平面问题的极坐标解

1、第七章 平面问题的极坐标解.内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的 选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标 系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题根本方 程，并且求解一些典型问题。.重点1. 根本未知量和根本方程的极坐标形式；2. 双调和方程的极坐标形式；3. 轴对称应力与厚壁圆筒应力；4. 曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题。知识点极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的 Laplace 算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表

2、达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用 极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力 曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力讨论题： 楔形体顶端应力和无穷远应力分析§7.1平面问题极坐标解的根本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的根本方程 以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。本节的主要工作是介绍根本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形 式；并且将根本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转

3、化为极坐标形 式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐 标解的根本概念仍然适用于极坐标。学习要点：1. 极坐标下的应力分量；2. 极坐标平衡微分方程；3. 极坐标下的应变分量；4. 几何方程的极坐标表达；5. 本构方程的极坐标表达；6. 极坐标系的Laplace算符；7. 应力函数。为了说明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体 ABCD，其由两个相距d'的圆柱面和互成d：:的两个径向面构成，如下图在极坐标系中，用 叩表示径向正应力，用0p表示环向正应力，却和巒 分别表示圆柱面和径向面

4、的切应力，根据切应力互等定理，暂首先推导平衡微分方程的极坐标形式。考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为 二和 '：.!/ ,那么CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为和 ，那么BC面上的应力分量为同时，体力分量在极坐标径向和环向方向的分量分别为Fb：；和Fb设单元体的厚度为1,如下图，考察其平衡。首先讨论径向的平衡，注意到d® da? sin-2 2cos 12,可以得到5 +鲁如S+3)呦 S-(i等乎弓 Ap ¥ + J*d 卩)dp -+ F“ pApA(p = 0简化上式，并且略去三阶微量，那么込亠二亠“ + =0dp p 8pp

5、“同理，考虑微分单元体切向平衡，可得(片 + d)d/j+ J +<1)(/? + d/?)d - r pA(p +G 爭o(p简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即以下推导极坐标系统的几何方程。在极坐标系中，位移分量为u：, u，分别为径向位移和环向位移。极坐标对应的应变分量为：径向线应变 邙，即径向微分线段的正应变； 环向线应变二为环向微分线段的正应变；切应变L为径向和环向微分线段之间的 直角改变量。首先讨论线应变与位移分量的关系,分别考虑径向位移环向位移u：； u所引起的应变。fi如果只有径向位移u：,如下图，借助于与直角坐标同样的推导，可以占# 二一-得到径向微分线段AD

6、的线应变为乍;环向微分线段AB='d的相对伸长为八_如果只有环向位移时，径向微分线段线没有变形，如下图，环向微分线段的相对伸长为 J V ；将上述结果相加，可以得到正应变分量F面考察切应变与位移之间的关系。设微分单元体ABCD在变形后变为A'BCD'，如下图，1叫表示径向微分线段AD向方向转过的角度，因此角应等于因此切应变为7上式中 表示环向微分线段AB向方向转过的角度，即a -A点的环向位移除以该点的径向坐标 ，即卩将上述结果回代，那么一点的切应变_ 1加料叫%恥 p 3爭 dp p综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本

7、构方程与直角坐标的表达 形式是相同的，只要将其中的坐标 x和y换成和就可以了。对于平面应力问题，有%二*卩-心甩二右研叫_ 21 +叭F p护厂厂 < 护护对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数 E, 分别换为1 -， v爲二二1就可以。平面冋题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为于Cx7y= ；：+；为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的旷6+丐=0。由Laplace算符aJ *子丹眇1转换为极坐标的形式。因为, 和，和分别对x=cos : y=sin '，即x和y求偏导数，可得p=y/P+yy- arctan x。将Py空 _ _ 71矿FZ

8、 x2一 一sin 伊，P&P =空二I二一cos <pX1 + Z1 Dx2根据上述关系式，可得以下运算符9% 2% 些敗¥ - = ±敗±眇1 s iffo 丄 p 1 - 2% B 一 毋p s 1 Joln c s91 .方、/91 .3、=(cos - sin -)(cos- - sin )办dp pop pd 赧322sin<cos, sinJ d , 2sin <pcos<p d , sinJ 0 d-COS G> + + 产3/?p3成甲p dp p 两 q 刊百沪-9 + 13I 3TT 一 (sm-+ co

9、sp)(sin_ + cos-)dydp p dipdp p d<p.93 cos2 -sina d2 sincos d-sin 伊e t +;+Bppa成®p spcosJ p - sin29 sin pcos <p 32b 3卩 p1 如a2将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的Laplace算符。护二兰+兰二兰+丄2+丄兰&2 孙 dp2 p dp p1 閔b + b 二 b + b另外，注意到应力不变量，因此在极坐标系下，平面问题的由应力表达的变形协调方程变换为+丄£+占蟲勺+=°p dp p dp如果弹性体体力为零，那么可以采用应力函

10、数解法求解。不难证明以下应力表达式 是满足平衡微分方程的，这里?, 是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导 数。将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得显然这是极坐标形式的双调和方程。总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都 归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式p dp p1 dtp2求解应力，然后通过物理方程和几何方程% 切求解应变分量和弓=£屯® 弘二右空_叫_ % 二21 + 叭 丫西 QE位移分量。§7.2轴对称问题的应力和相应的位移学习思路：如果弹性体的结构几何形状、材料性质

11、和边界条件等均对称于某一个轴 时，称为轴对称结构。轴对称结构的应力分量与 无关，称为轴对称应力。如果 位移也与无关，称为轴对称位移问题。本节首先根据应力分量与®无关的条件，推导轴对称应力表达式。这个 公式有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后 代入胡克定理第三式，确定待定函数。轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应 的解答。应该注意的问题是如何确定轴对称问题。学习要点：1. 轴对称应力分量；2. 轴对称位移；3. 轴对称位移函数推导；4. 轴对称位移和应力表达式。

12、考察弹性体的应力与无关的特殊情况，如下图，即应力函数仅为坐标的函数。这样，变形协调方程常微分方程丄丄3血+丄也40Ap2 p dp dp2 p Ap如将上式展开并在等号两边乘以 /，可得这是欧拉方程，对于这类方程，只要引入变换=£，那么方程可以变换为常系数的微分方程，有其通解为:他(t) = j4r + Btc2t + Cc2' + D注意到t = In二，那么方程的通解为诃f (p) = Anp + BpJ lnp + Cp + D将上式代入应力表达式 力分量为_ 1 拧轨 + 1 3 _31：，那么轴对称应cr = 4 4- B(1 +21np) + 2CP dp pA=

13、-+ B(3+21np) + 2CP上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的,因此称为轴对称应力。现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。甲二右叮r -匸"_ 2Q + 叭对于平面应力问题，可得应变分量将应力分量代入物理方程'以丁，1/為=一(1 + v)- + (l-3y)B + 2(1 - v)Bliip + 2(1 - i/)C EP1ae - 一-(1 + f)二 + (3 - y)B + 2(1- )BIn p + 2(1 - v)C Epy =0根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。将上式代入几何方程-"dP二土 +丄理© P P &a

14、mp;劈y _ 1込匹一蹲P 3®P ，可得位移关系式1A(1+17) + 0- -3v)B+ 2(1 -p) Sin/? + 2(1 - v)CEp1 du“ 1A+= -0. + I/)T + (3 -v)B + 2(1 -i/)B1iip +2(1- y)Cp p dip Ep1 du±_ + -_L = opdp p对上述公式的第一式a% i r a.,=一(1 + v) + Q -3v)B+ 2(1 -v)Sinp + 2(1- iz)C -1川的积分，可得A其中f()为的任意函数。将上式代入 公式的第二式，电*丄%1M p p E觎厂曰Q 3) + 2(L -讨

15、)石的 p -1) + (l-3v)Bp + 2(1- v)Cp + /(P) 已D二-0. + v)- + (3 -v)5 + 2(1 -i/)Bh p + 2(1- v)C厂P那么积分后可得% =1-J y(p)d + f(p)这里g (P)为P的任意函数。 将径向位移1A岛二-Q u + 2L - 1/劳迺夕-1 + 1 -3忖励 + 21 -* 丁卩1?和环向位移他切+ gp的结果代入公式的第三式1 du du u丄p ,0?pF= UP呦8p，那么丄绝+业L& +丄|了刖厂0 pdp p pJ或者写作dp aq 上式等号左边为P的函数，而右边为护的函数。显然假设使上式对所有的

16、 和都成立，只有如- Q警訂弓譽+打卩d卩=F其中F为任意常数。以上方程第一式的通解为gp = Hp + F这里H为任意常数。为了求出 f ，将方程的第二式对 ：求一次导数，可得其通解为fp二 /win ° + Kcosp另外| f (tp) A<p - F -F -1 cos Ksn(p A<p将上述公式分别代入位移表达式1A就 P 二曰-Q + 卩)一+ 2(L-卩)0仙戸-1) + (1-3卩)砂+ 2(1-05 + /'(卩) 也P可得位移分量的表达式1. Ag 二-(1 + “)一 + 2Q - )Bp(ln p-1) + (l-3y)Bp + 2(1-

17、 i/)C/?+ fsin® + Keg® Ep= 4?卑 + Hp - I sin 爭 + K cos 诃位移分量的表达式1Au = 一-(1 + v) + 2(1 - p) Bp(n p -1) + (1 - 3v) Bp +2(1- v)Cp + J sin 毋 + Epuf =乳护 + Hp - / win 卩 + 疋 cos 卩中的A, B, C, H , I, K都是待定常数，其取决于边界条件和约束条件。上述公式说明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但是在轴对称应力中，假设物体的几何形状和外力，包括几何约束都是 轴对称的，贝U位移也应该是轴对称的。这时，物体内

18、各点的环向位移均应为零， 即不管和取什么值，都应有u = 0。因此，B= H = I = K = 0。所以，轴对称应力表达式可以简化为A » 竹二p*2CPA=- +2C而位移表达式简化为1A Q + v) +2(1 - v)Cp此P上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将E，-.分别换为 1 " 卩爲二M 二I 即可。§7.3圆筒受均匀分布压力的作用学习思路：本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。这个解答工程上称为拉梅(Lam!)解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典 解答。学习要点：1. 厚壁圆筒内外作用均匀压力；2. 厚壁圆筒受内压力；设有圆筒或圆环，如下图。内半径为a,外