平行四边形培优讲义

1、平行四边形培优题周长面积类以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作B. 2如图， ABC为等边三角形，P是厶ABC内任意一点PD |AB, PE| BC, PHI AC，假设込ABC的周长为12,那么PD PE PF .如图：Ai, Bi, Ci 分别是 BC, AC , AB 的中点，A2, B2, C2分别是 BiCi, A1C1, A1B1 的中点这样延续下去 ABC的周长是1 , AiBiCi的周长是Li , ABC的周长是L2A nBnCn的周长是 Ln,贝Ln= _ .如图，在 ABC中，AB=AC . M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM

2、.假设AB=13cm , BC=10cm , DE=5cm，那么图中阴影局部的面积为 cm2.如图，一个平行四边形被分成面积为Si, S2, S3, S4的四个小平行四边形，当 CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，Si 4与S2 3的大小关系为i 4>S2 3B. Si 4< S2 3C. Si 4=S2 3如图，点P是CABCD的对角线 BD上任意一点，过 P作EF/ BC ,分别交 AB、CD于E、F,过P作HG / AB ,分别交AD、BC于G、H，请问四边形 AEPG和PHCF的面积相等吗？并说明理由如图，设P为平行四边形 ABCD内的一点， PAB , PBC ,

3、 PDC , PDA的面积分别 记为Si, S2, S3 , S4,那么可以得出何结论？平行四边形+角平分线含垂直如图，在？ABCD中，/ A=65 , DE丄AB ,垂足为点E,点F为边AD上的中点，连接 FE, 那么/ AFE的度数为B . 50C. 60 °D. 70如图，在?ABCD中，AE平分/ BAD交边CD于点E .假设AD=3 , AB=4，那么EC长为C. 1如图，？ABCD的对角线 AC , BD交于点 O, AE平分/ BAD交BC于点E,且/ ADC=60 ,1AB BC，连接 OE.以下结论：/ CAD=30° : S.ABCD AB ?AC :O

4、B=AB :/ COD=60，成立的个数有如图，在平行四边形 ABCD中，AB=10 ,/ BAD的平分线与BC的延长线交于点 E，与DC 交于点F,且点F恰好为DC的中点，DG丄AE，垂足为G.假设DG=3，那么AE的边长为 C. 8D. 16如图，在平行四边形 ABCD中，AB=5 , BC=10 , F为AD的中点，CE丄AB于E,设/ ABCa60°w<a90°.1当a =60时，求CE的长；2当60° v a 90°时，是否存在正整数 k,使得/ EFD=k / AEF ?假设存在，求出k的值; 假设不存在，请说明理由.在？ABCD中，/

5、 BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线 DC于点F .1在图1中证明CE=CF ;2假设/ ABC=90 , G是EF的中点如图2，直接写出/ BDG的度数;3假设/ ABC=120 , FG/ CE, FG=CE，分别连接 DB、DG如图 3，求/ BDG 的度 数.在?ABCD中，/ ADC的平分线交直线 BC于点E、交AB的延长线于点 F,连接AC .1如图1,假设/ ADC=90 , G是EF的中点，连接 AG、CG. 求证：BE=BF . 请判断AGC的形状，并说明理由；2如图2,假设/ ADC=60 ,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那 么AA

6、GC又是怎样的形状.直接写出结论不必证明1如下列图，BD , CE分别是ABC的外角平分线，过点 A作AF丄BD , AG丄CE，垂足 分别为F, G,连接FG,延长AF , AG ,与直线BC分别交于点 M、N,那么线段FG与AABC 的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= AB+BC+AC直接写出结果即可VB CX2如图，假设 BD，CE分别是ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与AABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并给予证明.3如图，假设BD为ABC的内角平分线，CE为AABC的外角平分线，其他条件不变, 线段FG与AABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜

7、测即可不需要证明答：线 段FG与ABC三边之间数量关系是平行四边形的综合题：如图， BAC 90,AD BC 于 D,12, EF BC 于 F.求证：AF 与 EG互相平分如图， AABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延 长至点F,使EF=AE，连接 AF、BE和CF.1请在图中找出一对全等三角形，用符号么表示，并加以证明；2判断四边形 ABDF是怎样的四边形，并说明理 由;3假设AB=6 , BD=2DC，求四边形 ABEF的面积.D C，如图，在？ABCD中，AE丄BC,垂足为E, CE=CD，点F为CE的中点，点 G为CD 上的一点，连接 DF、EG

8、、AG，/仁/ 2.1假设 CF=2, AE=3，求 BE 的长；12求证：CEG AGE .2如图，？ABCD中，DE丄BC于点E, DH丄AB于点H , AF平分/ BAD，分别交 DC、DE、DH 于点 F、G、M，且 DE=AD .1求证：ADGFDM .2猜测AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜测.平行四边形 ABCD，对角线AC和BD相交于点0,点P在边AD上，过点P作PE丄AC , PF丄BD，垂足分另【J为 E、F, PE=PF.1如图，假设 PE 3, E0 1，求/ EPF的度数；2假设点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF BC 3.24，求BC的长.如图，？

9、ABCD中，E是BC边的中点，连接AE ,F为CD边上一点，且满足 DFA 2 BAE1假设/ D=105，/ DAF=35 .求/ FAE 的度数；2求证：AF=CD+CF .如图，四边形 ABCD为平行四边形，AD=a , AC为对角线，BM / AC,过点D作DE / CM，交AC的延长线于 F,交BM的延长线于 E.1求证：ADFBCM ;2假设AC=2CF，/ ADC=60 , AC丄DC,求四边形 ABED的面积用含a的代数式表 示.平行四边形的几何变换AD为边：如图，比ABC 是等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且CD= BF,以 作等边厶ADE 。求证：1込ACD CB

10、F2四边形CDEF为平行四边形90如图，在?ABCD的形外分别作等腰直角 ABF和等腰直角 ADE， FAB EAD 连接AC、EF.在图中找一个与 AFAE全等的三角形，并加以证明.如图，ABC是等边三角形，点 D是边BC上的一点，以AD为边作等边ADE，过点C作CF / DE 交 AB 于点 F.1假设点D是BC边的中点如图，求证：EF=CD ；2在1的条件下直接写出 AAEF和AABC的面积比；3假设点D是BC边上的任意一点除 B、C外如图，那么1中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.在 AABC 中，AC=BC，/ ACB=90，点 D 为 AC 的中点.

11、1如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF ,连接CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H .判断FH与FC的数量关系并加以证明;2如图2,假设E为线段DC的延长线上任意一点，1中的其他条件不变，你在1 中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.Ak如图1, P为RtABC所在平面内任意一点不在直线 AC上，/ ACB=90 , M为AB边 中点.操作：以PA、PC为邻边作平行四边形 PADC ,连续PM并延长到点E,使ME=PM , 连接DE.探究：1请猜测与线段DE有关的三个结论；2请你利用图2,图3选择不同位置的点 P按上述

12、方法操作；3经历2之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分4假设将“RtABC改为 任意AABC，其他条件不变，利用图 4操作，并写出与线段 DE有关的结论直接写答案.如图，在 口ABCD中，过点 C作CE丄CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 90° 得到线段EF，点P为直线CD上一点不与点 C重合.1在图1中画图探究：当点P在CD延长线上时，连结 EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ.作直线 QF交直线 CD于H，求证：QF丄CD .2探究：结合1

13、中的画图步骤，分析线段 QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数 量关系？请在下面的空格中写出你的结论；假设存在，直接填写这个关系式. 当点P在CD延长线上且位于 H点右边时，; 当点P在边CD上时，.3假设AD=2AB=6 , AE=1，连接DF，过P、F两点作O M，使O M同时与直线 CD、 DF相切，求O M的半径是多少？三角形中位线 如图，在 ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AHBC 于点H, FD=8cm ,那么HE的值为A . 20cmB . 16cmC. 12cmD. 8cm1证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；要求根据图1写

14、出、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据 除外2如图2,在?ABCD中，对角线交点为 O,人、Bi、G、D1分别是OA、OB、OC、OD 的中点， A B2、C2、D2分别是OA,、OBp OG、OD1的中点，以此类推.假设?ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和？3借助图形3反映的规律，猜猜 C可能是多少？劉Ld1观察探究，完成证明和填空.：ABC是任意三角形.(1)如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点,求证：/ MPN= / A .(2)如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB1 AN 13 云 3，点 P1、P2是边BC的三等分点，

15、你认为/ MPiN+ / MP2N= / A是否正确？请说明你的理由.丄e 十一八“亠丄口 AM1 AN1 如图3所示，点M、N分别在边 AB、AC上，且，P1、P2、AB2022 AC2022P2022 是边 BC 的 2022 等分点，那么/ MP1N+ / MP2N+计 / MP2022N= .请直接将该小问的答案写在横线上平行四边形动点问题如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，/ B=90° , AD=16cm , AB=12cm , BC=21cm，动点 P 从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到 C点返回，动点 Q从点A出发, 在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B , A同时出发，当点 Q 运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为 t秒.1当t为何值时，四边形 PQDC是平行四边形;2当t为何值时，以C, D, Q, P为顶点的梯形面积等于 60cm2 ?3是否存在点P,使APQD是等腰三角形？假设存在，请求出所有满