大学物理课后题答案11

1、习题十一11-1如下图，在点电荷+Q的电场中放置一导体球。由点电荷+Q到球心的径矢为r，在静电平衡时，求导体球上的感应电荷在球心0点处产生的场强 E。解静电平衡时，导体内任一点的场强为零， 荷共同奉献的，由场强叠加原理有Eo Eq E 00点的场强是点电荷+Q及球面上感应电E EqQ4 or211-2 一带电量为q、半径为r的金属球A，放在内外半径分别为R和R?的不带电金属球壳B内任意位置，如下图。 A与B之间及B外均为真空，假设用导线 把A, B连接，求球A的电势。解以导线把球和球壳连接在一起后，电荷全局部布在球壳的外外表上或者说导体球的电荷与球壳内外表电荷中和，整个系统是一个等势体，因此U

2、a Ubq4 0R211-3如下图，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距为d，忽略边缘效应，求：1板B不接地时，两板间的电势差；2板B接地时，两板间的电势差。解1由61页例1知，两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相反面上电量大小相等符号相同，因此当板B不接地，电荷分布为ABQ/2Q/2 -Q/2Q/2因而板间电场强度为Q2 oS电势差为 U ABEdQd2 oS2板B接地时，在B板上感应出负电荷，电荷分布为B-Q 0故板间电场强度为EoS电势差为 UAB Ed 史0S11-4如下图，有三块互相平行的导体板，上导体板到中间导体

3、板的距离为5.0cm，上导体板到下导体板的距离为8.0cm，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块两面上带电，其面电荷密度之和为1.3 10 5C m2。求每块板的两个外表的面电荷密度各是多少忽略边缘效应?解因忽略边缘效应，可把三个导体板看作无限大平板，由例1知1diI1345d26(1)忽略边缘效应，那么导体板可看成无限大的，具有屏蔽性，在相邻 导体板之间的电场只由相对于二外表上电荷决定。因此上板和中板之 间的场强为E1在中板和下板之间的场强为上板和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即已d1Ezd?，由此可得3d14d2设中板总面电荷密度为，那么由(3)、(4)两式可得38 10 6

4、 C m235 10 6 C m2代入(1)、两式中得到28 10 6 C.m255 10 6 Cm2在上板内任意点场强均为零，它是6个无限大均匀带电平面在该点产生的场强叠加的结果。故有考虑到1、两式，那么得到上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板外表出现感应电荷后, 总量仍为零。因此有由(5)、(6)两式得到116251 8 10 65 10 66.5 10 6 C m2211-5 如下图，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C,半径分别为 Ra、Rb、Rc。圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求 B的内外表上线电荷密度1和外外表上线电荷密度2之比值11-6解由A、C接地由高斯定

5、理知U BA-ln0EiU ba U bc12°rEiiln2°rRbRb 20r20RaRcEiidrRc-dr2 lnRCRbRb 20r20Rb理lnRcRa20Rb1 : 2lnRCRb:ln -Rb因此"e i drU BCRadr在一半径为R =6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。球壳B的内、外半径分别为 R2=8.0cm， R3 =10.0cm。设球A带有总电量Qa 3 10 8C，球壳B带有总电量QB 2 10 8C。求：(1)球壳B内、外外表上各带有的电量以及球A和球壳B的电势;(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球

6、 A和球壳B内、外外表上各带有的电量以及球 A和球壳B的电势。解在球壳B内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通 量为零。根据高斯定律，球壳B的内外表上所带电量与球A所带电量等值异号，所以8qB 内 Qa 310 C球壳B总电量为Qb，因此其外外表上电量为qB外QB qB 内2 10 83 10 8 C5 10 8C球A的电势为UQaqB内qB外1QAq B 内q B外U A4 0R14 0 R2 4*340 R1 R2R33 10 831085 10 8、，9 1092 V5.63 103V6.0 10 28.010210.0 10QaqB内qB外U B440R3因为Q

7、aqB内0，所以UbqB外40 R39 109510 810.0 10V34.5 103V将球壳B接地时，其电势变为零。因为 Qa与qB内等量异号，它们在球壳 B产生的电 势之和为零，所以球壳外外表不再有电荷。球壳B与地断开后，再将球 A接地时，电荷将重新分布。设球 A、球壳B内外表、球壳B外外表上电量分别为 Qa、qB内、qB外因为Ua 0，于是有QaqB内qB外040 R140 R240R3注意这时仍有QaqB内0，而且q B内 qB内qB外于是得到1QaQaqB内Qa门040R1R2R3qB内qB外q b内 Ri R2R2 R3R1 R3Qa2.12qB内 qB内金属球A接地，电势QaU

8、b 4 0r9 109R1 R210 8CUa10 8qB外40 r 40R3qB内10.0 10 28.8 10 9 VC 2.12 10 8C8.0 10.0 6.0 10.0 6.0 8.02.12 10 8 C 8.8 10 9C球壳B电势为qB外40 R37.92102V11-7 一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单位面积上两外表带电量之和为 外表的距离为a的点与离右外表的距离为 b的点之间的电势差。解导体板内场强E内0，由高斯定理可得板外场强为E -2 0ABaE dldx0 2 00dxdx。试求离左11-8 半径分别为R和R2(R2>)的两个同心导体薄球壳,分别带电量Q1

9、和Q2，今将内球壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电。求相连后导体球的带电量q。解整个系统仍是孤立球形电容 Cs与内球到无限远(地)之间的电容之并联。而后者是内球形电容c1与外球孤立球形电容 C2串联所构成的C1R1R20瓦R1is故A、B两点间电势差为C2 4 0 R2设小球C3上电量为q,那么Ci上电量Qi-q, C?上电量为Q?Qiq设三个电容上的电压各为U1、U2、UU3q. C3UiQi q Ci由于U3Ui U2所以qQi qQ2 Qi qC3CiC23U 2Q2Qiq . C2因而移到小球上的电量为r R?QiRi Q211-9 一种单芯同轴电缆的中心为一半径

10、qR2 R1 rRi=0.5cm的金属导线，其外层包一层5的固体电介质，最外面的是金属包皮。当在此电缆上加一电压后， 介质中紧靠其内外表处的场强Ei为紧靠其外外表处的场强E2的2.5倍,假设介质最大平安场强 E* 40kV cm，求此电缆能承受的最大电压是多少 ？解由介质中的高斯定理'.DdSD 2 rL QQ20 JL所以EQ匚i20 rRLE?Q20 r R2 L2.5E2 得到2.5RiEi E时电缆的电压最大。此时R2EdrRir2QRi 20 rLrdr所以EiQ2 o rLRiERiEiRJ唱400.5io2 ln 2.5i8.3kV11-10 一平行板电容器面积为S,两板

11、间距离为d,中间充满均匀电介质，当一板带自由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。0 r SQ QdQ解由C 丄二U所以 EdC 0 rS0 rSP而由 P P Sd 得 P(2)Sd极化强度 P 0E r 1(3)由(1)、(2)、(3)得Q P d0S"11-11两个同心的薄金属球壳，内、外壳半径分别为R=0.02m和R2=0.06m。球壳间充满两层均匀电介质，它们的相对电容率r1 6 和 r23。两层电介质的分界面半径R=0.04m。设内球壳带电量Q= 6 10 8C，求:(1) D和E的分布，并画出 D-r、E-r曲线；(2) 两球壳之间的电势差；(3)

12、贴近内金属壳的电介质外表上的束缚面电荷密度。 解以与球壳同心的球面为高斯面SDdSnqi1(1)r<RD1E1D2E2Q2r0 r1 rRw r< R2D3Q47rE3Q40 r2rR2<rD4E4Q訂0rR2R1drRE2R1drR2RE3drr1R1r2R233.75 103VR24-3内球壳外表电荷密度QQ6.0108S4 R24 3.140.022PnP1 Er102r R1亠 i19 10 5 996 10 6 Cm21.19 10 5C m211-12一平行电容器的面积为S,板间距离为d,板间两半分别以相对电容率为r1和r2的电介质充满如图。求此电容器的电容。解一

13、设极板上总电量为Q , r1局部的电量为Q1 , r2局部的电量为q2。- D1Q1D2Q2S2E1r1S 2E2Q2r2S 2 UE1dE2dQ1可求得r1r2解二可看作两电容器的并联，由于S1 S 2所以0 r1SC12dC20 r2 S2d因此C C1 C2 说r1 r211-13 盖革计数管由一根细金属丝和包围它的同轴导体圆筒组成。金属丝直径为22.5 10 mm，圆筒直径为25mm，管长100mm。试计算盖革计数管的电容 设管体间为真空， 可用无限长导体圆筒的场强公式计算电场。解设盖革计数管所带电量为 Q,管长为I,那么线电荷密度Q在金属丝与同轴圆筒之间的场强Q2°rl设金

14、属丝与圆筒的直径分别为d1和d2，那么它们的电势差为UEdrdi 2di 2 20rldrl n玉2 ol di由此得盖革计数管的电容2 olIndi10 39 109 2 "亦备1008.0 10 13F11-14为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为1.5cm的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm的两平行板中间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后， 两板间的电势差减小到原来的60%，求电介质的相对电容率。解设两平行板间距离为 d,介质板厚度为d，插入前电容器电势差为 U，插入后为U 电容器上面电荷密度为插入介质板前电容器内场强E ，电势差U Ed0插入介质板

15、后，电容器内空气中场强仍为E,介质内场强E两板间的电势差Ed d d0U0.60U，因此有d0.60 -0解此方程得d1.5rd 0.4d1.50.40 2.02.111-15 半径为R的导体球和内半径为R2的同心导体球壳构成球形电容器,其间一半充满相两球间的电压U1R2对电容率为r的各向同性均匀电介质，另一半为空气，如下图。试求该电容器的电容。解相当于两个半球形电容器并联 对球形电容器，充电后两球间的电场强度电容C Q4U11旳R2上半球C120 r1r2R2R120 rR2R下半球C2C C1C20R1R-i R211-16两块无限大平行导体板，相距为 2d,都与地连结。在板间均匀充满着正

16、离子气体与导体板绝缘，离子数密度为n,每个离子的带电量为 q,如果忽略气体中的极化现象，可以 认为电场分布相对中心平面 00是对称的。试求两板间的场强分布和电势分布。解由于电荷分布相对于 00是对称的，作底面积为nq S 2x因此e nqx0当 0<x<d 时，UdEdxd nqxdxx0nid22当-d<x<0 时，UdEdxxMd2 x22 0所以x处的电势为nqd211-17 两半径相同的金属球，相距很远。试证明：该导体组的电容等于各孤立导体球的电 容值的一半。解设两球半径都是 R，带电量为Q，那么各球电势是两球电位差为所以CQ 142TC11-18 半径都是R的

17、两根“无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为+和-，两直导线平行放置，相距为 d(d>>R)。试求该导体组单位长度的电容。解可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P的场强。如下图，过P分别做两个长为L,与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。1 1 EdS2rLE1dl0 0所以已20同理E220 d r根据叠加原理，P点总场强为E Ei E2d Rd R11UE dldrRR 20 r d r两条线间电压为故单位长度电容In_0U , d RInR11-19 一空气平行板电容器，极板 板间的电压为U，现将一带电量为 两极板

18、的中间位置，试求导体片解设平行板正板下外表带电量为 片C的上外表带电-Q,A、B的面积都是S,极板间距离为d。接上电源后，两q、面积也是S而厚度可忽略不计的导体片 C平行地插入C的电势。其下外表带电Q,Q+q,那么导体下板上外表带电 Q q。由咼斯定理得E1Q0SE2Q q0S又由两板间的电势为ddQ dQ q dd小U U1U2 已E2 - 2Q q220S 20S 22 0S所以QU 0Sqd211-20 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成,内、外圆筒半径分别为 Ri =2cm， R2 =5cm，其间充满相对电容率为r的各向同性均匀电介质,试求距离轴线R=3.5cm的点A处的电场强度和点解

19、由:D dSQD 2 r L因此DE -2 r20 rrR2r2U32EdrIn 220 rR1电容器接在U=32V的电源上(如下图)。因而导体C的电势UC E2 iQ q dd U 0S q1 uqd0S22 0S d222 0S因此20 rU,R2InRi所以Ea20 rU 1|nR220 rRRiUR2Rln 2Ri998 V mRRUar2趨；Edr=12.5 V 11-21莱顿瓶是早期的一种电容器，它是一个内外贴有金属箔的圆柱形玻璃瓶。设玻璃瓶的内径为R1 =8cm，厚度为2mm，金属箔高40cm。玻璃的相对电容率=5.0,击穿场强为1.5 107V m。假设不考虑边缘效应，试计算:

20、(1)莱顿瓶的电容值;(2)它最多能储存多少能量。2 l解由圆柱形电容器 C 0 r234.5 10 3 口 F205 40 10 223,8 10 2 2 10 3ln8 10 2所以UmaxEd 1.5 107 2 10 33 104V1因此Wmax2CU214.5 10-9 9 1082.025J211-22置于球心的点电荷+Q被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为r，球壳的尺寸如下图。试求以下各量与场点径矢r的关系：(1)电位移D ； (2)电场强度E ； (3)极化强度P ；(4)束缚电荷激发的电场强度密度 。解(1)由有介质的高斯定理D1 dS QE ; (

21、5)面电荷密度；(6)电能Q4 r20由静电场的性能方程0 rE得Q4 °r2Q12J在电介质内E Eo E所以E EE。Q20r在其它位置E由束缚电荷P2Q r 1a面2fP2a4 ra211n21，在电介质中P2P1n212 1n21在导体中,DcDd自由电荷Q4 c2Q4 d21 DE得2Q232 2 FQ232 2 o rr411-23 一电容为C的空气平行板电容器，接端电压为U的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至 n倍时外力所作的功。oS解断开电源后Q不变，电容由原来的 C ，变为C d外力所做的功即相当于系统静电能的改变量0Snd2CU1 2W C U2由于Q不

22、变，C nC，所以U nU因此 W Cn2U2212 2 12W W WU2 C n2 C CU2 n2 21即外力做功A CU2 n 1211-24 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a,外筒半径为b,长都是L,中间充满相对电容率为 r的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和-Q，设b-a<<a，L»b，忽略边缘效应，求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解(1)用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是Q2 rLQ20 rrL两极板间电位差为所以cQ20 rLbIna(2) w-DE22 rLwda2 o r 2 rL2 rLdrQ2

23、40 rLlnba法二:w IQ2, bIn4 o rL a11-25 两个相同的平行板电容器，它们的极板都是半径为1.0mm ,其中一个电容器两板间是空气，另一个两板间是10cm的圆形板，板间距都是r=26的酒精。把它们并联后充电到120V，求它们所储存的总电能。断开电源, 这时两者所储总电能。把它们带异号电荷的两板分别连在一起。求bb QQbUEdrdrInaa20 rrL20丄 a解两电容并联C C1 C2存储电能w 】CU 20S22d1U212 2 28314 O.127 1205.4 10 5j断电后总电量QC2UC1U20S r 1 0 r Ud0.1总电能Q 22C0S0S r

24、 12d r 1由于因此r 1222555.4 10 5274.7105JJ r 1211-26 一同轴圆筒状电容器的内、外筒半径分别为a、b。试证该电容器所储电能的一半是在半径为r ab的圆柱内部。解设圆柱电容器中充以电容率为r的各向同性均匀电介质，内外筒分别带电荷+Q、-Q,长为L。用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是E 2 rLw -DE -2 22Q2 rL设总电能的一半在半径为r的圆柱体内，那么2W2Q2 rL2 rLdrQn丄4 L a1而_W2Q2FTlnba所以Inr1bIna2a【a因此rab证毕。11-27 有一根单芯电缆，电缆芯的半径为r- =15mm，铅包皮的内半径

25、为r2=50mm，其间充以相对电容率r=2.3的各向同性均匀电介质。 求当电缆芯与铅包皮间的电压为U 1 =600V时,长为l=1km的电缆中储存的静电能是多少？解由E0 rrL1In空r1因此w!cu212 0 rLU22心11 2 3.14 8.85 1 0 122.3 1 03 60022151.9 10 2 J11-28充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压为U=1000V时断开电源。假设把电介质从两板间抽出，测得板间电压Uo=3OOOV，求：(1)电介质的相对电容率 r ； (2)假设有3电介质时的电容C120 10 口 F,抽出电介质后的电容 Co为多大；(3)抽出电介质时外力所作的功。解(1)由CrSQ CU0 rSUd同理CooS断开后Q QoQoCoU o所以rUUooSUoUoUCoCoS dCo 5 詈 E 6.7 E HWiw21 -CiU22CoUo212010 310 62120103610231 o rS u 22 d2 o1ooo2 1 1o 2J3ooo23 1o 2J所以