题已求出的L, L2称为一根导线的内自感长为 I的导线的内自感 L2 區，有兴趣的读者可8 n自行求解.8 - 25如下图，螺绕环A中充满了铁磁质，管的截面积S为2.0 cm2，沿环每厘米绕有100