平面弯曲习题解答1

1、第8-9章平面弯曲主要知识点：1平面弯曲的概念；2平面弯曲内力剪力和弯矩;3剪力图和弯矩图；平面弯曲内力剪力和弯矩1. 计算以下图所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和弯矩。3kN.m5kN23H<町 E丄4kN* m2kN/m.H i 1xSr«J1¥必4' m|机b)解:a)1考虑整体平衡,nMA(Fi)i 1可解 A、D支座反力1 3 12kN m 5 2kN m FD 3 02 D3.83kN0,FdnFiyi 10,FA 3 1kN 5kN FDFA4.17kNfx.FpTP2计算截面1处的剪力和弯矩假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯

2、矩按正方向假设。nFiy 0,FA 3 1kN Fq1 0i 1得FQ1nMa(FJ 0,i 1得M1(3)计算截面2处的剪力和弯矩1.17kN1 3 12kN m FQ1 1 M, 02.67kN m假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。Fiy 0,i 1Fa 3 1kN Fq2 0Fq2 1.17kN1 2Ma(FJi 10,2 3 12kN m FQ2 1 M20M22.67kN m(4)计算截面3处的剪力和弯矩假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。5kNnFiy 0,F Q31Fq31.17kNnMc(FJ 0,M3 Fd 1

3、0i 1得M33.83kN m(5)计算截面4处的剪力和弯矩 假想截面在4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。n F iy 0,F Q4 F D 0i 1得FQ43.83kNnMc(Fi)0,M4 Fd 10i 1得M 43.83kN m将上述结果列表如下:截面1234剪力kN弯矩(kN m)b) 1考虑整体平衡，可解A、C支座反力nMa(FJ 0,i 14kN m Fc 4 2 1 4.5kN m 0得Fc 1.25kNnFiy0,Fa Fc 2 1kN 0i 12计算截面1处的剪力和弯矩假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy 0，F

4、a Fq! 0i 1得FQ1 0.75kNnMa(FJ 0,Fqi 2 Ml 0i 1得M11.5kN m(3)计算截面2处的剪力和弯矩假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy0,FaFq2 0i 1得Fq2 0.75kNnMA(Fi) 0,FQ2 2 4kN m M2 0i 1得M22.5kN m(4)计算截面3处的剪力和弯矩假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiyi 10,F Q3Fc2 1kN 0得FQ30.75kNnMc(FJi 10,M312212kN m 0得M31kNm(5)计算截面4处的剪力和弯矩假想截面在

5、4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFjy0,Fq4i 121kN0得Fq4 2kNnMc(FJ 0,M4i 1122 12kN m 0得M 41kNm将上述结果列表如下:截面1234剪力kN2弯矩(kN m)-1-1剪力图和弯矩图2. 建立图示梁的剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。iMraP占"1lOkNkJtcL2m_一 Im _000FA I M0Fq(x)a)M (x)(0CB段Fq(x)I)x)x a)(a xFb(0 x2求剪力方程和弯矩方程AC段节(I x) (aFb I MMb(FJa解：a) 1求支座反力nMA(Fi)M IM II分段

6、建立方程IMxIi 1ni 1Fq(x)M (x)M (x) Fb (IM (0M xIM(ix)I)(0(a3作剪力图和弯矩图 弯矩图是两斜直线，在a)I)C截面处有突变，突变量为MOXfaf。Jb) 1求支座反力 由整体平衡方程见图 8-2b：nM A(Fi) 0, Fb 2 10 3kN m 0,Fg 15kNi 1nM B(Fi) 0,FA 2 10 1kN m 0 ,FA5kNi 12求剪力方程和弯矩方程梁上任取一截面(见图8-2b)，到支座A的距离为x,由截面法得该截面的剪力方程和弯矩 方程AB 段：Fq(x) 5kN， M (x) 5x， 0 x 2mBC 段：Fq(x) 10k

7、N， M (x)10(3 x)，即 M (x) 10x 30， 2m x 3mlOkN图 8-2b3作剪力图和弯矩图：AB、BC段剪力都为常数，剪力图各为一水平直线。AB、BC段弯矩方程是x的一次函数，弯矩图各为一斜直线。两点可以确定一条直线，当 x 0 时，M(0)0 ；当 x 2m 时，M (2) 10kN m ；当 x 3m 时，M (3)0,连A、B两点可得AB段弯矩图，连 B、C两点可得BC段弯矩图，如图8-2b所示。3. 剪力和弯矩的正负号如何确定？梁在集中力、集中力偶及均布载荷作用下的剪 力图和弯矩图有何特点？答：在计算内力时，为了使考虑左段梁平衡与考虑右段梁平衡的结果一致，对剪

8、力和弯矩的 正负号作以下规定：剪力：使截面绕其内侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正，反之为负。弯矩：使受弯杆件下侧纤维受拉为正，使受弯杆件上侧纤维受拉为负。或者使受弯杆件 向下凸时为正，反之为负。(1) 当梁上有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小； 弯矩图在集中力作用处产生尖角。(2) 当梁上有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。3梁的某一段内有均布载荷作用，那么剪力 Fq(x)是x的一次函数，弯矩 M (x)是x的二 次函数。剪力图为斜直线；假设q(x)为正值，斜线向上倾斜；假设 q(x)负值，斜线向下倾

9、斜。弯矩图为二次抛物线，当 q(x)为正值，弯矩图为凹曲线；当q(x)为负值，弯矩图为凸曲线。4什么是剪力、弯矩和载荷集度的微分关系？如何利用微分关系作梁的剪力图和 弯矩图？答：载荷集度q(x)、剪力Fq(x)和弯矩M(x)之间的微分关系如下：dFQ(x)dxq(x)dM(x)dxFq(x)d2M (x)dx2q(x)利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图：1. 无分布载荷作用的梁段q=0dFQ(x)dM (X)由于 一-0，因此Fq(x)=常数，即剪力图为水平直线。而Fq(x)为常数,dxdxM (x)是x的一次函数，即弯矩图为斜直线，其斜率由Fq (x)值确定。(1) 当梁上仅有集中力作用时，剪

10、力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。(2) 当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作 用处有突变，突变量是集中力偶的大小。2. 均布载荷作用的梁段q(x)为常数dFQ(x)由于q(x) q，因此 q，即FQ(x)是x的一次函数，M(x)是x的二次函数，所 dx以剪力图为斜直线，其斜率由q确定；弯矩图为二次抛物线。2当分布载荷向上即 q>0时，d鸟仪)q>0，弯矩图为凹曲线；反之，当分布载荷向d x2下即q<0时，亍严q<0，弯矩图为凸曲线。5. 指出以下图所示各弯矩图的错误，画出正确的弯矩图b)a

11、)解：a弯矩图的斜率、起点错误，图8-5a为正确的弯矩图;b弯矩图应该是斜直线，图8-5b为正确的弯矩图；JFLd)c)解：c弯矩图中间一段不为 0，图8-5c为正确的弯矩图;d弯矩图在支撑处没有突变，图8-5d为正确的弯矩图设l>2a。图8-56. 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作图示各梁的剪力图和弯矩图g十TrTTTTTrAb)解：a 1求支座反力由整体平衡方程见图8-6a:Fiy 0, Fa qa qa 0,fa2qaMa(FJ 0, MA qa a qa 2.5aM A 3.5qai 1A C P 6图 8-6a2作剪力图p 1轴¥fcM 11 M h-G -，-a

12、- L _ a Jni 1AC段剪力图是水平线， 大小为2qa, CD段剪力图也是水平线，大小为qa, DB是斜直线,确定两个控制点Fqd qa , Fqb 0，作剪力图如图8-6a所示。3作弯矩图2AC段与 CD段的弯矩图是斜直线，求出以下控制截面的弯矩Ma 3.5qa ，22M c 1.5qa ， M d 0.5qa，可作这两段斜直线。DB段由于有均布载荷作用，弯矩图是一段抛物线，如图 8-6a所示。b) 1求支座反力由整体平衡方程见图8-6b:Ma(FJi 1c2q 2a a qaFiy 0，Fa q 2a Fb3a得Fb得F anqa35qa3图 8-6b2作剪力图CB段剪力图是水平线，大小为qa。AC段剪力图是斜直线，确定两个控制