山东大学2000-2007数学分析

1、山东大学2000年数学分析考研试题、填空。1. lim上 n n22n31x)x3cost,y 2sin t(0 t 2 ),那么孕 ?dx4.1 xx ln(x21)11 x2dxx2rdxdy ?y2 162x6.设表示椭圆42-1正向，那么匚1 (x y)dx9(x y)dy ?3n ( 2)n(1"的收敛范围为?f(x) (1 x)ln(1x),那么 f(n)(0)?f(x)在a,b上可积，令 F(x) f(t)dt,证明:F(x)在a,b上连续。x2o e Cos(2 x)dx(为实数。n2xn的和函数。n 1三、任选两题。f(x)在a,b上连续且f (x)0,证明:baf

2、(x)dxaf(x)b 1 dx (ba)2.0 costs in n xdx (n1为正整数0,)f(x), g(x)(1)lim f (x)xa(o A 心计；也 g(x).存在数Cn(Cn,n )使得 f(Cn)g(Cn)g(Cn)f (Cn).山东大学2001年数学分析考研试题1. lim 号S2X 1x 0 x2sin2 x2nn!2.nim v2uu xln (xy),那么x4 °X2 厂COST ?.12 x20dx x f(x, y)dy ?(3, 4)6. xdx ydy ?(0,1)7. n(n 1)xn的和函数为?n 1f (x) arctan x,那么 f(2

3、n "(0)?f (x)在a,b上一致连续和不一致连续的型语言。X2e dx.03.表达并证明连续函数的中间值定理。 三、此题任选两题。f(X,y)处处具有连续的一阶偏导数且f(1,0) f( 1,0).试证在单位圆上存在两点(花，)和(X2, y2)满足以下两式：Xi fy(Xi, yi)y fx(Xi, yi)0,i1,2.f(X)在0,)上连续且 f 0,如果2 2 2f(X)f(y)f(z) X yf(z) y zf(x) z xf(y),求、a心5证：o f(x)dx a2.f(x)在(0,)上连续可微，且limXf (x)0.求证：存在序列Xn使得XnXf (Xn)0.山

4、东大学2002年数学分析考研试题、1. lim n3n 5n 7n ?1sin X、疋2. lim ()xx 0 0 x1f(x) eE(x 1),f(1) 0,求 f (1) ?x acos3t,y asin 3t,求dx5.设 f(x) arctan x,求 f(2n °(0)?6.y24正向。(x y3)dx (x y)dy,其中 C : x2C7.(x7ex ex cosx)dx ?g的值，其中V是由x0,y 0,z0及x y z 1所围成的四面体。三、b a 0,试证:沁dxa x3.0,证明：对任何xX2a,b,有证明：f (x)在a,b上可积。axbxe e1.x(b

5、a 0)。0 xf(x)在a,b上连续，在(a,b)上二阶可导且f (x)f(x_X2、f(xj f(X2)2f (x)在a,b上的不连续点为xnn 1，且nim Xn存在，b 1 2 dx (b a).f(x)X0(a,b),使得 f (x°)r.b2.设 f (x)在a, b上连续，且 f (x)0,证明： f(x)dxaa3.设f(x)在a,b上可导，且f (a) f (b).证明：对任何r (f (a), f (b),存在山东大学2003年数学分析考研试题1.设f (x)在(a,b)上可微，f (x)在(a,b)上单调，求证：f (x)在(a,b)上连续。2.设 f(x)在a

6、,b上连续， x a,b, (f(x)n 收敛，求证： (f(x)n在a,b上一n 1n 1致收敛。3.设f(X)在圆盘x2y2 1上有连续的偏导数，且f (X)在其边界上为0,求证:f(0,0)limofXx fyyS -Xvdxdy,其中 S (x,y):1-4.设f (x)在()上无穷次可微，且f(x) "(xn)(n),证明：当k n 1 时,x,s.t lim f (k)(x)0.X5.设 f (X)0Sin S求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期函数；当 n为偶数时,f (x)是一线性函数与一以 2为周期的周期函数之和。6.设 f (X)上无穷次可微；f(0)

7、f (0)0m fn(x) 0.证明：7.Xnn 1,n,0XnXn 1,S.t f (n)(xn)0.设 f (x)在(a,)上连续，且 Jim sin(f(x) 1.求证：Hm f (x).山东大学2004年数学分析考研试题1.表达数列an发散的定义，并证明数列 cos n发散。设f(x)在a,b上连续，对x a,b,定义m(x) inf f(t).证明：设m(x)在a,b上 a t x连续。设f (x)在(，c)内可导，且lim f (x) lim f (x) A.求证：存在一点xx c(,c)s.tf() 0.3设f(x)在(0,1上连续，可导，并且lim; X°f (x).

8、求证：f(x)在(0,1上一致连续。设 an 0, n 1,2,3-,且有 lim n(-1) c 0,求证： (1)n 1an 收敛。nan 1n 1求级数n2n 1-一1的和。设f (x)在0,1上二阶可导，且有f (0)f(1)诃 f(x)丄证明2(0,1),s.t f ( )4.2证明：对于任意0, 0 e ( %)sin tdx关于t (0,) 一致收敛。设f(x)在a,b c,d上连续，函数列n(x)在a,b上一致收敛，且a n(x) b,函数列n(X)在a,b上一致收敛，且c n(x) d,求证：函数列Fnf ( n(x), n(X)在a,b上一致收敛。1设f (x)在0,1上可

9、积，且在x 1处连续，证明：limxnf(x)dx f(1).n 03设A 9)33是实对称正定矩阵，是椭球体：ajXjXj 1,求 的体积。i,j 1n设(aj)是n阶实对称方阵，定义氏n上的齐二次函数h(x)ajXXj.证明：函数h(x)i,j 1n 在条件x2i 1下的最小值是A的最小特征值。1计算积分：I (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz,其中 为平面 x y z -23和立方体0 x a,0 y a,0 z a的交线，站在第一象限 x y z 处看 为2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.2 逆时针方向。山东大学2005年数学分析考研试题l

10、im 印2去2 nan，其中 lima. a.nnnx 1 x2何 e (1 H 0, 1和(0,)具有相同的基数势。4.计算积分:1 dxdy,其中D是由x y x0, y 1,y x所围成的区域。5.计算：IC*,C：X221方向为逆时针。a 1 b 1 a ba 0,b 0,证明：()(一)b 1 bf (x)为a, b上的有界可测函数且a,b二、设f2(x)dx 0,证明：f(x)在a, b上几乎处处为零。f (x)在(0,)内连续且有界,试讨论 f(x)在(0,)内的一致连续性。四、设f(x, y).X40,x22 ' y2 y可微性。五、设f(x)在0(a,b)2x y二、

11、设2 2,X y，讨论f (x, y)在原点的连续性，偏导数存在性及微， 求 证x°零点。nlim0if (x)底，f(X。)设 f (x)x。0, lim f (x)xX2g(x)在Xnb)f(a)(b a)20, limxa,b内b, i , if (x)Xi,Xi i,i)0.证明:X R, f (X)0,又f (x)在上恰有两个a,b的任意分割0,1,2,n1.1f(0i)g(i)Xibf(x)g(x)dx.a八、求级数:(1)nn 013n 1九、试讨论函数项级数xn2en2x2(n2 21)2e (n 1 x 在区间(0,1)和(1,)上的一致收敛性。十、计算I(x2dy

12、dz y2dzdx z2dxdy),其中为圆锥曲面 x222y z被平面z 0与z 2所接局部的外侧。卜一、设f(x)在0,1上单调增加,且 f (0)0,f (1)1.证明:0,1,s.t f ()设 f (x)在0,上连续0 (x)dx绝对收敛，证明：limn0xf() (x)dx f(1) 0 n0(x)dx.十三、设an0,证明：当下极限1ln(-) lim inf-nnIn n1时，级数an收敛。n 1当上极限limn1ln()-nsupIn n1时,级数 an发散。n 1山东大学2007年数学分析考研试题1.求 lim(cot x)sinx.2.2 2 zxTdxdydzV ca1.3.n2xn4.证明:limn2 sin0nxdx 0.5.f (a)f(b) 0, f(x)6.7.8.9.10.4(b a)2f (b)f(axy,x12 'x0,x2在0, 0不可微。b2af(x)dx2 (bf(x, y)y2