导数讲义(理)

1、体系构建导数导数专题一、导数的根本概念1. 平均变化率和瞬时变化率y = f(Xox) f(Xo)xx(1)平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y =f(x0+ x)f (x 0),比值 一l叫做函数y=f (x)在x0到x0+ x之间的平均变化率，即x(2)瞬时变化率：当x 0时，此时的 A 就叫做瞬时变化率x2. 导数的定义如果当 x 0时，一有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f (x)在点x0处的导x数，记作f (X 0)或y I X勺。即 f(x0)lxm0lxm0f(xx) f(X)。说明：(1)函数f (X

2、)在点x0处可导，是指 X可导，或说无导数。0时，有极限。如果 亠 不存在极限，就说函数在点 x0处不XX(2) X是自变量x在x0处的改变量,x 0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f (x)在点x0处的导数的步骤: 求函数的增量 y=f (x0+ x ) f (x0) 求平均变化率丄=f(X0 x) f(x。)XX 取极限，得导数f(x)= lim yx 0 v体系构建导数【典例精讲】：例1.设函数f (x)在x=xo处可导，那么lim -f(Xo一h)一f (X)与xo, h的关系是 h 0hQIC Y例2y,x (,),那么当y2时,x1 cosx例 3

3、. f (X)axxa,那么 f(1)3. 导数的几何意义几何意义：曲线y f (x)在点X。处的导数等于点(xo, f(xo)处的切线的斜率 K因此，如果y f (x)在点X。可导，那么曲线yf (x)在点(xo, f (xo)处的切线方程为y f(Xo)f /(xo)(x Xo).例1.如果曲线yx 1o的某一切线与直线y 4x 3平行，求切点坐标与切线方程.分析：此题重在理解导数的几何意义：曲线y f (x)在给定点P(xo, f (xo)处的切线的斜率k f (xo)，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。例2.假设曲线yx4的一条切线I与直线x 4y80垂直，那么I的方程为例3.函

4、数f (x)在x=1处的导数为3,那么f(1) f (x) = (x- 1) 2+3 (x- 1)2(3) f (x) =2 (x - 1)(x )的解析式可能为 (2) f (x) =2 (x -1)(4) f (x) =x 1体系构建导数()A. 3B. 2C. 1例4在函数y x3 8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是4例5.直线11为曲线yx2x 2在点(0, 2)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且li12(I)求直线12的方程；(n)求由直线li , 12和x轴所围成的三角形的面积4. 导数的运算1 根本函数的导数公式：C 0; (C为常数)xnnxn

5、1;(sin x) cosx；(cos x)sin x;(ex)ex;(ax)ax ln a51 ln x;x l Oga1xxlogae丄x2 导数的运算法那么假设u(x),v(x)的导数都存在，那么：1 1 1 u v) u v.(ku)ku(k为常数)；1 1 1(uv) u v uv .(u) vuvuv2 v【典例精讲】：1. 求以下函数的导数体系构建导数2(1)y=(2x -1)(3x+1)(2)y x2 sin x y ln(x 1 x2)xcos x10yxsin x2丿cos2xysin x cosx2. 以下函数的导数：2x3 3x x 1x4x f (x) ex (cos

6、x sin x) y (x 1)(2x2 3x 1)3. f (x) x3x2 f(1),那么 f(2) 4.设 fo(x) = sinx,A. sinxf1(x) = fo，刈,f2(x) = f1 x),B. sin x C.，fn +1 (x) = fnx), n N，贝y f2005(x)=5.设f(x)、g(x)分别是定义在cosxD. - cosxR上的奇函数和偶函数，当x v 0时，f (x)g(x)f (x)g (x) 0.且 g(3)=0.那么不等式f(x)g(x) v 0的解集是()(-3,0) U (0, 3)(-g，- 3) U (0, 3)A.(-3,0) U (3,

7、+ g)BC .(- g，- 3) U (3,+ g) D3. 复合函数的导数形如y=f g(x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解 求导 回代。法那么：y/ lx = y/ lu u，ix或者(fg(x)fg(x) g(x).体系构建导数例1求以下函数的导数:2、8 y (1 2x),(2) y 3 x 3 x例2求以下函数的导数：(1) y cos2 (ax b),1 sin2x.1 si n2x例3求以下函数的导数:(1) y(x 1)(2) ysin21例4求以下函数的导数:sin x ln x(1) y e(2)yInx4体系构建导数二、定积分的根本原理1. 定积分的概念设

8、函数f(x)在区间a, b上连续，用分点 a= x0x1 - xi - 1xi-1时，(n)设当x 0时，f xxXX 1，求a的取值范围.ax 1/(x) = (2 a) Id xh例2：函数X(a R).(I)当总时，求f(“)的极值；(n)当a xcosx xsinx sin x cosx 1解:分析:法(x sin x)2y sinCOSX .利用导数的四那么运算求导数。法二：y6x2y 2x3 3x2 (x1)(2x23x2x21)5x2 2x 123x 1 2x3(x 1)(2x2 3x 1) =2xy 6x210x 23x1+(x 1) (4x3)10x3 y 2x23x1 y

9、3x2 f (x) ex(cos x+sin x)+e(sin x+cosx)2ecosx,3、04、C5、D复合函数的导数:1、答案解：(1 )令 u (1 2x2)8, y u8,yxyuUx(u8) (1 2x2)8u7 4x 32x(1 2x2)7.1 1(2)令 u x x3 ,y u3,1 1yx (u3) (x x3)(13)-x 331(2)令 y u2,u2x, yxsin1111sin -22 l n22xsin(cos-)(-)22 xln 2 sinxxxxx2、答案解:(1)y2u ,ucosv, vaxb,yxyuuyVx(u2)(cosv) (axb)2u(sin

10、v)a2asinv cosv asin2v a sin 2(ax b).21 vyu uv vt tx (u ) (C)(sint) (2x)11 2 u(1 v) (1 v) cost 2112 cos2x 22(1 v)21 si n2x(1sin 2x)21 si n2x2cos2xcos2x(1 si n2x)3、答案解：(1)(2)1 ln(x21)1) ln(x 1),sin2!2 x宀)4、答案sin2!(2 x)In 2(sin2 丄)xsin2!2 x11In 2 2sin(sin )xx解：(1) ysin xlnx /e(cosx I nxsin x)/ In x、sin

11、 x /(e ) (cosxln x-si nx)xsin x /(cos x l nx1 sin x)x解法1:-)14J)1-4x3 x2114xx22x 4 xx211解法2:4x3(x21) xx4(x21)y 4In x丄1 n(x221)2x定积分的根本原理:15cm1、15cm54【解析】当10 x 2，线段AB的方程为10x，当-21时。线段BC方程为H整理得10x10,即函数 y f(x)10x,010x-210E，所以yxf(x)10x2,010x212110x-21函数与x轴围成的图形面积为210x2dx011(10x210x)dx 10 x3310 3x35x2)3、A

12、函数的单调性1、应选C解析:由函数y xf (x)的图象可知：当 x 1 时，xf (x) 0,此时 f (x)增当 1 x 0 时，xf (x)0, f (x)0,此时 f(x)减体系构建导数当 0 x 1 时，xf(x)0, f(x)0, f (x)0，此时 f(x)增2、答案：f (x)3ax21右a0 , f(x)0 对 x (,)恒成立，此时f (x)只有-个单调区间，矛盾右a0 , f(x)10x (,), f (x)也只有个单调区间，矛盾右a0f (x) 3a(x1 1)(x)，此时f(x)恰有三个单调区间占|a| v3|a|11 11 a 0且单调减区间为(, )和(,)，单调

13、增区间为( ,)V3|a|J3|a|v3|a| J3|a|3、答案：(I)由f(x)的图象经过P (0, 2),知d=2,所以 f (x) x3 bx2 cx 2,f (x) 3x2 2bx c.由在M( 1, f ( 1)处的切线方程是6x y 70，知6 f( 1)70,即 f(1)1,f ( 1)6.3 2b c 6,即2bc 3解得bc 3.1 b c 21.b c0,故所求的解析式是f (x)x33x2 3x2.(n) f (x) 3x；2 6x3.令3x26x 30,即 x2 2x 10解得 X1112.当 x 10，当 1 x故f (x)的极小值、极大值分别为 f (而 f (

14、3)17、f (0) 11 时，f/(x)0,1)3 f(1)1，故函数f (x) x3 3x 1在-3 ，0上的最大值、最小值分别是3、-17。解； f ( x ) sinx-cosK+ac+l)知 (h) =1 +匹zin ( x+专) 令F (m) =0)A而可導Min W扌)或莊琴，单蒯财；卄2 _ |单蜩応|討桶卿/因此由上埶 3的单调谨駆间圣(Dr)与 谆4), 单调嵋质区噩 山 乎八 极小值加(乎)二尹 极大值対f *3、解： 当 a 0时，f (x) x2ex，f (x) (x2 2x)ex，故 f (1) 3e.所以曲线y f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率为3e.(

15、II) f (x) x2 (a 2)x 2a2 4a ex.2令 f (x) 0，解得 x 2a，或 x a 2由 a 知，2a a 2.3以下分两种情况讨论。2(1)假设a 2，贝U 2a v a 2 .当x变化时，f(x)，f (x)的变化情况如下表:3x，2a2a2a， a 2a 2a 2，+0一0+/极大值极小值/所以f(x)在(，2a),(a 2，)内是增函数，在(2a, a 2)内是减函数函数f (x)在x2a处取得极大值f ( 2a)，且f ( 2a) 3ae 2a.-体系构建导数JJ-iB-* 1上站1函数f(x)在x a 2处取得极小值f(a 2),且f(a 2)(4 3a)

16、ea 2.2(2)假设a v，贝U 2a a 2，当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表:3x，a 2a 2a 2， 2a2a2a，+0一0+/极大值极小值/所以f(x)在(，a 2),( 2a，)内是增函数，在(a 2，2a)内是减函数。函数f (x)在x a 2处取得极大值f(a 2)，且f (a 2) (4 3a)ea 2.恒成立与能成立问题1、答案：令(兀)=一工一1 .那么龙(工)=e1 - I +当g(垃在(),+)是増函数;h A (时Q(x) g(0)t即 1 + x2、解：(I) f (x)的极小值为2一252，无极大值(n)当&心时，的递减区间为和，递增0 1区

17、间为 见；当口 = 一2时, /CO在(Q十玄)单调递减；当一时，/(工) 的递减区间为2 和(p-1)弓递增区间为-.(m) m解析：(I)依题意知的定义域为(S ( i 分)体系构建导数jf(X)= 21n ff( = -L j二 x =当、一 .时，. 令m；叮u，解得 ：0 jr jc A 丄当：时，护时叫当：时，又:.貿：0勺的极小值为-一二-，无极大值(4分)= f+加=竺空兽口(U).(5分)丄 V 丄“ OYjcU丄或 X/- 工 x 当X-2时，42,令/W0,得口2,令得曲21 1当-2 a 0时，得盘2，令f t丈0得 1? fg-S 刘!口；当 a =-2 时，jT综上

18、所述，当-一：时，：的递减区间为和-Ji- jfqj.(0,-)1 X +aD)单调递减；当2弋柑丈0时，的递减区间为2和a，递增区间为，递增区间为交点个数问题:1、解：因为f 仗1=总+?旷1卩删孑=|+-10=0因t匕诗出(】1 )由 I I知1 f (x) =161n U+i) +x2-0x)展(-Itf (咄仝茂臓十巧-l-x当* (-b 1) U (3 +fl当* (1- 3)时，V (x) ,+处)7的单调就区闻星(I- 3)cud由til)热f()(-1. n内单调增加，& 1- 3)内单调耐在(3. *)上堇调翳加且当庐喙0* j61n2-S= (1) ( e-1 ) -32*11 =-l) lby=f (O的图象各有一个交点，鱼且但当匡(3) bf (1) 因此*瞪舰值范H为C3EL施吃1161ri2T).x2，32323，44,g x+0-0+g x增极大值减极小值增2g x 3x 14x 8 3x 2 x 4 ,2 68g 2 27 m，g 416 m .解：函数f(x)的导函数为 f(x)函数f(x)的图象过点d 30c