第三章 集合论基础

1、第三章 集合论基础 1. 如何表示集合?请各举一例。2. 一般地用谓词公式描述法定义集合 A :A=x|P(x, 请问什么样的元素属于 A , 什么样的元素不属于 A ?3. 判断下面命题的真值,并说明原因。集合 a与集合 a是相同的集合。4.A 、 B 是集合。试用谓词公式,表达 A B 、 A=B以及 A B 。5. 证明空集是唯一的。6. 判断下面命题的真值。对你的回答,给予证明或者举反例。1.如果 A B , B C ,则 A C 。2.如果 A B , B C ,则 A C 。7. 判断下面命题的真值。对你的回答,给予证明或者举反例。1.如果 A B , B C ,则 A C 。2.

2、如果 A B , B C ,则 A C 。8. 设 A=a,a,a,b,a,b,c,判断下面命题的真值。 a A (a A c A a,bA aA9. 判断下面命题的真值。 a,b a,b,c aa,b,c a,ba,b,c ca,b,c (ca,b,c(a10. 集合 A 的幂集是如何定义的?令 A=1,1,求 A 的幂集 P(A. 11. 设 A=, B=P(P(A。判断下面命题的真值。1. B 2. B 3. B 4. B 5. B 6. B 12. 填空:设 E 是全集, A 、 B 、 C 是任意集合,则 A E=( A A=( A-A =( A -B( A A -B=A( B A(

3、 A=E13. 给定全集 E=1,2,3,4,5 A=1,2,3 B=2,3,41.求 A 的幂集 P(A2.求 B A14. 给定全集 N=1,2,3,4,.A=1,2,7,8 B= i | i250 C=i | i可被 3整除, 0i 30 D= i |i=2k, ki+, 1k 6 分别求 (1 B-(A C (2 (A B D15. 证明 A B A B=A。16. 证明吸收律:对任何集合 A 、 B ,有 A (A B=A 。17. 证明 (A-B -C=(A-C -(B-C18. 证明 (A-(B C=(A-B (A-C19. 下面两个等式都成立不?对于你的回答给予证明或者举反例说

4、明之。1. A (B-C=(A B -(A C2. A (B-C = (A B -(A C20. 证明 (A B C=A (B C 当且仅当 C A.21. 证明 (A-B -C=(A-C -B22. 证明下面各式彼此等价。A B=E, AB, BA.23. 在什么条件下,下面命题为真?1. (A-B (A-C=A2. (A-B (A-C=3. (A-B (A-C=4. (A-B(A-C=24. 判断下面命题的真值,并说明原因。1. A B= A C ,则 B=C。2. A B= A C ,则 B=C。3. A B= AC ,则 B=C。25.A 、 B 、 C 是集合,证明 A B= AC

5、,当且仅当 B=C。26. 设 A , B , C 是有限集合,请写出求 |A B C |的包含排斥原理公式。27. 某个研究所有 170名职工, 其中 120人会英语, 80人会法语, 60人会日语, 50人会英语和法语, 25人会英语和日语, 30人会法语和日语, 10人会英语、日语和 法语。问有多少人不会这三种语言?28求 1到 1000之间不能被 5、 6、 8整除的数的个数。29. 对 24名科技人员掌握外语的情况进行调查结果如下:英、日、德、法四种外语中,每个人至少会一种;会英、日、德、法语的人数分别是 13、 5、 10、 9人;同时会英、日语的有 2人;同时会英、法语的有 4人

6、;同时会德、法语的有 4人;同时会英、德语的有 4人;会日语的人不会德语,也不会法语;问这 24人中,只会一种外语的人各是多少人?同时会英、法、德三种语言的人有 多少人?30. 填空。令 . A,B 是有限集合, P(A表示 A 的幂集,已知 |A|=3,且 |P(B|=64, |P(A B|=256, 则 |B|=( , |A B|=( , |A-B|=( , |AB|=( 。31. 令集合 A=1,1,B=1,P(A表示 A 的幂集1. 分别计算(1 P(A= (2 P(B= 。2.再判断下面命题的真值,并简单说明原因。(1 1 P(A, (2.1P(A (3.1 P(B (4.1P(B3

7、. 分别计算 :(1.A与 B 的笛卡儿积:A B(2.A B(3 P(A-P(B32. 填空:A,B,C 是集合, (A-B (A-C=A,当且仅当 ( 。33. 设 F 表示一年级大学生的集合; S 表示二年级大学生的集合; M 表示数学专业 学生的集合; C 表示计算机专业学生的集合; D 表示听离散数学课学生的集合; G 表示星期六晚上参加音乐会的学生的集合; ,H 表示星期六晚上很迟才睡觉的学生 集合。则将下面各个句子所对应的集合表达式分别写在句子后面的括号内:(1 所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。 ( .(2 这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期六晚上去听音乐会的学生

8、在星 期六晚上很晚才睡觉。 ( (3 听离散数学课的学生都没有参加星期六晚上的音乐会。 ( (4 星期六晚上的音乐会只有大学一、二年级的学生参加。 ( (5 除去数学专业和计算机专业以外的二年级的学生都去参加星期六晚上的音乐 会。 ( 34.A 与 B 是全集 E 的子集 , 给定各个命题以及由这些命题构成集合 X, 如下所示 : X=N,P,Q,S,T,U,V,W,Y ,ZN :A -B=A P:A B=B Q:A B S:A B T:B AU :B A V:A B=W :A B=B Y:A B Z:B A又令 R 是 X 上的命题等价关系 , 则商集 X/R=( 35.A 与 B 是全集

9、E 的子集 , 给定各个命题以及由这些命题构成集合 X, 如下所示 : X=P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,ZP: AB=B Q: BA R: AB S: A B T: AB=BU: AB=V: B A W: A B Y: AB Z: AB=E又令 R 是 X 上的命题之间的等价关系 , 则商集 X/R=( 36. 判断下面命题得真值,并说明原因。1. A 、 B 是集合,如果 (A-B (A-C=A,仅当 B=C=。2. A 、 B 是集合 , 则 A -B=B-A 当且仅当 A=B37. 设 E 是全集, P(A是集合 A 的幂集,则有(1 P(A P(A=P(E (2 P(A P(A

10、=(3 P(A P(B=P(A B这三种说法是否正确?并对你的答案给予证明或者举反例。38. 令 P(A表示 A 的幂集,全集 E=, A E, 计算下面各式:(要求有计算 过程 1. P(P(;2. P(AP(A;3. P(E-P( 。39. 令 A,B 是集合 , 给出命题如下 :A B=, AB , A=B, B A上述命题中,哪些是彼此等价的 ? 如果彼此等价请给予证明。40.10令全集 E=1,2,3, A=1,2, P(A表示集合 A 的幂集。 1. 计算 P(E-P(A2. 计算 A E1. 答案:集合的表示方法列举法:将集合中的元素一一列出,写在大括号内。例如, N=1,2,3

11、,4,描述法:用谓词公式描述元素的属性。例如, E=x| x是偶数 2. 答案:其中 P(x是描述元素 x 的特性的谓词公式,如果论域内客体 a 使得 P(a为真,则 a A ,否则 a A 。3. 答案:命题的真值为 F 。 因为它们的元素不同。 a中元素是 a ,而 a中元 素是 a。4. 答案:谓词定义:A B x(x A x BA=Bx(x A x BA B x(x A x B x(x B x A5. 答案:证明 假设有两个空集 1、 2 ,则因为 1是空集,由于空集是任何集合的子集,所以 12。因为 2是空集,类似得 2 1。所以 1=2 。所以空集是唯一的。6. 答案:1. T ,

12、证明:因为 B C , A B ,所以 A C 。2. F ,例 A=1 B=1 C=1,2,满足 A B, BC ,但是不满足 A C 。 (因为 1 A 但 1C 。7. 答案:1. F ,举反例 A=1 B=1,2 C=1,2 满足 A B, B C ,但是 A C 。2. F , 举反例 A=1 B=1,2 C=1,2满足 A B, B C , 但是不满足 A C 。8. 答案: T ; F ; F ; T ; F 。9. 答案: T ; F ; F ; T ; T 。10. 答案:集合的幂集:由 A 的所有子集构成的集合, 称之为 A 的幂集。 记作 P(A或 2A 。P(A=B|

13、BAA=1,1时, P(A=,1 ,1, 1,1.11. 答案:解:B=P(P(A =P(,=, , ,可见 1、 2、 3、 4、 5、 6中命题均为真。12. 答案: A E=( A A A=( A-A =(A A -B( A A -B=A( B A( A=E13. 答案:解 . P(A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3A=4,5B A=2,3,44,5=2,3,4,5-4=2,3,514. 答案:解 . A=1,2,7,8 B=1,2,3,4,5,6,7C=3,6,9,12,15,18,21,24,27,30D=2,4,8,16,32,64 A=3,4,5,6,9,10,

14、11,12.(1 B-(A C=1,2,3,4,5,6,7-1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30=4,5(2 (A B D=3,4,5,6 D=2,3,4,5,6,8,16,32,6415. 答案:证明:A B=A x(x A B x Ax(x A B x A (x A x A Bx(xA B x A (xA x A Bx(x A x B x A (xA (x A x Bx(xA x B x A (xA (x A x Bx(T (T ( xA x Bx( xA x Bx(x A x B AB16. 答案:证明 A (A B= (A E (A B (同一 = A

15、(E B (分配 = A E=A (零律 (同一 17. 答案:证明:任取 x (A-C -(B-Cx (A-C x (B-C(x A x C (x B x C(x A x C (xB x C(x A x C x B (x A x C x Cx A x C x Bx A x B x C(x A x B x Cx A -B x C x (A-B -C所以 (A-B -C=(A-C -(B-C18. 答案:证明:任取 x A -(B Cx A x (B Cx A (x B x Cx A (xB x C(x A x B (x A x C x A -B x A -Cx (A-B (A-C所以 A -(

16、B C=(A-B (A-C19. 答案:1 成立, 2不成立。证明 1:任取 x (A B -(A C x (A B x (A C(x A x B (x A x C(x A x B (xA x C(x A x B x A (x A x B x C(x A x B x Cx A (x B x Cx A x (B-Cx A (B-C所以 A (B-C=(A B -(A C2.不成立。可以举反例如下:A (A-B=A 而 (A A -(A B=可见 A (A-B (A A -(A B 。20. 答案:证明;充分性 已知 C A(A B C=(A C (B C=A (B C ( C A A C=A必要

17、性 已知 (A B C=A (B C任取 x C x (A B C x A (B C x A 所以 C A.21. 答案:方法 1. 任取 x (A-B -C x (A-B x C (x A x B x C(x A x C x B x (A-C x B x (A-C-B所以 (A-B-C=(A-C-B方法 2 (A-B -C=(A B C =(A C B =(A-C -B22. 答案:证明 . A B=E x(x A B x E x(x A B (因 x E 为 T (PT Px(x A x B x(xA x B x(x Ax B AB 同理 A B=E .x(x A x B x(xB x A

18、 x(x Bx A BA所以 A B=E AB BA.23. 答案:1. (A-B (A-C= (A B (A C=A (B C= A (B C=A-(B C=A所以满足此式的充要条件是:A B C=。2. (A-B (A-C= A-(B C=所以满足此式的充要条件是:A B C 。3. (A-B (A-C= (A B (A C=A (B C= A (B C=A-(B C=所以满足此式的充要条件是 : A B C 。4.因当且仅当 A=B,才有 A B=,所以满足此式的充要条件是 : A-B=A -C 。24. 答案:1.真值为假。例如,当 A 为全集时,有 A B= A C ,可能有 B C

19、 。2.真值为假。例如,当 A 为空集时,有 A B= A C ,可能有 B C 。3.真值为真。因为A B= AC ,所以有 A (AB= A (AC ,而 可结合,所以有 (AA B=(AA C ,又 A A=,所以 B=C 于是得 B=C。 25. 答案:证明:充分性:已知 B=C。显然有 A B= AC 。必要性:已知 A B= AC 。所以有 A (AB= A (AC ,而 可结合, 所以有(AA B=(AA C ,又 A A=,所以 B=C 于是 B=C。 最后得 A B= AC ,当且仅当 B=C。26. 答案:|A B C|=|A|+|B|+|C|-|A B|-|A C|-|B

20、 C|+|A B C|27. 答案:解 :令 U 为全集, E 、 F 、 J 分别为会英语、法语和日语人的集合。 |U|=170|E|=120 |F|=80 |J|=60|E F|=50 |E J|=25 |F J|=30|E F J|=10|E F J|=|E|+|F|+|J|-|E F|-|E J|-|F J|+|E F J| = 120+80+60-50-25-30+10=165|U-(E F J|=170-165=5 即有 5人不会这三种语言。28. 答案:解 . 设全集 E =x| x是 1到 1000的整数 |E|=1000设 A 5、 A 6、 A 8是 E 的子集并分别表示可

21、被 5、 6、 8整除的数的集合。x 表示小于或等于 x 的最大整数。LCM(x,y:表示 x,y 两个数的最小公倍数。 (Least Common Multiple 81201000 8, 6, 5LCM(1000|A A A |41241000 8, 6LCM(1000|A A |25401000 8, 5LCM(1000|A A |33301000 6, 5LCM(1000|A A |12581000|A |16661000|A |20051000|A |865868565865= 不能被 5、 6、 8整除的数的集合为(A5 A6 A8|(A5 A6 A8|=|E|-|A5 A6 A8

22、|= |E|-(|A5|+|A6|+|A8|-|A5 A6|-|A5 A8|-|A6 A8| +|A5 A6 A8| =1000-(200+166+125-33-25-41+8 =60029. 答案:解:设全集为 U,E,F,G ,J 分别表示会英、法、德、日语人的集合。又设 |E F G|=x 只会英、法、德、日一种外语的人分别是 y1, y2, y3, y4。 于是画出文 氏图如下:|U|=24, |E|=13 |J|=5 |G|=10 |F|=9 ,|E F|=|G F|=|E G|=4 , |E J|=2|F E G|=|F|+|E|+|G|-|F E|-|F G|-|E G|+|F

23、E G|= 9+13+10-4-4-4+|F E G|=20 +|F E G|于是 |F E G|=20 +|F E G|只会日语的人数为 : | J|-|E J|=5-2 =3得:|E F J|=|U|-3=24-3=21所以 |F E G|=x=21-20=1于是最后得:y1= 13-4-4+1-2=4y2= 9-4-4+1=2y3=10-4-4+1=3y4=330. 答案:解 . 由 |P(B|=64=26,得 |B|=6由 |P(A B|=256=28,得 |A B|=8由包含排斥原理得 |A B|=|A|+|B |A B|=|A|+|B|-|A B|,得 8=3+6-|A B| ,

24、所以 |A B|=1|A-B|=|A|-|A B|=3-1=2|AB|=|A B|-|A B|=8-1=731. 答案:1. (1P(A=P(1,1=,1 ,1, 1,1(2 P(B= P(1= P(,12. (1 1 P(A 为假。因为 P(A中没有元素 1。(2.1P(A 为假。因为 1中有元素 1,而 P(A中没有元素 1。(3.1 P(B 为真。因为 P(B中没有元素 1。(4.1P(B 为真。因为 1中有元素 1,而 P(B也有元素 1。3. (1. AB =,(2.A B=(A B -(A B= 1,1-1=1(3 P(A-P(B =,1,1, 1,1-,1=1, 1,132. 答案:(A B C=33. 答案:(1 ( C S D (2 ( DG=H (3 (DG (4 ( GF S (5 ( (M C S H 34. 答案:X/R=(N,V,S,Z,P,T, Y,Q,U,W 35. 答案:X/R=(P,Y,V,Q,T, S,R,U,W,Z 36. 答案:1.真值为假。因为 B=