山东建筑大学高数下学期作业第章12作业和练习题答案

1、解：由Q点的坐标为x,0,所以 丄2x丄，整理得方程为 y'y 2x 0 y'第十二章微分方程1指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解:1y" 2y' y 0,y x曲线上点Px,y处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。ex ；不是2 xy" 12y' 1 2y 0, y Geix C2e2X ；不是3 xy xy" xy'2 yy' 2y' 0,y Inxy.是2、给定一阶微分方程 dy 2x，dx1 求出它的通解；2解：方程两端积分得通解为y x C2求通过点1，4 的特解；解：将yx1 4

2、带入通解解得 C 3,故所求特解为 y X2 33求出与直线y 2x 3相切的解；2x02x01解：设切点为xy。，那么有，解得 0，带入通解解得yo 2x° 3y°52C 4,故所求特解为 y x 414求出满足条件 0ydx 2的解。1 2525解：由 x Cdx 2得C ,故所求特解为 y x0333、写出以下条件确定的曲线所满足的微分方程：1曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方;解：由得方程为x2dx4、求以下微分方程的解:1 xy' yln y 0 ；解:别离变量得yIn ydx一，两端积分得In In y In xxIn Ci ,(2)解:(3

3、)解:5、整理得y ecx, (C2y' xy' a(y y')；别离变量得整理得ydy1dxCi)dy2aydx两端积分得In ayCialn|1(CaCi)2y ；，xy x y别离变量得两端积分得整理得1y2 3xdy e(4)dx y解：方程变形为两端积分得ydyrpl|n(12x2)(1dydx2(5)y dx (x 1)dy解：别离变量得巽ydxx(1 x2)y2) In丄 ln(1 x2)2In G ,y2) Cx2，C C12，即 y2y2 3x芍，别离变量得詈y21 3xe30,y x odx带入通解得C 1,2C1，化简得e y，两端积分得通解为故所

4、求特解为Cx21 x2e3xdx，討 C,(C-In 1 x y1ln|x 1| 12C1)曲线通过点2，3，它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：由的微分方程为y6、C方程的通解为y ，将yx求以下齐次微分方程的解：3带入通解得6 ,故所求曲线方程为xy 6。(1)x(ln x In y)dyydx解：方程可变形为dxdy-In - y人x，令uydxuy'd? uduyd?代入方程得 uduydyu Inu，别离变量得duu(ln u 1)dyy两端积分化简得In u 1Cy，将xu -代入得通解为yInx InCy(3)(4)即 x yeCyx(1 2ey )

5、dx1 (或 y eC1yx_ x2ey(1 )dy y解：方程可变形为代入方程得u两端积分化简得解：令u1,(C1C)-，那么x别离变量得即(工)2 Inx故所求特解为dydxduy(ux2e"1x2ey(1 -)y2eu(1 u)2eudx uy'd?duyd?，别离变量得dyy2eu)xu -代入得通解为xyx2yJ Cy xu, ydx udu 一(y2 3x2)dy 2xydxx2 In0,yduu x 一dx，代入方程得2两端积分整理得uX1 2代入得C 4，x2 4x2In xdux -dx解：方程可变形为dx3 x1 y入，令xrdxduu，那么 x uy,u

6、y -dy2y2 xydydy代入方程得udu31 1.,、 2ududyyu别离变量得2u21dy22 uy两端积分整理得2 u1Cy，将 ux代入得通解为x2 2yCy-x 22，y7、设有连接点0(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点P(x,y)，将y x 0 1代入得 C1，故所求特解为y3 y2 x2曲线弧OA与直线段OP所围成的面积为x2。求曲线弧OA的方程。解：当 0 x 1 时，设方程为 y f(x)，那么 oxf(t)dt £xf(x)1两端求导得f '(x) - f(x) 4且有初始条件f (1) 1x解方程得f (x)x(1

7、4ln x)，当x 0时,f(x)lim f (x) lim x(1x 0x 04ln x)所以OA的方程为f(x)x(10,x4ln x),00求以下微分方程的解:(1) xy' y x3x解：方程变形为1dxe x (x1dx3)e xC(x2 3x2)dxC)故方程的通解为(2)(x2 1)y' 2xycosx解：方程变形为 y '2xx2 1COSXx2 12xdx e x 1 (cosx x21e2x芦1dxC)1x21(cosxdx C)sin x Cx21故方程的通解为ysin x C(3) yin ydx (x In y)dy 0 ；解：方程变形为dx

8、1xdy yin y丄以x为未知函数的一阶线性微分方程ydye丽(G)in y1in ydy C1) y& 如 y)2in y 2G，4-dyysin xJy x1 ；dxxx1dxsin x丄dx11解：ex (x dxC)(sin xdx C)一 (C cosx)，exxx故通解为:y-(Ccosx)。x把yx1代入，得C1.故方程的通解为2xiny (In y)2 C,(C 2CJ1所以特解为y (1 cosx)。x解:3x23x?dxx dxC1-3Inxex(13in x2ex dxC)3 -2 1 -2x3ex (?e x C)，丄1丄故通解为：y x3ex22e x2 C

9、。21把y x1 0代入，得C -e 1，3 3 41所以特解为2y x3 x3exdy56y xy ；dx解：令z y 4，那么dZ 4y 5dy，原方程可化为空4zdxdxdx4x，4dx4dxz e ( 4x)e dx CCe4x所以通解为1 x Ce4x (另有一特解 y 0) y 4(7)(dy (x y)2;dx解：令u x y，那么方程可化为 du 1 u2，别离变量得dx,dx1 u2两端积分得 arctanu x C,故方程的通解为 arctan(x y) x C(8) xy' y y(ln x In y)。解：令u xy，那么y悄，代入方程别离变量得dxxduu I

10、 n u两端积分化简得u eCx，将uxy代入得方程的通解为xyeCx。9、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x, y)处的切线斜率等于 2x y。解：由题意得微分方程y' 2x y,y x 0 0, y' y 2x,dxdxxxxxxe ( 2xe dx C) e ( 2 xdex C) ex( 2xex 2ex C) 2x 2 Cex,故通解为y 2x 2 Cex，把yx0 0代入得C 2，所以曲线方程为y 2ex 2x 210、设曲线积分Lyf (x)dx 2xf (x) x2dy在左半平面x 0内与路径无关，其中f (x)可 导且 f (1) 1，求 f (x

11、)。解：令 P(x, y)yf (x),Q(x, y)2xf(x) x2，由y即 f(x) 2f (x) 2xf '(x)2x 2xf '(x) 2x f (x)f'(x)1眾(x) 1,dx丄 dxf (x) e 2x ( e 2x dx1Cx 2，将f(1) 1代入，得所以，f(x) ?x lx 23311、求以下微分方程的通解2 2 2(1) (3x 6xy )dx (6x y4y2)dy解：这是一个全微分方程2 2左边 3x dx (6xy dx223226x ydy) 4y dy dx d (3x y )4 3d(3y)32 243所以通解为x3xy 3y C

12、。(2) eydx (xey 2y)dy 0 ；解：这是一个全微分方程左边 (eydx xdey) 2ydy d(xey) dy2所以通解为xey y2 C。11 x(3) dx dy 2dy 0;y y y解：这是一个全微分方程1x1x左边 ( dx 2dy) dy d ()d(ln y) y y y yx所以通解为 In y C。2(4) ydx xdy y xdx 0 ；解：方程两边同乘以 A得ydx 2xdy xdx 0 y y2xx左边 d() d()y22x x所以通解为C。y 2 xdx ydy (x2 y2)dx；y2dx 0，解：方程两边同乘 2 1 2，得xdx 彎 dx

13、0 ,即d -In X2x y x y2所以原方程的通解为 丄1门x2 y2 x c1，2即 x2 y2 ce2x.(其中 c e2c1).(x y2)dx 2xydy 0.解：方程变形为xdx y2dx 2xydy 0，方程两边同乘 ,x2 2得虫旳忙dx °,即d x d仏0，xxx所以原方程的通解为In x2y c，即 y2x In x cx.12、y"求以下微分方程的解x sin x ；解:x sin x dxx2cosx c1,y"x2cosx 21 y'2 ；dx3x . sin x6c1xC2 .解:y p,那么 y，原方程化为pp2，别离变

14、量得解:解:解:故 arcta n p x 所以 y tan(x即原方程的通解为xy" y'故In pP,那么yIn xc1，l卩 p tan(x g)，亦即 y tan(xc1 ) c2 ，c1 )dxln cos(xy In cos(x cjp，原方程化为xplnci所以原方程的通解为 yy" (y')3 y'；令y p,那么y别离变量得晋亦即y，即pc1 In xC2 .c1-，亦即xC2.0，别离变量得dpPR，原方程化为p鲁dy，故 arctan p ytan(y c)，别离变量得即原方程的通解为y arcs in (geX)x 11,y&

15、#39;p，原方程化为dyy3y" 1 0, ydytan(y c)c1 (其中dx，C1故p2所以所以p,那么y12 y2 丄 -2 y因而得、1 y2c2，由 y x 13 dp y pdy由Yx11得c21,1, y'即原方程的通解为axy e , y x1y 2xx 1 y"x2y'(舍去y0 ；dprvG)，dx,dpdx，即坐dytan( yc),所以 ln sin(yc)xc°，Coc,c2e ).别离变量得pdpdy3，y，别离变量得y_1 y2 1 y2 xdydx，-2x x2，因为y x 1解：方程两边积分得ax 1e dxa

16、xCi，由y"0得Ci13、解:14、解:所以y1ax -e a1ax ea0得c2所以1 ae dx a1 ax ea1 ax e a1 ； e a再积分得axe2aeax21 ex aC3,0得C31 a e ， a1 -e aax C2，12 a1 a 2 e x 2ae2a1 ae (a 1)xa1 axye a设有一质量为 m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为 为常数，v为物体运动的速度，试求物体下落的距离 s与时间 以t = 0对应的物体位置为原点，垂直向下得直向为s轴，所以y12a3ea(2a2).Rt的函数关系。oc2v2 (其中cdvm mgdtmdv2

17、2v从而 -mg积分得tC1v = 0,dt ,mgdv2 2c vdv由t = 0时v = 0得C1即2c gte m ，因为mg2c.gt即 cv 1 e m0，从而2c <gmg e m» e ds vmgcjg整理得tht ，cVmdt再由t = 0时s = 0得c2验证y1该方程的通解。y1sin故 y12y1同理可证y2也是又出 cot xcos x 及 yX,*2 cos2yy2(-mg cv)C. mg cv vmgm ,2gcvmg故cvds亦即応因而. mg 、m0，因此cv)cv , mgcv mg2乞gt(.mg cv)e m ，._2c込mg 1 e

18、mc 2c gt '1 e m cg +tC2，. mIn chc c . g茸In ch c gt即为所求关系. csin x是方程y"2cos x，2cx cos x 0，y 0的解.2y 0的两个线性无关的特解，并写出即y1是y" 2y 0的解常数，所以y1与y线性无关,因而方程的同解为 y c1 cos x c2sin x .215、验证y gx5 乞 -In x是方程x2y" 3xy' 5y x21nx的通解。x 9解：令y15 X，1y2-，y2 XInX，X9因为2IIx y13xy-i' 5y1x2(20x3)3x(5x4)

19、5x5 0，2,x y23xy2' 5y222X3X3x!X5 -0，X3xy'5y6 Xy1y2常数，所以y1与y2是齐次方程x2y"0的两个线性无关解,16、解:17、从而Y又由于因此II5C|X3xy '6 2一是齐次方程x y" 3xy' 5yX0的通解.5y2|nx93x 空lnx992Inx x21nx 所9是非齐次方程5C2C1XX1(C1e XXey2XXXxe e2XX xe2X代入方程易验证2 x y"2x ,In x93xy' 5y2x In x的一个特解,是方程 x2y" 3xy'

20、5yx2 ln x的通解.验证设y1那么y1y2C2e，yiX)Xe是方程xy" 2y' xyXe22xeX(x 1)3x e4X3 Xx e y2ex的通解。因为里e2xy2y1、y均为方程xy" 1( C1eXXX2xe (x 1) 4，X2y' xy 0的解，常数，故YC2e x)是 xy"2y'xy 0的通解.X又因为y ' y "，所以2即y是非齐次方程xy" 2y'1因此 yGeX c2eX求解以下微分方程：xy "X e xy x -2eX的一个特解，2yXe xx e ，2xy

21、eX是方程xy"22y' xyex的通解.1y" y' 2y 0 ；解：特征方程为r2故方程通解为y2y" 4y'0解：特征方程为r2故方程通解为yr 2Xc)e4rCi解之得特征根2xc?er11, a0，解之得特征根14xc?e .3i，故方程通解为y(7) y" 4y' 3y解：特征方程为r2故方程通解为y2xGe0, y4r 3xGe18代入初始条件得2xc?ec1 c2G 3c?y 4ex因而所求特解为求解以下微分方程：(1)2y" y' y 2ex ；解：特征方程为2r2OCOS3X c4si

22、n3x.x0 10 ；0，解之得特征根3xc?e6 ，解得102e3x.C1C20，解之得特征根r11,r2 3，12，r2(3) y" 4y' 4y 0解：特征方程为r2 4r 4 0，解之得特征根r1r22 ,故方程通解为y (g c2x)e2x.(4) y" 6y' 13y0 ;解：特征方程为r2 6r 13 0，解之得特征根ri,23 2i ,故方程通解为 y e 3x (c1 cos2x C2 sin2x).(5) y y o ；解：特征方程为r4 1 0，解之得特征根r1 1,r21,r3,4i ,故方程通解为 y qex c2ex c3 cos

23、x c4sinx.(6) y 5y" 36y0 ；解：特征方程为r4 5r2 36 0，解之得特征根2,“2,3,4xYGe2c2e x.1不是特征方程的根，yx Ax2BxC ，3 c7133 2,C，因而yxx5253552x1332 7c2e2xxx .3525，解之得特征根A1,24，7x，故对应的齐次方程的通解为又因为f(x) 2ex，故设非齐次方程的一个特解为y Aex，代入原方程得A = 1,因而y从而原方程的通解为 y c1e2 c2ex ex.(2)2y" 5y' 5x2 2x 1 ；解：特征方程为2r2 5r 0，解之得特征根r10, r2-，2

24、5x 故对应的齐次方程的通解为 丫 c c2e 2 .又因为f(x) 5x2 2x 1，0是特征方程的单根，故设非齐次方程的一个特解为1代入原方程得A，B3从而原方程的通解为 y c1(3) y" 5y' 4y 3 2x ；解：特征方程为r2 5r 40、一、一 1 1 1 1代入原方程得 A , B ，因而y cos2x sin2x，105105从而原方程的通解为yc1c2ex cos2x1-sin 2x105由yxy'x1得G32,C23-e ,5所以原方程的特解为y33 -ex1cos2x1一 sin 2x25105(6)y'3y' 2y2x e

25、yx 01, y'x02.解：特征方程为r23r20,解之得特征根r11,r2 2.x2 x故对应的齐次方程的通解为 Y qec2e .又因为f (x) e2x，2是特征方程的单根，故设非齐次方程的一个特解为yAxe2x，有 y ' Ae2x 2Axe2x， y " 4Ae2x 4Axe2x 代入原方程得 A 1，因而yxe2x，故对应的齐次方程的通解为又因为f(x) 3 2x,x4xGe Qe0不是特征方程的根,故设非齐次方程的一个特解为y Ax B ,111代入原方程得A 丄，B ，因而y28118从而原方程的通解为 y c1e x c2e 4x 11 -x.8

26、2(4) y" y ex cosx ；解：特征方程为r2 1 0 ,解之得特征根r12i .故对应的齐次方程的通解为 Y cj cosx g sinx.Aex x(Bcosx Csinx)，代入原方程得AC1,B 0,因而yx ex . sin x ,222从而原方程的通解为yc1 cosxC2sin xex-sin x22(5)y" y' sin 2x0,yx y'x1 -解：特征方程为rr0，解之得特彳正根10,a1.设非齐次方程的一个特解为y故对应的齐次方程的通解为又因为 f(x)sin2x，Y c1c2exi2i不是特征方程的根,故设非齐次方程的一个

27、特解为yAcos2x Bsin2x从而原方程的通解为 y c1ex qe" xe2x.由 yxo 1, y x o 2 得 c10 ，所以原方程的特解为 y ex xe2x第十二章微分方程练习题In xCi,进而得xC ,或者eC1这就是原方程的通解也 xy x3y3 dx该方程是贝努利i dy，dx解:Bernoulli 方程,令 z32-J .原方程化为dx1 3y yI dzdx2,那么12xzx3z即皓dx2xz2x3.2xdx2x3e2xdxdx2x3e x dxx2d -x2x22xex2dxex2x2e xex2x21Cex2xdx代入上式，得原方程的通解为 y ydx

28、 xdyx22Cex .ydyx2解: ydxxdy2 2x yydx xdy原方程可表示成xyx22y_21 xyarcta n - yx arcta ny0.x arcta ny0,即因而原方程的通解为x2arctan C .y yy" y'2 10 ；解：该方程不显含自变量x,设y p,那么y pt,1、求以下微分方程的解xy' y 2 xy ；解:原方程可表示成32" yy这是齐次方程.y令 u,贝U y ux,dx V xxxdydu、一 ，dudxu x .原方程可转化为,两边积分得dxdx2、u1. ux原方程可转化为yp虫 p2 1 0dy别

29、离变量得p2 1；dy两边积分得11n p2 1 In y C ,即p2 1 y2Gy $C1 eC ,所以 p . Gydy2对于yGy $1，别离变量得GyInCiyCi X C2 ,即Gy Gy $ 1CqXe 1(1)式得C1 y21,即卩yGy1.dx,C2两边积分得e(1) (2)，得 Gy -2Gy 1C1yG x C2e2C1x C22C1 ych C1xC1X C2(2)C2，所以ch C1xC2C1对于y2C1y1,类似也可得ych C1xC2C1 故原方程的通解为ych C1x C2C1 y''' y" 2y' xex 4；解：该

30、方程对应的齐次方程的特征方程为解得 * 0,r2 1,r32于是该方程对应的齐次方程的通解为对于方程y' y" 2y' xex,由于f1 xxex, 1 1为特征根，所以设方程% x Ax Q ex,代入方程114比拟系数得A|, B1, y169对于方程y"' y" 2y' 4x,由于f2 x 4x, 1 0为特征根，所以设方程22小r 2r0,IIIC1xC2e(1)得 6Ax124x x e .698A2xC3e有特解3B1 ex有特解(1)x xey2 x A2x B2 ,代入方程2得 比拟系数得 A2 1,B2 1,所以

31、根据线性微分方程的解的叠加原理可知1 2yy1y2x64A2x 2 A2y2x x.，原方程有一特解2B2 4x故原方程的通解为y y' x . x2 y ；4-x9x.C1C2ex C3e2x 1x2解：作变换 u . x2 y,那么22 dy 小 du 小y u x , 2u 2x.dx dx原方程化为du即dx这是齐次方程du2u xdx1令-z ,那么xdz 1z x dx 2zdu xz，dx别离变量并两边积分得dzx dxzdz2z2 z 1dz 十x .于疋方程( dx1 2z1)化为dx由于zdz2z2 z 1dzdz2z1 ln6所以上式为 Iln 2z36即 2z3

32、 3z2 1 Cx2z1In62z3z2 13z2丄ln2X C1 ,6C| e将u z代入上式得 2u3 3xu2xx3再代入u x2 y得2 x2 y3dx 2(x2 xy2)dy 0, ydx 2解：该方程可表示成巴-xdy y2x3 3xyC这就是原方程的通解.，把x看作未知函数，y看作自变量，这:个贝努利Bernoulli1 dx'dy,原方程化为z dy£dzz2 dy2dyy2 1-3-2,即 y z-dy y1代入上式得dydz 2zdy y23y-dyy1""2y2ln y1y这就是原方程的通解.2ln y2y将初始条件代入通解，得c 1

33、.故满足初始条件的特解为x 2ln y Cx 1 2ln y y" ay'0, y1 ；解：设y p,那么原方程化为p ap2 0别离变量得电adx 两边积分得 丄 ax C1,即ppx 0 0,y'ax C1由y p得y1.将初始条件：x 0时y1代入上式得C11axC1因而 y1,即dxdy.两边积分得y1ln ax 1C2.ax1ax 1a将初始条件：x0时y0代入上式得C20,1故满足初始条件的特解为y丄|n ax 1 .a y' y tan x cos x.解：该方程是一阶线性非齐次微分方程，因而其通解为In | cosxIn cosxcosx e

34、dx Gtanxdxtanxdxy ecosx e dx G解:cosxcosxcosx(x2 1)dy (2xy原方程可转化为cosx x21e将初始条件:dxCicosx)dx2xy 厂x 1 空dx 厂dxy(0)1代入上式得cosx x C , C0,y(0) 1 ；cosx.其通解为1cosxdxx211.sin x 1x2Cisin x Cx21(11)(y x3)dx2xdy0 ；解:原方程可转化为1 yy2x丄dx2x e2丄dxye 2x2x dx C所以满足初始条件的特解为y1-1 n|x|e22x，因而其通解为2Axdx(12)解:cos ydx|x|2 dx C2c .

35、, x(1 ex)sin ydy原方程可转化为tan ydy两端积分得lncos y ln0,y(0)-；4dx- x，1 exe将初始条件：y(0)；代入上式得所以满足初始条件的特解为cos yC1,迈4 .-14即 cosyC 1 ex , C e C1(13)y" 2y' 3y e ;解：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为2r 2r 3 0解得R 1丘3.所以对应的齐次方程的通解为xGe因为f x e 3x,3是特征方程的单根，所以设 y xAe3x.1 1代入原方程得 A-.所以原方程的一个特解为y xe 3x.44故原方程的通解为y

36、Y y C1ex C2e 3x xe 3x.4(m) y" 2y' y xex.解：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为ry x Acosx Bsinx，代入原方程得 A , B 0. 2r 1 0解得r,21.所以对应的齐次方程的通解为YC C?x e x因为f xxex,1不是特征方程的根，所以设 y Ax B ex.代入原方程得11x 1A B -.所以原方程的一个特解为yex.444故原方程的通解为 y Y y C1 C2x e x - ex.42、某曲线经过点(1, 1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的微分方 程。解：设

37、曲线的方程为y y x，那么y x1 1dyxydyy“，即1.这就是它的微分方程.dx0xdxx3、 设可导函数 $ (x)满足(x)cosx 2(t)sintdt x 1，求 $ (x).色cosxysin x1，即翌tan x ysecx.这是-阶线性非齐次微分方程，其通解为dxdxtan xdxtanxdx小ln|cosxlln cosx .yesecx edxC1esecx edx C1cosxsecxsecx dx C1cosxtan xC ,CC1所以xcosxtan x C .x解：令y x，因为函数 x可导，所以上式两边同时对 x求导，得4、设可导函数 f(x)满足 f (x

38、) sinxo(x t) f (t)dt，求 f(x).解：令y f x，因为函数f x可导，所以等式xf(x)sin x0(x t)f(t)dt(1)两边同时对x求导，得fxx cosxf t dt,0(2)两边再次对x求导，得fxsinx f x(3)(3)式可变为f xf xsin x.这是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为r210解得r1,2i.所以对应的齐次方程的通解为Y G cosx CzSinx.因为右端函数g x si nx, i i是特征方程的单根，所以设所以原方程的一个特解为y -cosx.2x故原方程的通解为 y Y y Gcosx C2sin x

39、 cosx.21 由(1)式得f 00,由(2)式得f o 1.因此G 0,C2-.1 2 21 x所以函数 f x sin x - cosx.2 2口325、设 f (x)在0,1连续，在(0,)内 f(x) 0 且 xf'(x) f (x) - ax，又设由曲线 y f (x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2，求函数f (x)，又问a为何值时，此图形绕x轴旋转成的旋转体体积最小。3 2解：方程xf '(x) f (x)ax2可转化为2dx31 dxf xexax e x dx C1231,c3x一 axdx C1x -ax2x2因为在(0，1)内f (x)0,所

40、以分方程，所以其通解为a 0或者13f x f x -ax，这是一阶非齐次线性微x2lnlx3ln|x|e ax e dx C12C , C G2C3a0a 02C3a(1)因为曲线yf (x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2，所以x dx2，解得C 4 a.13x ax C dx03 故函数 f (x) x ax 4 a .28,0 U 0,4V a，因为V a1f2 x dx212 3xax 4 a dx00将C 4 a代入不等式组(1)，解得a设该平面图形绕x轴旋转成的旋转体体积为19 2 4a x3a4a3x4 a x dx04x 192 53441,23a xaax4 a

41、 x230 a 10a 160, a2043x 09 23,1 . 2aa 4 a4 a20438,0 U 0,410所以当a5时，V a取得最小值2故当a 5时，该平面图形绕 x轴旋转成的旋转体体积最小6、设微分方程y" ay' by cex的一个特解为的通解。解：因为该方程的的一个特解为2 xxy 2e 2 x e , yy4e2x2xe(1xe，2a b 4a b 1 x 2a，解得c所以原方程为y"微分方程的特征方程为Gex C2e2x.故原方程的通解为x2x 2xxGeC2ee (1 x)e x3y' 2yr2 3re2x (1 x)ex，求a,

42、b, c的值及该方程x)ex，所以代入原方程，得这是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次0,解得n 1,D 2.所以齐次微分方程的通解为y7、x2 x1 C1 e 1 C2 exC3 exC4e2x.求出以以下函数为特解的常系数线性齐次常微分方程: /八 2x 2xe ,e解：因为，二阶； ex, xex，二阶； 2,cosx,sin x ,三阶。2xe2xee4x不是常数，所以e2x,e2x是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，2r pr q 0,那么其解为n 2应故所求的常系数线性齐次微分方程为ex1解：因为二 不是常数，所以xe x故齐次方程的通解为Y Ge2xC2e 2x.设齐次方程的特征方程为2，所以 p 0,q4.