大纲版高二数学下§6.2算术平均数几何平均(修改稿12页-22页)

1、 6.2算术平均数几何平均数磨法石一一核心知识归纳算术平均数与几何平均数之间到底有怎样的大小关系呢？i.根本形式的不等式：(1) 如果a、b R,那么a2+b2?2ab，当且仅当a=b时取等号。2.3.(2)如果 a、b R+,变形形式的不等式:(1)如果 a、b R+,(2)如果 a、b R+,那么那么那么运用均值不等式求最值原理:a+b 2 ab，当且仅当a=b时取等号。2 2ab 或(a+b) 2 2a2+2b2或( b)2 2 2ab 2、. ab=定值，当且仅当 a=b时，a+b取最小值。a b(2) 假设a b R+，且a+b为定值，那么有ab 2 ab 一定要注意是正数；a+b2

2、ab, a、b R例 1:求最大值(1) 2sin 0 cos 0 sin2 0 cos2 0 =1 或 sin2 0 1;(2) 0 v av 1v b,那么 y= log + log a解：(1)v 2sin 0 cos 0 sin2 0 +cos2 0 =1 或 2sin 0 cos0 = sin2 0 0,这是将负数化正数的一般方法。2 .连续几次使用不等式时应注意取等号条件的一致性。1 1例2 :a、b R+,且a+2b=1，求一+ 最小值。a b错解一：t a+2b=1 1 + 1 =(1 + )( a+2b) 2pab=4p2a b a b ab错因：a=2b与a=b不能同时成立

3、。错解二： 丄 + -+ a+2b= a+-+ -+2b2+2 . 2a ba b11V2错因：由 a= ,=2ba=1, b= ，但 a+2b丰 1ab2正解： a+2b=1 1 + 1 =(1+ 1)( a+2b)=3+却 + a 3+22a b a ba b.当且仅当 竺=a，即a=. 2 b时，等号成立，代入 a+2b=1，得a= . 2 -1,a b211b=1- ，故一+ 的最小值是 3+2 2。2a b3 .正确理解和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值。b=-时取等号,3上例错解三：丄+丄二 一+1 21 ，当 b=1-2b时a b 1 2b b b(1 2b)1 1 (+

4、)min=2 -.3 3=6a b积定值，再考虑等号成立条件,错因：应该先分析出现和、再代入出现定值。1 错解四： a+2b=1 a=1-2b0，得 0v bv211111 b_ + =+ =a b 1 2b b b(12b) b(1-2b)=- 2b(1-2b) w 1 (2当且仅当2b=1-2b 时111+ =- ab82b=丄时等号成立412b 1 2b)2=2 81错因：虽然b= 时，b(1 - 2b)取最大，但此时分子1- b并非取最小值，故和或积为定值不4能只考虑局部，而需要考虑整体表达式。金钥匙一一解题方法技巧:例1 :以下命题正确的选项是112(1)x y R+, x+2y=1

5、，那么xy ; (2)和式+3x的最小值是12;8x(3)因为-+ , x244，所以一I- 2；7x4(4)假设正数a、b满足ab=a+b+3，贝U ab的取值范围是9, +)解：命题(1 )、(4)正确，(2)、( 3)错误。 1(1) 1=x+2y 2 . 2xy : xy -8,、11 x y 21或 xyw x 2y () 0 时，f (x)=+3x 2 .36=12x12xv 0 时，f (x)= -+3x w-12x解题规律：(1) 是和式，要证是积式，故可利用 均值不等式实现和、积转换或称和、差化积，积 化和差。(2) 在函数表达式中，由于变量符号不确 定，故需进行讨论，以便能

6、正确使用均值不等式。(3) 一正二定三相等在求最值时缺一不可， 必须认真检查，假设所给条件不能使用不等式求最 值时，可考虑利用函数单调性来解决。1r(3) t 令=x 4x2= - 3 不可能Jx24等号不成立；只能利用函数的单调性解决，由、X2 4 2,解题规律：(4)用凑配法凑配出能使用不 等式的条件，在求函数最值时经常用 到，目标是使和或积为定值， 同时注 意取等号的条件。115而 f (t)= t + -在 t 2 , + s单调递增，所以 f(t)mi n= f =2+=t(4)由 ab=a+b+3 2 ab +3(.ab)2-2 . ab -30或由b=_3=1+a 1 a 14a

7、4故：ab=a+ = a+ +4=a-1+-a 1 a 1a/ b0,. a-1 04+5 4+5=91例 2 : a、b、c r，求证：, a2b2 + . b2 c2+ 、c2a2?、2 (a+b+c)x2+y2 2xy及拓展形式解析：由不等式两边确实良结构特点，我们联想到重要不等式2 2- (x y)2(x、y R),故可运用它们进行证明。2 2解题规律：不等式两边一边为无理式， 另一边为有理 式那么应考虑将无理式转化为有理式， 即将根号里面变 出完全平方，再开方，当然 JOb W 七卫也是一种化无理式为有理式的方法。三式相加可得：2 .2 2 2 - 2 2 .a b + b c +

8、. c a 、2 (a+b+c)2证明：b2 |a+bp22乙(a+b)同理b2二(b+c)2c22(c+a)2点金术一一思维拓展发散:例3: (1)假设a b c,那么a- c-b227(a c)b的最小值。ac(2)设OW xw 1,贝U y=x-x3的最大值。解析(1):不能直接看出有什么积为定值，故需将式变形，能否凑配同积为定值，可 观察出分母可分解因式：2727原式砂r s仍皆)弋罰不ra-bOt27/27-沪吋不?可砂心)莎歸=9仅当皿=占=孑取等号，故最小值为9解析(2):解析式为和差形式，初看不能使用不等式，但只要提取公因式就可化为积的形式, 再来凑配中为定值。解： 0 w x

9、 01又 y2=x2(1-x2)2= 2x2(1 - x2) (1- x2)22x22(1 x2)327当且仅当 2x2=1-x2x= 0,思维互动：1生：y=x(1- x2) =x(1-x) (1 +x)= 一 x(2- 2x) (1 +x)21 x 1 x 2 2x 3 14w ()3=，不是2 32272-yw： 3由存在，取等号条件是 x=1+x=2-2x,这样的x不 需另想方法。1时，ymin= -3方法规律：在利用不等式求函数最值时，常用到凑配技巧，增项、减项或乘除某一常数,使和、积成为定值，同时兼顾等号成立条件。a b例 4: a、b、x、y R+, - + - =1，求证 x+

10、y ( a . b)2 x y 解析：因为x+y与-+ -之间存在一种倒数关系，故可考虑两式相乘而达约分的目的。x y证法 1: x+y=(x+y)( I )=a+b+a+ b?a+b+2 .；ab = (、a x y证法2 :可利用三角代换，由a+b=1的特点，可令x y-=cos2 9,xb =sin2 9,y贝U x= a2cosb，y=2sinx+y-(、a, b)2=x-a+y-b-2 xysin2 cos222=x- xcos2 9 +y- ysin2 9 - 2 xysin cos=xsin2 9 +ycos29 -2 xysin2 cos2i .222、 c=(.xsin -

11、. ycos)2 0证法 3: T a、b、x、y R+,且 a b =1- v 1x yxx ax-a 0x+y=x+b+ 严 =(x- a)+ ab +a+b a+b+2 ab=( .ax ax a方法规律：对于条件不等式的证明，怎样使用好条件不等式是解决问题的关键，上述三种 解法各具特色，也是对“ 1的三种不同的理解。b)2GOSA的最小值，式中 I例5 :求解法1：要求y的最小值，就要使 y右边变为两个和式且使积为定值，故联想LjA = seG2 = 1为定值。a+b.17 2-屈十护仕.bj-出幷;0 +-r-(-ij+i $ 评对?$2 Glt 土说沖“)2C O SZ | C Q

12、/昇 |、/ ab,1丄、a b,1,、，2b亠当 (tan x) =(tanx) tan x2 时等号成。|cosx|2 |cosx|a2 b2解法 2 :设 t=tanx,贝U cosx= . 1 t2y=a 1 t2 -bt y+bt = a . 1 t2(y+bt)2= a2 (1+t2)(a2- b2)t2-2 byt+(a2-y2)=0 由于t为实数，故式中的判别式0。即 0 a2- b2故当tanx=_b_a2 b2时,方法规律:1在考虑将函数式转化为二次方程利用判别式求最值时，必须注意自变量x应是取全体实数才行，否那么可能产生错误。一般地假设x有限制，那么只能利用不等式或函数单

13、调性来求解。例6:为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体长度为 a米，高度为 b米，流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比，现有制箱材料ab根据题设有4b+2ab+2a=60 (a 0,b 0)得二30*2-hoc(00为比例系数。60平方米，问当a、b各为多少米时,Jc外心冷这时a=6或a= -10 舍去，将a=6代入得b=3，故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法2:由题设知4b+2ab+2a=60那么 a+2b+ab=30 (a 0, b0)/呑+23龍必:丄返拓+盘雄30当且

14、仅当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为 18 2b =18，解得 b=3 , a=6。故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。方法规律：(1) 对于实际应用问题中的杂质最少，材料最省，利润最大，效率最高等问题一般都是先建 立一个函数关系式，再根据函数关系式可利用均值不等式求最值或二次函数求最值或三角 函数求最值，单调性求最值。(2) 解法1的变形是涉及分母是一次式， 而分子是二次式的形式，只要具有这种形式的函数，均可采用类似的变形方法。 而解法2利用了和化积，这一变换技巧，也是常用的变形方法。试试看潜能挑战测试：根底知识1、 设a、b R+，且b，那么以下不等式中

15、不正确的选项是()2、 a、b R,且a+b=3，那么的最小值是()A、6B、1 “C、2松D、i3、设实数a、b满足0 v a v b且a+b=1，那么以下四数中最大的是()1A、B、a2+b2C、2abD、a24、 x 0, y 0，且 x+y=6，贝U x2+y2存在()A、最大值36B、最小值18C、最大值18D、无最小值5、 设 x、y 为正数，且 xy-( x+y)=1，那么()A、x+y2( . 2 +1) B、xy 2( . 2+1)36、 函数 y=1 -2x-(x0)的最大值是 。x7、 x 1, y 1且f，那么xy的最小值是。8、a b 0，求证：ab(a 3b)19、

16、函数f(x)= x (1- x), (Ov xv=的最大值是 3思维拓展10、a 0, b0,且丄a11、x 0, y 0,求证:9b1尹，求a+b的最小值。y)212、设 n R, n 2,求证:log nn .Iog(nn13、设 x R, 0 v av 1，求证：logxaax2log：x14、(a+b)(x+y) 2(ay+bx)，求证:a b15、设0, ，不等式 sin2 (2 .2. 2a)sin(2成立，求实数a的取值范围。应用创新-)2a 3 v416、 一个直角三角形，其周长定值2，求它的面积的最大值。17、 某化工厂生产某种产品， 当年产量在150吨至250吨之内时，其年

17、生产的总本钱 y (万元)与年产量x (吨)之间关系可近似地表示为2x1030x4000。(1) 求年产量为多少吨时，每吨的平均本钱最低，并求每吨最低成平均本钱。(2) 假设每吨平均成厂价为 16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并注出最 大年利润。18、一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分假设干次等量进货，设每X次进x货件，每进一次货需运费50兀，且在售完该货物时能立即进货。现以年平均件2货物储存在仓库里，库存费用以每件20兀计算，欲使一年的运费和库存费之和最省，每次进货量应x为多少件？此时运费和库存费为多少元？标准答案与提示 1 11、D (点拔：可用特值法。

18、a+b 2 abv a b2ab2、 B (点拔：2a 2b 2 2ab2 23 )13、B (点拔：a2+b22ab, 1=(a+b)2= a2+b2+2ab2又 0 v av b两个不等式等号均不成立)4、B (点拔：T 36=(x+y)2= x2+y2+2xy 18)x v 2oo5、 A (点拔：T 1+(x+y)=xyW ()(x+y)2 -4 xy-4 0(x+y)- 22 8xx+y?2+2 . 2 )6、 1-2%/6 (点拔：y=1-2x+3 w 1-2 J2x ?)x x7、(xy)min=32 (点拔：log 3y log 3 log 3 2 loglogs =2)1 1

19、 “8、a+= a- b+ b+ 3(a b)b(a b)b1 c “ c1 ,3x9、f(x)= x (1 - 3x)= 3x (1-3x)0, b 0 b9 且 a 1a bb 9bb厂- a+b=+b=(b- 9)+10 2 9+10=16b 9b 9当且仅当，b-9=，即b=12 , a=4时取等号。b 9法二 由 a+b=(a+b)(+9)=1+9+ + 西10+2 .9=16a ba bb 9a1 9当且仅当一=,+ =1，即b=12 , a=4时取等号。aba b12.1 1证明：一(x+y)2+(x+y)=2x y 1 x y(x+y+)=2 2 21 1(x+y+)4+y.

20、x证明：T n2-n-1n+1 1(n 1) (n log n log n1) wlog(n 1)n2n 1lognlogn212log=113.T ax0, a ax+ ax2又x-x2=-( x-当且仅当2+! w241丄时，等号成立，但21x=时，axz a2 1x 2 . ax x 2a8 (0vav 1)a21v log a + _814.由得 ax+ bx+ay+by 2ay +2bx/ ax- ay- bx+ by 0, (a- b)(x- y) 0(a- log ax x2x y o, u o , g + a b a b x ya b15 .不等式化为:2sin B cos B -(2+ a)(sin B +cos B )+2a+3 vsin cos0 w Bw , 1 w tw 2 且 2sin B cos B =t2-12令 t= sin B +cos B = 42 sin( B + 一), t 4，4 原不等式化为(t2-1)-(2+ a)t+2a+3vt42(t2)即 t2-(2+ a) t+2av-2，变形为 t(t-2 )- a(t-2) v -tt/ -1