届高考数学(理)第一轮复习学案——空间点、直线、平面间位置关系

1、空间点、直线、平面间的位置关系基圖知iR套打年翅双基固本亚将基園分知识能否忆起、平面的根本性质名称图示文子表示付号表示公理1如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A l， B l，且 Aa，B 0? 1? a公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P a，且 P 3? aCl 3 =l，且 P l二、空间直线的位置关系1. 位置关系的分类相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 平行公理平行于同一条

2、直线的两条直线互相平行3. 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或 4. 异面直线所成的角(或夹角)(1) 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一点 0作直线a/ a, b/ b，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.(2)范围:n0，2三、直线与平面的位置关系宀护方 位置大糸图示付号表示公共点个数直线1在平面a内l? a无数个直线l与平面a相交l Cl a= A一个直线l与平面a平行Z /l / a0个四、平面与平面的位置关系/亠护 W 位置大糸图示付号表示公共点个数两个平面平行人 / &_/all 00个两个平面相交aC 0= l无数个这些

3、公共点均在交线1上小题能否全取1. 教材习题改编a, b是异面直线，直线 c平行于直线a，那么c与b A .异面B.相交C.不可能平行D.不可能相交解析：选C 由直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，假设b / c,贝U a/ b.与a, b是异面直线相矛盾.2. 2022东北三校联考以下命题正确的个数为 经过三点确定一个平面； 梯形可以确定一个平面； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选C 错误，正确.3. 空间中有三条线段 AB, BC和CD，且/ ABC =Z BCD，那么

4、直线 AB与CD的 位置关系是A. AB / CDB. AB与CD异面C. AB与CD相交D. AB / CD或AB与CD异面或 AB与CD相交解析：选D 假设三条线段共面，如果 AB, BC, CD构成等腰三角形，那么直线 AB与CD相交，否那么直线AB与CD平行；假设不共面，那么直线AB与CD是异面直 线.4. (教材习题改编)如下图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E,F分别是AB , AD的中点，那么异面直线 BiC与EF所成的角的大小为解析：连接BiDi, DiC,那么 BiDi / EF ,故/ DiBiC 为所求，又 BiDi = BiC = DiC,/ DiBiC =

5、60 答案：605. (教材习题改编)平行六面体ABCD AiBiCiDi中既与AB共面又与CCi共面的棱的条数为解析：如图，与AB和CCi都相交的棱有 BC;与AB相交且与CCi 平行的棱有 AAi, BBi ;与AB平行且与CCi相交的棱有 CD , CiDi, 故符合条件的棱共有 5条.答案：5i三个公理的作用(i) 公理i的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上 的点在平面内.(2) 公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.(3) 公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线.2. 异面直线的有关问题(1) 判定方法：

6、反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图.庖频考点套通关(JA4JPIM KAQDAN YAO(2) 所成的角的求法：平移法.弧考点 学枝送得變嵩好I-1平面的根本性质及应用ABCD AiBiCiDi 中,E/典题导入例12022湘潭模拟如下图，在正方体为AB的中点，F为AiA的中点，求证：CE，DiF，DA三线共点.自主解答1T EF 綊 2CD1,直线D1F和CE必相交.设 D1F n CE = P,T P D1F 且 D1F?平面 AA1D1D, P平面 AA1D1D.又P EC且CE?平面ABCD , P 平面 ABCD ,即P是平面 AB

7、CD与平面AA1D1D的公共点.而平面ABCD n平面AA1D1D = AD. P AD. CE、D1F、DA三线共点.一通多变.L本例条件不变试证明 E, C, D1, F四点共面.证明：/ E, F分别是AB和AA1的中点，1 EF 綊 2A1B又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC.四边形A1D1CB为平行四边形. A1B/ CD1，从而 EF / CD1. EF与CD1确定一个平面. E, C1, F, D四点共面.N二由题悟法1. 证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直 线上.2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的局部线或点确定一个

8、平面，然后再证其余线 或点均在这个平面内；将所有条件分为两局部，然后分别 确定平面，再证平面重合.以题试法1. 12022江西模拟在空间中，以下命题正确的选项是 A 对边相等的四边形一定是平面图形B 四边相等的四边形- -定是 平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D .有一组对角相等的四边形一定是平面图形对于四面体 ABCD，以下命题正确的选项是 写出所有正确命题的编号 . 相对棱AB与CD所在直线异面； 由顶点A作四面体的高，其垂足是 BCD三条高线的交点； 假设分别作 ABC和厶ABD的边AB上的高，那么这两条高所在的直线异面； 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于

9、一点.解析：1由“两平行直线确定一个平面 知C正确.2由四面体的概念可知， AB与CD所在的直线为异面直线，故 正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体 ABCD的对棱互相垂直时， 其垂足是厶BCD的三条高线的交点，故错误；当 DA = DB , CA= CB 时，这两条高线共面，故错误；设AB, BC, CD , DA的中点依次为四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确.答案：1C2异面直线的判定i!典题导入例2 2022金华模拟在图中，G, N , M, H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,那么表示直线GH , MN是异面直线的

10、图形有 .填上所有正确答案的序号自主解答图中，直线GH / MN ；图中，G , H , N三点共面，但 M?面GHN ,因此直线GH与MN异面； 图中，连接MG, GM / HN ,因此GH与MN共面；图中，G , M , N共面，但H?面GMN ,因此GH与MN异面.所以图中GH与MN异面.答案丄由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否认假设肯定两条直线异面. 此 法在异面直线的判定中经常用到.2. 客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

11、2.m, n,m,I为不同的直线，n为异面直线，过空间任一点a,3为不同的平面，有下面四个命题：P, 定能作一条直线 I与m, n都相交.m,n为异面直线，过空间任一点P, 定存在一个与直线m, n都平行的平面.m,3, aCl 戸 I, m? a, n?3,m, n与I都斜交，那么m与n 一定不垂直;n是a内两相交直线，那么a与3相交的充要条件是n至少有一条与 3相交.那么四个结论中正确的个数为 B. 2C. 3D. 4解析：选B错误，因为过直线 m存在一个与直线 n平行的平面，当点 P在这个平面内且不在直线 m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平

12、面内时，就不满足结论；正确，否那么，假设mln,在直线m上取一点作直线a丄I，由 a丄3 得 a丄n.从而有 n丄a,贝U n丄I :正确.异面直线所成角L典题导入例32022大纲全国卷正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别为BBi, CCi的中点，那么异面直线 AE与DiF所成角的余弦值为 .自主解答连接DF，那么AE/ DF ,/ DiFD即为异面直线 AE与DiF所成的角设正方体棱长为a,Ci35.乌 2+ 害a 2 - a2-cos/ DiFD =2亜a亜a2 d 2 d3答案5二由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：1 一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的

13、角;二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；3三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要求的角， 如果求出的角是钝角，那么它的补角才是要求的角.心以题试法3. 2022唐山模拟四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为，5 底面ABCD是边长为2的 正方形，那么CD与PA所成角的余弦值为A.B.54A趙全员必做题1. 2022杭州模拟假设a, b, c, d是空间四条直线.如果“ a丄c, b丄c, a丄d, bd， 那么A . a / b 且 c / dB. a, b, c, d中任意两条可能都不平行C. a / bD. a与b, c与d中至少有一对直线互相平行解析：选D

14、1假设a, b, c, d在同一平面内，那么 a / b, c/ d.2假设a, b, c, d不在同一平面内， 假设a, b相交，那么a, b确定平面 a,此时c丄a, d a,故c/ d. 假设a ,b异面，那么可平移a与b相交确定平面3,此时，c丄3,d3,c / d. 假设a , b平行，贝U c , d关系不定.同理，假设c , d相交，异面也可推出 a/b ,假设c , d平行，那么a , b关系不确定.综上知，a , b , c , d中至少有一对直线互相平行.2.l1 , l2 ,l3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是()A.丨1丄l2 ,12 丄 13? |1 /

15、 |3B.1 1丄 |2 ,|2/ |3? |1 丄 |3C.l 1 / |2 /|3? |1 , |2 , |3 共面D.l1 , I2,|3共点？ |1 , |2 , |3共面解析：选B 在选项A中：h丄|2 , 12丄13 , 11与13可以平行也可相交或异面，借助正 方体的棱很容易理解.在B中：11丄|2 , |2 / |3 ,由异面直线所成角的定义可以推出 |1丄13.|1 / |2 / |3 ,三直 线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面. 共点的三条直线不一定共面， 如三棱锥中共 顶点的三条棱不共面.3设四棱锥P ABCD的底面不是平行四边形，用平面棱锥如图,使得截面四边形是平行

16、四边形，那么这样的平面A .不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个解析：选D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m , n ,直线m ,a去截此四An确定了一个平面 3,作与3平行的平面a,与四棱锥的各个侧面相截，那么截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面a有无数多个.4. 2022广州模拟在正四棱锥 V ABCD为2,那么异面直线 VA与BD所成角的大小为中，底面正方形 ABCD的边长为1,侧棱长nAnB.nnC.3nD.2解析：选D如下图，设ACn BD = O ,连接V0 ,由于四棱锥V ABCD是正四棱锥,所以 VO丄平面ABCD,ABCD是正方形，所以 BD丄AC ,所以BD

17、丄平面VAC.所以BD丄VA ,即异面直线VA与BD所成角的大小为 才.故BD丄V0又四边形5如图为正方体外表的一种展开图，那么图中的四条线段AB, CD,EF , GH在原正方体中互为异面的对数为A . 1B . 2C. 3D . 4解析：选C AB, CD, EF和GH在原正方体中如下图，显然AB与CD, EF与GH , AB与GH都是异面直线，而 AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有三对.6.2022重庆高考设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,，2和a,且长为a的棱与长为;2的棱异面，那么a的取值范围是A. 0, ，2B . 0, ,；3C. 1

18、 , ,2D. 1 , ,3解析：选A 如下图的四面体 ABCD中，设AB= a，那么由题意可得CD = .2,其他边的长都为 1，故三角形 ACD及三角形 BCD都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a0.取CD中点E,连接AE, BE，那么AE丄 CD , BE 丄 CD 且 AE = BE=1 2，显然 a, B, E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2x22a，解得0a2.7.E, F, G, H是空间四点，命题甲：E, F , G , H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，那么甲是乙成立的 条件.解析：E, F, G, H四点不共面时，EF, GH 一定不

19、相交，否那么，由于两条相交直线共面，贝U E, F, G, H四点共面，与矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF , GH不相交,含有EF, GH平行和异面两种情况，当 EF , GH平行时，E, F , G , H四点共面，故乙不 能推出甲.即甲是乙的充分不必要条件.答案：充分不必要 EF / BC,即B, E, F , C四点共面，那么错误，正确，正确，不一定正确.答案：29如下图，在三棱锥 C ABD中，E, F分别是AC和BD的中点，假设CD = 2AB= 4, EF丄AB，贝U EF与CD所成的角是 .解析：取CB的中点G,连接EG, FG , EG / AB, FG / CD. EF与C

20、D所成角即为/ EFG.又 EF丄AB, EF 丄EG,1在 Rt EFG 中，EG = 2AB = 1,FG = 2CD = 2,1nsin / EFG=2/ EFG = 6. EF与CD所成的角为n.6答案：n610. 空间四边形 ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、 CD的中点.求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交.证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为 a那么B、C、A、D a所以四边形 ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线.(2)如图，连接 AC, BD，贝U EF / AC, H

21、G / AC,因此 EF / HG ; 同理EH / FG,贝U EFGH为平行四边形.又EG、FH是?EFGH的对角线，所以EG与HF相交.11. 如下图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于0点，AC, BD交于M点，求证：C1, O, M三点共线.证明：/ C1 平面 A1ACC1,且平面DBC1.二Ci是平面 AlACCi与平面DBC1的公共点.又 M AC,. M 平面 AiACCi./ M BD , M 平面 DBCi, M也是平面AiACCi与平面DBC i的公共点,- CiM是平面 AiACCi与平面DBCi的交线.TO为AiC与截面DBCi的交点，

22、0平面 AiACCi, 0平面 DBCi,即0也是两平面的公共点， 0直线CiM，即Ci，0，M三点共线.i2.(20i2许昌调研)如图，平面 ABEF丄平面 ABCD，四边形 ABEF 与 iiABCD 都是直角梯形，/ BAD = Z FAB= 90 BC 綊AD, BE 綊$FA, G, H 分别为FA, FD的中点.(i)求证：四边形 BCHG是平行四边形；(2)C, D, F , E四点是否共面？为什么？ 解：证明：由题设知，FG = GA, FH = HD ,ii所以GH綊AD.又BC綊2AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C, D, F , E四点共面.理由

23、如下：i由BE綊2AF , G是FA的中点知，BE綊GF ,所以EF綊BG.由知BG/ CH,所以EF / CH,故EC , FH共面.又点D在直线FH上,所以C , D ,F , E四点共面.B级重点选嵌题i .将图i中的等腰直角三角形 ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体 ABCD(如图2),那么在四面体 ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B .相交但不垂直C.异面且垂直D .异面但不垂直解析：选C 在图1中的等腰直角三角形 ABC中，斜边上的中线 AD就是斜边上的高,那么AD丄BC,翻折后如图2, AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段 BD , CD , 这

24、两条线段与 AD垂直，即AD丄BD, AD丄CD，故AD丄平面BCD，所以AD丄BC.2. 2022哈尔滨模拟假设两条异面直线所成的角为60那么称这对异面直线为“黄金异对.面直线对，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对共有解析：正方体如图，假设要出现所成角为60的异面直线，那么直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A B, BC , A D, C D,正方体的面对角线有 12条，所以所求的黄 金异面直线对共有 号4 = 24对每一对被计算两次，所以要除以2.答案：243. 2022池州模拟正方形ABCD中，点E, F分别在AB, CD上, 且AE=

25、 2EB, CF = 2FD，将直角梯形 AEFD沿EF折起到 A EFD 的位置，使点 A在平面ABCD上的射影G恰好落在BC 上.1判断直线AA 与DD的位置关系，并证明；证明平面A AE丄平面A BC;解: 1AA / DD .设直线AD与EF相交于点O,翻折后直线 A D 仍过O点, A, A , D, D四点共面于平面 OAA.又 FD / AE, FD?平面 A AE,AE?平面 A AE, FD /平面 A AE.同理，FD /平面 A AE,而 FD n FD = F,平面DFD /平面A AE.又平面 OAA n平面DFD = DD 平面 OAA n 平面 A AE = AA , AA / DD ./ A G丄平面ABCD , A G 丄 AB.又 AB丄 BC, BC n A G= G, AB丄平面A BC.又AB?平面A AE,平面 A AE丄平面 A BC.1. 2022襄阳模拟关于直线a, b, l以及平面M , N，下面命题中正确的选项是 A .假设 a / M , b/ M,贝U a / bB .假设 a/ M , b a，贝U b MC.假设 a丄 M , a/ N，贝U M 丄 ND .假设 a? M , b? M,且 I 丄 a, l 丄 b,贝U I 丄 M解析：选C 同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面