第三章应力与强度计算

1、第三章 杆件的应力与强度计算一.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。1.3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。2.扭转变形2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。4.剪切与挤压变形：了

2、解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。3.1 引言本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。3.2 拉压杆的应力与应变一轴向拉（压）杆横截面上的应力1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。 根据平面假设得知，横截面上各点正应力相等，即正应力均匀分布于横截面上，等于常量。2）由静力平衡条件确定的大小由于dN=dA，所以积分得则式中：横截面上的正应力FN横截面上的轴力A横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。3）正应力的正负号规定为：拉

3、应力为正，压应力为负。对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度）时，有FN=dA=A A=FN Ax=FNx Ax其中FN=P+Axx若不考虑自重，则FNx=P对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2P=130kN，=30 。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力取节点A为研究对象，由平衡条件Y=0，得FNABsin30 =P则FNAB=2P=260kN（拉力）（2）计算ABFNAB260103=10-6=1

4、19.7MPa -4A10.8621022例2 起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为A1=3cm，A2=4cm，l1=l2=50m，P=12kN，=0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求max。解：（1）计算轴力AB段：取11截面FN1=P+A1x1 (0x1l1) BC段：取22截面FN2=P+A1l1+A2(x2-l1) (l1x2l1+l2) （2）绘轴力图当x1=0时，FNA=P=12kN （拉力） 当x1=l1时，FNB=P+A1l1=12+0.028350102=12.42kN （拉力） 当x2=l1时，FNB=P+A1l1+A2(l1-l1)=12.42kN （拉力） 当x2

5、=l1+l2时，FNC=P+A1l1+A2l2=12.98kN （拉力） 轴力图如图2-11b。（3）应力计算FNB12.42103-6B=10=41.4MPa （拉应力） -4A1310C=FNCA212.98103-6=10=36.8MPa （拉应力） -4410比较B，C的大小，得max=41.4Mpa二.轴向拉（压）杆斜截面上的应力对于沿斜截面发生破坏的拉（压）杆，如何确定斜截面kk上的应力？ 设直杆的轴向拉力为P（如图2-12），横截面面积为A，由于kk截面上的内力为P=P而且P均匀分布。若以P于是有 表示斜截面kk上的应力，p=而 A=P AA，所以 cosp=Pcos=cos A

6、则将P分解成正应力和切应力，有=pcos=cos2 =psin=2sin2所以斜截面kk上的应力=cos2 （2-3）=2sin2 （2-4）,正负号分别规定为：自x轴逆时针转向外法线n，为正；反之为负；拉应力为正，压应力为负；取保留截面内任一点为矩心，而对矩心顺时针为正，反之为负。 讨论式（2-3）和（2-4）：1）当=0时，横截面max=，=02）当=+45时，斜截面= 2，max=2 3）当=90时，纵向截面=0，=0结论：对于轴向拉（压）杆，max=，发生在横截面上；max=45°角的斜截面上。例3 木立柱承受压力P，上面放有钢块，如图2-13所示，其截面积A1为22cm，2

7、2，发生在沿顺时针转钢=35MPa，木柱截面积A2=88 cm2，求木柱顺纹方向切应力大小及指向。解：（1）计算木柱压力P，由钢=P A1所以P=钢A1=351062210-4=14kN（压力）（2）计算木柱的正应力3030则 P14103=10-6=2.19MPa （压应力） -4A2641030= 302 sin(2300)=0.95 MPa30指向如图所示。三.拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。图3-2轴向变形 l=l1-l轴向线应变 =l l横向变形 b=b 1-b横向线应变 '=b

8、 b正负号规定 伸长为正，缩短为负。（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即=E （3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为l=FNl (3-6) EA式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即p；(b)在计算l时，l长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即l=i=1nNili (3-7) EiAi(3)泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即=' (3-8) 一.基本概念1.材料的力学性能：反映材料在受力过

9、程中所表现出的受力变形等方面的特性。如弹性模量E,极限强度等。2.研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些指标，以作为选用材料，计算材料、的依据。3.常温静载试验来测定材料的力学性能。圆截面试件，如图2-14：标距l与直径d的比例为，l=10d，l=5d；具体试验见材料力学试验。板试件（矩形截面）：标距l与横截面面积A的比例为，l=11.3A，l=5.A 试验设备一是用来施加载荷；二是用来测量变形。二 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。1）拉伸图（PL），如图2-15所示。弹性阶段（oa）屈服（流动）阶段（bc）强化阶段（ce）由于PL曲线与试样的尺寸

10、有关，为了消除试件尺寸的影响，采用应力应变曲线，即-曲线来代替PL曲线。2）-曲线图，如图2-16所示，其各特征点的含义为：oa段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力与应变为直线关系直至a点，此时a点所对应的应力值称为比例极限。它是应力与应变成正比例的最大极限。此段写成等式为=E （2-5）即胡克定律，它表示当工作应力小于p时，应力与应变成正比。E=tan E为弹性模量，应力-）曲线上初始点（零点）至比例极限点的应力与应变为直线关系，该直线的斜率定义为材料的弹性模量，单位与相同。应力应变曲线上当应力增加到b点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除，则b点

11、的应力定义为弹性极限e。 e是材料只出现弹性变形的极限值。bc段：应力超过弹性极限后继续对塑性材料加载，会出现一种现象，即在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限s。又称屈服强度。在屈服阶段应变不断增加，而应力不变；当屈服时，材料产生显著的塑性变形，所以s是衡量材料强度的重要指标。表面磨光的试样屈服时，表面将出现与轴线大致成45°倾角的条纹，这是由于材料内部相对滑移形成的，称为滑移线，如图2-17所示。ce段：应变强化阶段的最高点（e点）所对应的应力称为强度极限b。它表示材料所能承受的最大应力。过e点后，即应力达到强度极限后，局

12、部截面发生剧烈收缩的现象，称为颈缩，如图2-18所示。在一定温度范围内，材料在不变应力作用下，其变形随时间缓慢增加的现象，叫蠕变。对低碳钢来说，s，b是衡量材料强度的重要指标。3）延伸率和截面收缩率延伸率定义为=截面收缩率定义为 l1-l100% l=A-A1100% A对于低碳钢：=20-30%，=60%，这两个值越大，说明材料塑性越好。 工程上通常按延伸率的大小把材料分为两类：5%塑性材料；<5%脆性材料。4）卸载定律及冷作硬化卸载定律：把试样拉到超过屈服极限后卸载，在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。冷作硬化：材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变

13、则需要增加应力。-曲线又开始上升，这一现象称为冷作硬化。三其它塑性材料拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，当产生的塑性应变=0.2%时，所对应的应力叫名义屈服极限，用0.2表示。四铸铁拉伸时的力学性能具有以下特点1）如图2-19所示灰口铸铁拉伸时的应力应变关系，它只有一个强度指标b；2）拉断时应力较小；3）近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。五.材料在压缩时的力学性能1.材料的压缩试件一般为很短的圆柱，其高度与直径的关系为h=(1.53)d。2.低碳钢压缩时的-曲线低碳钢压缩时的-曲线，如图2-20所示。E,s与拉伸时大致相同。3铸铁压缩时的-曲线铸铁压缩时的-曲线，如图

14、2-21所示，铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限的关系为压=(35)拉。六.总结衡量材料的力学性能的指标主要有：比例极限p，屈服极限s，强度极限b，弹性模量E，延伸率和断面收缩率等。一.失效由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。材料的两种失效形式为（1）塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。（2）脆性断裂，材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志。二.许用应力材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。塑性材料 =s ； 脆性材料 =b nsnb其中ns,nb称为安全系数，

15、且大于1。三.强度条件1.构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。对轴向拉伸（压缩）杆件=FN A2.强度计算的内容强度校核、截面设计、确定许可载荷等三类强度计算。例1杆系结构如图所示，已知杆AB、AC材料相同，=160MPa，横截面.9mm，A2=314mm，试确定此结构许可载荷P。 积分别为A1=70622解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB杆轴力为FN1，AC杆轴力为FN2。对于节点A，由X=0得FN2sin45 =N1sin30 （a）由Y=0得FN1cos30 +N2cos45 =P （b）由强度条件计算各杆容许轴力FN1A1=706.916010610-6=113.1（

16、c）FN2A2=31416010610-6=50.3（d）由于AB、AC杆不能同时达到容许轴力，如果将N1，N2代入（2）式，解得 kN kNP=133.5kN显然是错误的。正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷P应满足的关系FN1=2P1+3=0.732P （e）FN2=2P1+=0.518P （f）（2）根据各杆各自的强度条件，即N1N1，N2N2计算所对应的载荷P，由（c）、（e）有FN1FN1=A1=113.1kN0.732P113.1kN.5kN （g） P1154由（d）、（f）有FN2FN2=A2=50.3kN0.518P50.3kNP297.1kN （h）要保证AB

17、、AC杆的强度，应取（g）、（h）二者中的小值，即P2，因而得P=97.1kN上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。3.6 薄壁圆筒的扭转一.薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒的外表面上画有一些纵向直线和横向圆周线，如图4-7a所示，使筒在两端垂直于轴线的平面内受到大小相等而转向相反的外力偶m的作用，扭转后方格由矩形变成平行四边形，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化，这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上便只有切于截面的切应力，因为筒壁的厚度t很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变，这就是纯剪切情况。即纯剪切是横截面

18、上只有切应力，而没有正应力。如图4-7c所示截面部分的平衡方程=m 22rtmx=0，得二切应力互等定理如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的一块厚度为t的单元体，它的宽度和高度分别为dx，dy。当薄壁圆筒受扭时，此单元体的左、右侧面上有切应力，因此在这两个侧面上有剪力tdy，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为(tdy)dx。对整个单元体，由mz=0得(tdy)dx=('tdx)dy所以='上式表明，一对相互垂直的平面，切应力大小相等，垂直交线，方向共同指向或共同背离交线。这是切应力互等定理。三剪切胡克定律纯剪切单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原

19、来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，称为切应变或角应变。若为圆筒两端的相对扭转角，l为圆筒的长度，则剪应变为r l纯剪切试验结果表明，在弹性范围内，切应变与切应力成正比，即 =G式（4-5）为剪切胡克定律；G称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料有E,G三者的关系G=E 21+3.7 圆轴扭转时的应力与强度条件一.圆截面等直杆扭转时的应力首先对圆轴扭转作下述平面假设：圆轴扭转变形前后都保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变，如图4-9。1变形几何关系取一楔形体如图4-9b所示，直角adc角度发生改变，改变量为=aa'd=R （1） dx

20、ad是圆截面边缘上a点切显然，发生在垂直于半径Oa的平面内。根据平面假设，距圆心为处的剪应变为=d （2） dx也同样发生于垂直于半径Oa的平面内。由式（2）表明，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成正比，即当=0,=0；当=R,max=。2物理关系由剪切胡克定理和式（2）得=G=Gd （3） dx与该点到圆心的距离成正比，即当=0,=0；当=R，取最大值。由切应力互等定理，则在纵向截面和横截面上，沿半径切应力的分布如图4-10。3静力平衡关系图4-11表明在横截面内，有dA=dd，截面上的扭矩T=得 dA，由mAo=0，T=m=dA=2GAAdd=GdxdxA2dA令 Ip=A2dA

21、（4-9）Ip为几何量，只与横截面的尺寸有关，称为横截面图形对圆心O点的极惯性矩；单位为m4或cm。则4T=GdIp dx所以dT （4-10） =dxGIp由（3）式知d，所以 =dxG=T （4-11） Ip则在圆截面边缘上，为最大值R时，得最大切应力为max=TR （4-12） Ip令Wt=IpRWt称为截面系数，单位为m3或cm3。所以式（4-12）又可写成max=由此得强度条件为 T （4-13） Wtmax=Tmax （4-14） Wt上述公式适用范围：符合剪切胡克定律，且为圆轴（实心，空心）。4. Ip、Wt计算对实心圆轴2RD4223I=dA=dd=dd=A00pA32 （4-

22、15） 3IWt=p=DR16对空心圆轴D4442D-dD23Ip=dA=d2dd=(1-4)A032322 （4-16） 443W=Ip=D-d=D(1-4)tR16D16()()令=d D例4-2 一轴AB传递的功率为PK=7.5kW，转速n=360r/min。轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图4-12所示。已知D=3cm，d=2cm。试计算AC段横截面边缘处的切应力以及CB段横截面上外边缘处的切应力。解：（1）计算扭矩，轴所受的外力偶矩为m=PK=199Nm n由截面法，各横截面上的扭矩均为T=m=199Nm（2）计算极惯性矩，AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为IP1=D

23、432=7.95cm4IP2=(D324-d4=6.38cm4 )（3）计算应力，AC段轴在横截面边缘处的切应力为AC外=TD=37.5106Pa=37.5MPa IP12CB段轴横截面内、外边缘处的切应力分别为CB内=Td=31.2106Pa=31.2MPa IP22CB外=TD=46.8106Pa=46.8MPa IP223.8 纯弯曲时梁正应力一.弯曲分类1.纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩时，梁横截面上只存在正应力，这种弯曲称为纯弯曲2.横力弯曲：梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，梁横截面上将同时存在切应力和正应力，这种弯曲称为横力弯曲。二.纯弯曲时梁的正应力分析纯弯梁横截面上的正应力，需

24、要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。1变形关系平面假设考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征：（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。此外，还假设：

25、梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为(+y)d，其纵向正应变为=(+y)d-dy= （a） d式（a）表明

26、：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。2物理关系根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律=E于是有=Ey （b）式中E、均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离z成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d所示。式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。3静力关系弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z的微面积dA上有作用力dA。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N以及对

27、y、z轴的力矩My和Mz：FN=dA （c）AMy=zdA （d）AMz=ydA （e）A在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩Mz=M，而轴力N和My皆为零。将式（b）代入式（c），因为N=0，故有FN=其中 EAydA=EydA=AESz=0Sz=ydAA称为截面对z轴的静矩。因为心。将式（b）代入式（d），有 E0，故有Sz=0。这表明中性轴z通过截面形My=其中 EAyzdA=EyzdA=AEIyz=EIyz=0Iyz=yzdAA称为截面对y、z轴的惯性积。使Iyz=0的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。将式（

28、b）代入式（e），有Mz=得到 EAy2dA=E2ydA=AEIz=M1其中 =MEIz （6-1）Iz=y2dAA称为截面对z轴的惯性矩；EIz称为截面的6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式=My （6-2） Iz上式中正应力的正负号与弯矩M及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩M的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M和y的正负。3.9 横力弯曲时梁的正应力 弯曲正应力强度条件一. 横力弯曲时梁的正应力梁在横力弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有切应力。由于存

29、在切应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，l/h5，l为梁长，h为截面高度），切应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1）和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。（薄壁截面梁产生平面弯曲的加力条件见§6-5）上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁（h/00.2

30、，0为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。二.弯曲正应力强度条件1.强度条件对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲切应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件max=Mmaxymax （6-6） Iz式中为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为max=式中 Mmax （6-7） WzWz=Iz （6-8） ymax333称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为长度。国际单位用m或mm。对于宽度为b、高度为

31、h的矩形截面，抗弯截面系数为=bh （6-9） Wz=h26直径为d的圆截面，抗弯截面系数为 bh32Wz=d4=d332 （6-10）内径为d，外径为D的空心圆截面，抗弯截面系数为D4Wz=(1-)4=D332d （6-11） (1-)， =D4轧制型钢（工字钢、槽钢等）的Wz可从型钢表中查得。对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。2.强度计算根据强度条件可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。3.10 弯曲切应力 弯曲切应力强度条件一.推导切应力计算公式梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但

32、一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定切应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式。1矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线aa1上的切应力分布情况。根据切应力成对定理，横线aa1两端的切应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q的方向一致。由于对称的关系，横线aa1中点处的切应力也必与Q的方向相同。根据这三点切应力的方向，可以设想aa1线上各点切应力的方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b，切应力的

33、数值沿横线aa1不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力Q。2）切应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示，现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的切应力。过aa1用平行于中性层的纵截面aa1cc1自dx微段中截出一微块（图6-6d）。根据切应力互等定理，微块的纵截面上存在均匀分布的切应力'。微块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中N1=IdA=A*My1M*dA=Sz *Iz

34、IzA（a）N2=IIdA=A*(M+dM)y1(M+dM)*dA=Sz (b) *IIzzA*式中，A为微块的侧面面积，I(II)为面积A中距中性轴为y1处的正应力，*Sz=AydA。 1*由微块沿x方向的平衡条件x=0，得-N1+N2-'bdx=0 （c）将式（a）和式（b）代入式（c），得dM*Sz-'bdx=0 Iz*dMSz故 '= dxbIz因dM=Q,'=，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的切应力为 dx*QSz （6-3） =bIz式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；Iz为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所

35、求应力点处的宽度；Sy为面积A对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图6-7），可取dA=bdy1，于是h2y*S=y1dA=A*zbh2by1dy1=(-y2) 24这样，式（6-3）可写成Qh2=(-y2) 2Iz4上式表明，沿截面高度切应力按抛物线规律变化（图6-7b）。在截面上、下边缘处，y=±h,=0；在中性轴上，z=0，切应力值最大，其值为 23Qmax= （6-4） 2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均切应力的倍。 2圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa1两端处，切应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点切应力方向是

36、变化的。但在中性轴上各点切应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得max=式中A=4Q （6-5） 3A4d2，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的倍。 3工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大切应力在中性轴上，其值为maxQ(S*z)max =dIz式中（S*z）max为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的Iz*Sz)max可以从型钢表中查得。max的近计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.950.97）Q，因此也可用下式计算似

37、值max式中h1为腹板的高度，d为腹板的宽度。 Q h1d二.弯曲切应力强度计算对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲切应力强度校核。等截面直梁的max一般发生在Qmax截面的中性轴上，此处弯曲正应力=0，微元体处于纯切应力状态，其强度条件为*QmaxSz=bIzmax()max （6-12）式中为材料的许用切应力。此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，然后按切应力强度条件校核。3.11 梁的合理设计一. 综述弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条

38、件max=Mmax （a） Wz上式可以改写成内力的形式MmaxM=Wz （b）（b）式的左侧是构件受到的最大弯矩，（b）式的右侧是构件所能承受的许用弯矩。由（a）和（b）两式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。1减小最大弯矩1）改变加载的位置或加载方式首先，可以通过改变加载位置或加载方式达到减小最大弯矩的目的。如当集中力作用在简支梁跨度中间时（6-13a），其最大弯矩为1Pl；当载荷的作用点移到梁的一41侧，如距左侧l处（图6-13b），65Pl，是原最大则最大弯矩变为36弯矩的0.56倍。当载荷的位置不能改变时，可以把集中力分

39、散成较小的力，或者改变成分布载荷，从而减小最大弯矩。例如利用副梁把作用于跨中的集中力分散为两个集中力（图6-13c）,而使最大弯矩降低为1Pl。利用副梁来达到分散载8荷，减小最大弯矩是工程中经常采用的方法。2）改变支座的位置其次，可以通过改变支座的位置来减小最大弯矩。例如图6-14a所示受12ql=0.125ql2。若将两端支座各向里移动 0.2l812ql, （图6-14b），则最大弯矩减小为4012Mmax=ql=0.025ql2 401只及前者的。图6-15a所示门式起重机的大梁，图6-15b所示锅炉筒体等，5均布载荷的简支梁，Mmax=其支承点略向中间移动，都是通过合理布置支座位置，以

40、减小 Mmax的工程实例。2提高抗弯截面系数1）选用合理的截面形状在截面积A相同的条件下，抗弯截面系数 W愈大，则梁的承载能力就愈高。例如对截面高度h大于宽度b的矩形截面梁，梁竖放时W1=12bh；而梁6平放时，W2=12Whhb。两者之比是1=>1，所以竖放比平放有较高的抗弯6W2b能力。当截面的形状不同时，可以用比值性。常见截面的 W来衡量截面形状的合理性和经济AW值列于表6-1中。 A表中的数据表明，材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它

41、们得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。需要指出的是，对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽度过小，则在载荷作用下梁会发生扭曲，从而使梁过早的丧失承载能力。对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用 T字形等中性轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。2）用变截面梁对于等截面梁，除Mmax所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远

42、小于许用应力。因此，为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴（图6-16a），摇臂钻床的摇臂（图6-16c）及工业厂房中的鱼腹梁（图6-16b）等。3提高材料的力学性能构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。近年来低合金钢生产发展迅速，如16Mn、15MnTi钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，但强度高、韧性好。南京长江大桥广泛的采用了16Mn钢，与

43、低碳钢相比节约了15%的钢材。铸铁抗拉强度较低，但价格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后，提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮，取得了较好的经济效益。3.12剪切与挤压的实用计算一.剪切变形的定义通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点：1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。(见动画：受剪切作用的轴栓)。剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持

44、间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。二剪应力及剪切实用计算剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为 =式中：Q剪力；A剪切面积名义剪切力剪切强度条件可表示为： =式中：构件许用剪切应力。 Q （3-1） AQ （3-2） A剪切面为圆形时，其剪切面积为：A=d24对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为bhl，其剪切面积为：A=bl。例1 电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。插销材料#为20钢，=30MPa，直径d=20mm。挂钩及被联接的板件的厚度分别为t=8mm和1.5t=12mm。牵引力

45、P=15kN。试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿mm和nn两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出Q=插销横截面上的剪应力为 P 2Q15103=23.9MPa< A2(2010-3)24故插销满足剪切强度要求。例2 如图3-8所示冲床，Pmax=400kN，冲头=400MPa，冲剪钢板b=360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算d =PP= 2Ad4所以d4P=3.4cm （2）按钢板剪切强度计算t QP=b Adt所以tP=1.04cm db二.挤压及其实用计

46、算1. 挤压现象挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图3-5就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。 挤压时，以P表示挤压面上传递的力，Abs表示挤压面积，则挤压应力为bs=式中：bs材料的许用挤压应力，一般bs=(1.72)对于圆截面：Abs=dt，如图3-6c所示。 Pbs （3-3） Abs对于平键：Abs=1hl，如图3-7所示。 2例3 截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力bs=8MPa，顺纹许用剪切应力=1MPa，顺纹许用拉应力t=10MPa。若P=40kN，作用于正方形形心，试设计b、a及l。解：

47、1. 顺纹挤压强度条件为bs=PPbs ba40103ba=5010-4m2 6bs8102. 顺纹剪切强度条件为=QP= Abl40103-42 bl=40010m （b） 610P3. 顺纹拉伸强度条件为=P1b(b-a)22t 240103b-ba=8010-4m2 6t1010()2P（c）联立（a）、（b）、（c）式，解得b11.410-2m=114mml35.110-2m=351mma4.410-2m=44mm例4 2.5m3挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,l2=70mm，圆头半径R14mm（图310）。键的许用切应力=87MPa，轮毂的许用挤压应力取bs100MPa，试校核键连接的强度。 解： （1）校核剪切强度 键的受