大物教材参考答案

1、1.7 一质点的运动学方程为 x t2, y (t 1)2 ,x和y均以为m单位,t以s为单位，试求:(1) 质点的轨迹方程；、(2) 在t=2s时，质点的速度 v和加速度a。解：(1 )由运动学方程消去时间t可得质点的轨迹方程，将 t代入有y C、X 1)2或,y 、x 1dx2xVyVxdtaxdvxdt2, aydvy2dt对运动学方程微分求速度及加速度当t=2s时，速度和加速度分别是r r rv 4i 2 j m/ s1.8一质点的运动学方程为r2ti,即dy 2(t 1) V 2tir 2(t 1)r dtr r ra 2i 2jr r r 2a 2i 2j m/s2(2 t2)，其

2、中，；,t分别以m和s为单位，试求：(1) 从t=1s到t=2s质点的位移;(2) t=2s时质点的速度和加速度；(3) 质点的轨迹方程;t=2s时，质点的位矢r ,速(4) 在Oxy平面内画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出度v和加速度a 。解：依题意有2x=2t ( 1)y= 2 t (2)r r r r r r(1)将 t=1s,t=2s 代入，有 r(1)= 2i j， r(2) 4i 2jur故质点的位移为r r(2)(2) 通过对运动学方程求导可得r dxr dyr J 2trv i i 2i 2t idt dt当t=2s时，速度，加速度为uur rr(1)2i 3jrd2xrd

3、yr Ja2 i2 j2jdtdtrr rrr2v2i 4jm/ s a 2j m/ s由(1)( 2)两式消去时间t可得质点的轨迹方程y 2 x2/4(4)图略。1.11 一质点沿半径R=1m的圆周运动。t=0时，质点位于A点，如图。然后沿顺时针方向运动，运动学方程 s tt,其中s的单位为m, t的单位为s,试求:1质点绕行一周所经历的路程，位移，平均速度和平均速率； 2 质点在第1秒末的速度和加速度的大小。解：1质点绕行一周所经历的路程为圆周周的周长，即 s 2 R 6.28m由位移和平 均速度的定义，可知此时的位移为零，平均速度也为零，即rrrr小r 0，v -0t令ss(t) s(0

4、) t2t 2 R。可得质点绕行一周所需时间t 1s-s 2 R平均速率为v6.28m/ stt由以上结果可以看出路程和位移，速度和速率是不相同的。2t时刻质点的速度和加速度大小为dt2(VR)2羽2当 t=1s 时，v=9.42m/sa=89.0 m / s .1.14 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为2 4t，的单位为rad,t的单位为s，试求：1 在t=2s时，质点的切向加速度和法向加速度的大小;2当 等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成45°。解：1质点的角速度及角加速度为dt12t2£dt224t因此，质点的法向加速度和切向加速度大

5、小为24an R 144Rt ，a R 24Rt2 2当 t=2s 时，an 230.4m /s ， a 4.8m/ s。' r2设时刻t， a和半径夹角为 45°，此时an a，即4144Rt =24Rt得 t'31/ 6s(t')2 4t'32.67 rad。a cos ti bsin t j 。4.6质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为1试求质点的动量;2试求从t=0到t=这段时间内质点受到的合力的冲量，并说明在上述时间内，质点的动量是否守恒？为什么？r d rrr解：1由质点运动学方程得质点速度v =-: dt=a sintibcos

6、 t jurrrr动量为p mvm a sinti mb cos tjr u 2u2根据动量定理，合力的冲量为IP(2-)P(0)02虽然t=0和t=时质点的动量是一样的，但在上述时间内，由1中动量的表达式可以看出动量是时间的函数并不守恒。所以质点的动量不守恒。4.14 一质点M=10kg的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度 系数k=100N/m。今有一质量 m=1kg的小球以水平速度 v° 4m / s飞来，与物体 M相撞后以vi 2m/s的速度弹回，试求1弹簧被压缩的长度是多少？2小球m和物体M的碰撞是完全弹性碰撞吗？3 如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与

7、M粘在一起，那么12所向的结果又如何?解：碰撞过程物体，小球，弹簧组成系统的动量守恒mv0my Mu咛)0.6m/s小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体1 2 12C1kx 0 Mu2 2M有作用力，对物体 M，由动能定理得:弹簧被压缩的长度0.60.06 m(2)Ek1Mu2 1 2mw12 mvh222_ 1102 1(0.6)2 -1221 1=22242=4.2J有动能损失说明是非弹性碰撞。3小球与物体 M碰撞后粘在一起，设其共同速度为u ,根据动量守恒及动能定理mv0 (M m)u即丄kx20丄(M2 2m)u2此时弹簧被压缩的长度是 xmv°、k(M m)1_4.1000(

8、11)0.04 m碰撞后，两物体粘在一起，这种碰撞为完全非弹性碰撞。3.7 质量为m,总长为I的铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂，试求A=Ep =1(2mgl)1(§mgl)mgl8铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。解:重力所作的功，等于铁链势能增量的负值，取桌面为势能零点，因而有3.8 一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。质点的运动学方程为x 3t 4t2 t3,这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求:(1 )力在最初4.0s内的功；(2)在t=1s时，力的瞬时功率。解：(1)由运动学方程可求质点的速度v 生 3 8t 3t2dt1 2 1 2 2质

9、点的动能为Ek(t) -mv23.0 (3 8t 3t2)2根据动能定理，力在最初4.0s内所作的功为AEkEk(4.0)Ek(0)528 J(2)a=dv dt6t 8质点所受的力为F=ma= 3 (6t8)功率为p(t) Fv3 (6t8) (3 8t 3t2)t=1s时的瞬时功率 p(1)12 W3.15长度为I的轻绳一端固定，一端系在一质量为 m的小球，绳的悬挂点下方距离悬挂点 的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速度释放， 欲使球在以钉子为中心的圆周上绕 一圈，试证d至少为0.6l。解：假设小球以钉子为中心恰好能完成圆周运动那么有v2mg m -l d小球运动过程中绳子张力不做功

10、，只有重力做功，机械能守恒，以最低点为零势能点由机械1 2能守恒得mgl mv mg2(l d)解方程得d 0.6l9.9 一对“无限长的同轴直圆筒，半径分别为R和R2(尺只2)，筒面上都均匀带点，沿轴线单位长度的电量分别为牀口 2。试求空间的电场强度分布。解：根据电荷的轴对称分布可知电场应是轴对称分布的，以直圆筒轴线为轴，作一半径为 r，高为I的闭合圆柱面为高斯面。由高斯定理有(1) r< R,区域- EdSR,<r< R2 区域 E(3)r> R2区域E=0dSE 2 r I =丄1 10E= 21or-EdSl= I( 1+ 2)l0E=220r9.11功。解：把

11、单位正电荷从电偶极子轴线的中点图中O点的电势为q4 0(l/2)4 o(l/2)9.13解:根据求与点电荷O沿任意路径移到无限远处，求静电力对它作的=oAab = q0(A =08q=2.0* 10 C分别相距a=1.0m和b=2.0m的两点的电势差。-)=90 Vb9.16 半径为R的均匀带电球体，其电荷的体密度为，求：1球外任一点的电势;球外表上的电势；3球内任一点的电势解：由高斯定理求出均匀带电球体的电场分布为rE=以无穷远为电势零参考点，那么(r R) 3 03(r R)(1)球外一点的电势(r>R )：rjR3(2)球面上的电势r=R )：3drR23?(3)球内一点的电势(r

12、<R )：Rdrr 3 0R3帚水 67(3r2 r2)9.21半径为R的导体球带电量为q，球外套以内、外半径分别为R2和R,的同心导体球壳,球壳上带电量为 Q. 1求球和球壳的电势 2求球与球壳间的电势差 和球壳连接起来，再答复12两问；4假设将球壳外面接地，再答复 解：1先由高斯定理求出电场强度分布3用导线把球1 2两问0(r R)汁TR14°rE_0 R2 rq Q /2r4°r再根据电势的定义得导体的电势为rR2)R3)R)R21 _ & 4orR3 4dr 才诗1R2)_q Q40R3导体壳的电势为(2)2_dr_2r3 4 0r2导体球与球壳间的电

13、势差为q Q4 oR;(i_q1 - 2 _4(3)用导线将导体球与球壳连接后，电荷全局部布在球壳的外外表上，其电量为在这种情况下，电场强度的分布为0( rR3)E_ q Q严弋仃 R)4 or此时2 _qR3 42 dror=_q=4Q2or因为1 - 2 =0(4) 用导体将球壳的外外表接地，那么球壳只有内外表有电量-q分布，此时，电场强度的分布为0(r R)E=rR2)4 or0(r R)因此有2 =0R2ri 4q2ordriR29.31 一半径为R的长直径导线的外面,iR2套有内半径为R2的同轴薄圆筒，它们之间充以相对介电常数为r的均匀电介质。设导线和圆筒都均匀带电，且沿轴线单位长度

14、带电量分别为和 。(1 )试求导线内、导线和圆筒间、圆筒外三个控件区域中电场强度分布(2)求导线和圆筒间的电势差解：(1)由电荷分布的柱对称性可知电场也是柱对称分布的，作与导线同轴的封闭圆柱面为高斯面，其上、下底面与轴线垂直。由介质中的高斯定理知对rR1D dS=D 2 rl=0D=0E= D=0R1rD= 2 rDE= =0 r 20 rrrR22=R2dr =In R2R 20 r r20 rR9.32导体球带电8q=1.0* 10 C,半径为R=10.0cm，球外有两种均匀电介质，一种介质的相D=0E=0对介电常数 ri =5.0，紧贴球面成球壳状包围导体球，厚度为 d=10.0cm;另

15、一种介质为空气r2=1.0，充满整个空间。1 求离球心0为r处的场强，并算出r等于5.0cm、15.0cm及25.0cm处的电位移 D和场 强E的值2求离球心 O为r处的电势，并算出 r等于5.0cm、15.0cm及25.0cm处的电势 的值解：1由电荷分布的球对称性可知电场也是球对称分布的，电场强度E和电位移矢量 D的方向是沿径向的，作同心球面为高斯面，由高斯定理很容易知道D和E的分布。0(r10cm)qD=2 (10cm r 20cm)4 rq2 (r 20cm)所以 r=5.0cm,4 rr=15.0cmD2=笃=3.5* 10 8(C/m2)4 rr=25.0cm2由电势的定义可知E2

16、 = -d=8.0* 102 (N/C)0 r1q82D3 =2 =1.3* 10 (C/m )4 rD33E3= =1.4* 10 (N/C)0 r20(r10cm)D e=0 rq2 (10cm r 20cm)40 r1rq2 (r 20cm)40 r2rD1 =0E1 =0当r 10cm时,0.10.20dr +0.1 4dr+0.2 drr10 r2'=q40 r1102)+ 40.210cm r 20cmr 20cm所以 r=5.0cm,r=15.0cmr=25.0cm2=5.4*10(V)Rr +r1 r0.2 420 r2drq 丄丄40 r1 r 022dr = 一4

17、0 r2r 421 =5.4* 10 V22 =4.8* 10 V3=3.6* 102V1 * 1* r2 °2q0 r2r9.34 一平行板电容器的两极板上，带有等量异号电荷， 板间充满r=3.0的电介质，电介质6电场强度为1.0* 10 V/m，不计边缘效应。试求：1 电介质中电位移 D的大小和方向2极板电荷的面密度解：1因板间充满的是各向同向同性均匀介质，所以52D= 0 r E=2.7* 10 C/m 2设极板面电荷密度为，在板间作一底面积为S的封闭柱面为高斯面，其轴线与板面垂直，两底面与极板面平行，而且上底面在极板内，由电介质中的高斯定理知：D dS=D S=S所以=D=2

18、.7* 10 5 C/m210.4将一无限长直导线弯成如下图的形状，其上载有电流I，试计算圆心 O点处B的大小1解： 圆心O点出的B是由长直导线 AB、CD和-圆弧导线BCD三局部电流产生的3磁场叠加而成，因此可用叠加原理求解弧BCD在0点产生的磁感应强度 B1的大小为B1= 04Idl 0I6rIrd 02r方向垂直纸面向里，载流长直导线AB在O点产生磁感应强度B2的大小为其中1 =052=6b2=4 a0I (cos 1cos 2)oa=r cos 60 =r/2所以方向垂直纸面向里载流直导线DE在0点产生的磁感应强度B3的大小为所以B3= (cos4 a561 cosoa=r cos 60 = r/20点的合磁感应强度的大小为10.17 一无限长直载流导线,B3=-2 rB= B1+B2+ B3通有电流方向垂直纸面向里0.21 oI方向垂直纸面向里r50A，在离它0.05m处