本科毕业论文设题 目 量子力学中的代数解法 - 图文-

1、 的物理条件（如边界条件、归一化条件、自然条件等）直接求解. 目前，常见的偏微 分方程已经拥有完善的求解思路、方法,但是能够精确求解的毕竟只是极少数的方程, 更一般的是研究数值方法,事实上只要近似程度可以,其作用完全不亚于精确解. 升降算符的方法是量子力学中特有的方法,其基础是束缚态所要求的归一化条件. 这导致了能量只能取不连续的值,相应的有意义的波函数自然就是分立的.这种方法的 本质是通过升降算符的作用使得量子数(比如 n, l , s, j 等发生了升降.可以证明， 升降算 符法适用于基态能量 E0 有限且 dy 0 /dx 存在的一维势阱和势能为 1/r 或 r 2 的中心力场的 径向方

2、程. 升降算符法的关键是根据 Hamilton 算符（或含有离心势能项的径向方程）的形式 构造出几对升降算符， 并对它们的意义进行阐明.一方面由于分解因式具有很大的灵活 性，文中通过猜想、待定系数推理、验证的思路进行探索.因构造出的升降算符对波函 数的作用形式简单，从而可导出涉及的 r , p, r , 1 等算符使问题简化，这一点在谐振子 r 中得到很好的应用7 ，但对氢原子来说却应用不多.另一方面升降算符一般为微分式， 从而得出的是微分递推式，这不便于通过计算机计算并绘出变化曲线作进一步分析， 通过解析方法得到的精确解可以弥补这个不足. 目前，算符的因子化方法有了比较系统的理论2 ，但涉及

3、算符的构造仍然是猜想 和待定系数的方法， 不能够使人满意.常系数常微分方程的算子解法的发展或许可以提 供一个方向，最初算子解法是由无线电工程师亥维赛用于求解线性微分方程，后来由 杰弗莱斯的完善使得这种方法很成功，但由于符号法形式上的粗糙性最终由 Laplace 给予完美的解决.与 Laplace 变换一样，量子力学中的代数解法在解决特定领域的微分 方程是很方便的，具有重要的研究意义. 参考文献: 参考文献: 1 59. 2 3 4 程檀生. 现代量子力学教程M.北京：北京大学出版社，2006.259-269. 费恩曼, 莱顿,桑兹. 费恩曼物理学讲义(第 3 卷M . 上海: 上海科学技术出版

4、社，2006.250-253. 刘建军，齐向红，裴晓林. 均匀磁场中带电粒子运动的代数解法J.河北师范大学学报（自然 Griffiths,D.J. Introduction to Qutantum Mechanics M. 第 2 版 . 北京 : 机械工业出版社 , 2006.40- 科学版）, 19(4 ：1995.53. 5 6 7 8 9 喀兴林. 高等量子力学M.第 2 版. 北京: 高等教育出版社,2001.127-135. 喀兴林. 量子力学与原子世界M.太原：山西科学技术出版社，2000.82-83. 曾谨言. 量子力学 (卷 1 M.第 4 版. 北京: 科学出版社,2007

5、.331-333. 曾谨言. 量子力学导论M.第 2 版.北京: 北京大学出版社,1998.246-247,259-261. 梁昆淼. 数学物理方法M.第 3 版.北京：高等教育出版社，1998.114-115,133-135. 15 谢 辞 衷心地感谢指导老师白少民教授，通过这次毕业论文的写作过程，我从他身上学 到了许多非常珍贵的东西，这对我一生来说都很重要。本论文从选题到初稿的完成， 再到最后的定稿，都倾注了白老师大量的心血。在去年上量子力学课时，我就向他请 教论文中的相关问题，他曾两次花费长达一个多小时和我单独讨论论文，并提出了许 多好的建议，特别是当我论文进行不下去时，是他给了我支持和

6、鼓励。在此，我谨向 白老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！同时，我要感谢在大学期间传授给我知识的所 有老师们，是你们的悉心教导使我掌握了扎实的专业知识和通用技能，使我具备了良 好的综合素质，这也是我论文得以完成的基础。 最后，感谢所有给予过我帮助的朋友和同学，谢谢你们！我还要特别感谢我的父 母，是你们把我抚养长大，并教会我做人，培养了我坚忍不拔的性格。 （全文共约 10，000 个字） 17 附录 谐振子基态经典禁区的相对概率 Excel-VBA 计算程序 采用抛物线近似的方法求解 Gauss 型定积分 Const pi# = 3.1415926 Function f#(x# f = Exp(-x

7、 * x End Function Function S_PaoWuXian#( x#, x0#, Optiona l n% = 10 '利用抛物线近似的方法求解，2*n 是等分数，代表近似程度 Dim dx#, i% Dim x1#, y1#, y2#, s# dx = (x - x0 / (2 * n x1 = x0: y1 = f(x0: y2 = f(x s = y1 + y2 For i = 1 To 2 * n - 3 Step 2 x1 = x0 + i * dx y1 = f(x1: y2 = f(x1 + dx s = s + 4 * y1 + 2 * y2 Next i x1 = x - dx s = s + 4 * f(x1 S_PaoWuXian = s * dx / 3 End Function Function ProbJinQu#( n% '2*n 是等分数，代表近似