《线性代数》模拟试题

1、线性代数模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共27分）1. 对于阶可逆矩阵，则下列等式中（ ）不成立.(A) (B) (C) (D) 2. 若为阶矩阵，且，则矩阵（ ）. （A） （B） （C） （D）3. 设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）.(A) 全都非负 （B） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制4. 设 ，那么（ ）. （A） （B） （C） （D） 5. 若向量组线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若，其秩（ ）. （A）1 （B

2、）2 （C）3 (D) 4 7. 若方程组中方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A）必有无穷多解 （B）必有非零解 （C）仅有零解 （D）一定无解8. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 9. 若满足条件（ ），则阶方阵与相似. （A） （B） （C）与有相同特征多项式 （D）与有相同的特征值且个特征值各不相同二、填空题（每空格3分，共21分）1. 若向量组线性无关，则向量组是线性 .2. 设为4阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设，线性相关，则 .4. 设，则 .5. 设三阶方阵有特征值4，5，6，则 ，的特

3、征值为 ，的特征值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）计算行列式 2. （8分）已知矩阵，求.3. （10分）设三阶方阵满足 ，其中，求.4（6分）在向量空间中，取两组基：（I） （II）设在基I下的坐标为，求在基在基II下的坐标.5. （12分）取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题5分，共10分）1. 设为阶可逆阵，. 证明的伴随阵.2. 若，都是阶非零矩阵，且. 证明和都是不可逆的.线性代数模拟试题（一）参考答案一、单项选择题（每题3分，共27分）1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B

4、8. B 9. D二、填空题（每空3分，共21分）1. 无关； 2. 3 ； 3. 3 ； 4. ； 6. 120； 4，5，6； 三、计算题（7+10+10+12=39分）1. 解： . 2. 解：先求的特征值，= ， 当时，由得，的对应于2的特征向量是， 当时，由得，的对应于的特征向量是，当时，由得，的对应于的特征向量是， 取.令 ，则，所以. 3. 解：因为，所以， 因此 . 又，所以，故 . 4解：, 所以 ， 在基II下的坐标为.5. 解：， （1）当，即且时，方程组有惟一解. （2）当时，此时，方程组无解， （3）当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 .四、证明题（5+5=

5、10分）1. 证：根据伴随矩阵的性质有又，所以，再由于可逆，便有.2. 证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；类似的，若可逆，即存在，以右乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾，因此，和都是不可逆的.线性代数模拟试题（二）一、选择题（每小题4分，共20分）1. 设是四维列向量，且，则（ ）.（A） （B） （C） （D） 2. 如果为三阶方阵，且，则（ ）.（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 设为阶方阵，且，则（ ）.（A）中必有两行（列）的元素对应成比例（B）中至少有一行（列）的元素全为0 （C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 （D）中

6、任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合4. 设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（ ）.（A） （B） (C) （D） 5. 设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ）.（A）与相似 （B）与等价（C）与有相同的特征值 （D）与有相同的特征向量二、填空题（每空格3分，共27分）1. 阶行列式 .2. 设，则 .3. 设三阶矩阵，满足，且，则 .4. 设四阶方阵，则 .5. 设向量组，线性相关，则 .6. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 ，的特征值为 ，的特征值为 .7. 设二次型为正定二次型，则的范围是 .三、计算题（10+10+8+15=43分）1. 求向量组，的

7、秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示.2. 为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解.3. 三阶实对称矩阵的特征值为，对应于特征值的特征向量为, 求.4. 已知二次型，（1）写出二次型的矩阵表达式;（2）用正交变换把化为标准形并写出相应的正交变换.四、证明题（5+5=10分）1. 设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求其逆阵.2. 设（）是阶方阵的特征值，对应的特征向量分别为，证明不是的特征向量.线性代数模拟试题（二）参考答案一、选择题（每题4分）1. C 2. A 3. C 4. A 5. D二、填空题（每空3分）1. 2. 3.

8、 4. 5. 6. ； ； 6，3，27. .三、计算题（10+10+8+15=43分）1. 解： ， 所以，是一个最大无关组，并且有 ， . 2. 解： ， 当，即且时，方程组有惟一解. 当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 ， 当时，此时，方程组无解. 3. 解：先求对应于特征值1的特征向量，设是对应于1的特征向量，则有，即，因而，为不等于0的任意常数. 取，令，则有，因此， . 4. 解：（1），（2） ，所以的特征值为， 当时，由得对应于5的特征向量，当时，由得对应于的特征向量，. 取，令，则为正交矩阵，且 ，因此，所求的正交变换为，并且.四、证明题（5+5=10分）1. 证：

9、 所以，可逆，并且.2. 证：假设是的对应于的特征向量，则因为, 所以， 由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，与矛盾！由此可知假设不成立，故不是的特征向量.线性代数模拟试题（三）一、 选择题（每小题4分，共24分）1. 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）. （A） （B） （C） （D）的关系依而定2若，为同阶正交阵，则下列矩阵中不一定是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 阶矩阵的行列式不为零，经过若干次初等变换变为，则（ ）. （A） （B） （C）与有相同的正负号 （D）可以变为任何值4. 设和都是阶方阵，下列各项中，只有（

10、 ）正确.（A） 若和都是对称阵，则也是对称阵（B） 若，且，则（C） 若是奇异阵，则和都是奇异阵（D） 若是可逆阵，则和都是可逆阵5. 向量组线性相关的充要条件是（ ）. （A）中有一个零向量 （B）中有两个向量的分量成比例 （C）中有一个向量是其余向量的线性组合 （D）中任意一个向量是其余向量的线性组合6设，为阶方阵，且，则（ ）. （A） （B） （C） （D）二、 填空题（每空格4分，共24分）1. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 .2. 设为正定二次型，则的取值范围为 .3. 设，则 .4. 四阶行列式 .5. 设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为 .6. 设是非齐次线性方程组的

11、个解，若也是它的解，则 .三、计算题（10+10+12+12=44分）1. 解矩阵方程，其中，.2. 求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：.3. 设三阶方阵有特征值，对应特征向量，（1） 求；（2） 设，求.4. 向量组讨论取何值时，（1）能由线性表示，且表示式唯一；（2）能由线性表示，且表示式不唯一；（3）不能由线性表示.四、证明题（4+4分）1. 设阶方阵的秩为，证明.2. 设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，但，证明向量组是线性无关的.线性代数模拟试题（三）参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1. C 2. B 3. B 4. D 5.

12、 C 6. C二、填空题（每题4分，共24分）1. 6 ； 2. ； 3. ； 4. ；5. （个），； 6. 1 .三、 计算题（10+10+12+12）1. 解：由，得， 为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵， 所以 . 2. 解：对施行初等行变换变成行最简形，,所以，的前三列是的列向量组的最大无关组，且 ， . 3. 解：（1）取，由于，故为可逆矩阵，可相似于对角矩阵，即所以，.（2）由，得，所以.4. 解：,（1）当时，可由线性表示，且表示式不唯一；（2）当，且，即时，不能由线性表示；（3）当且时，能由线性表示，但表示式唯一.四、证明题（4+4=8分）1. 证：由可得，根据矩阵秩的

13、性质，有，又，所以；另一方面，所以，从而；综合上述两方面，有.2. 证：因为是线性方程组的解向量，所以.从而（），又由知（）.设， （1）以左乘上式两边，得，因而必有，以左乘（1）式两边，得，因而必有，类似地，可以证明必有，故是线性无关的.线性代数模拟试题（四）一、选择题（每小题4分，共24分）1. 设均为阶方阵，若由能推出，则应满足下列条件中的（ ）. （A） （B） （C） （D）2. 设，均为阶矩阵，为正整数，下列各式中不正确的是（ ）.（A） （B）（C） （D）3. 已知，则中的一次项系数是（ ）. （A） 4 （B）1 （C） （D）4. 设, 那么（ ）. （A） （B） （C）

14、 （D） 5. 设都是阶非零矩阵，且，则和的秩（ ）. （A）必有一个等于零 （B）都小于 （C）一个小于,一个等于 （D）都等于6. 设、为阶方阵，且与相似，为阶单位阵，则（ ）. （A） （B）与有相同的特征值和特征向量 （C）与相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数，相似二、填空题（每小题4分，共24分）1. 已知，则 .2. 若对，有，则 . 3. 向量组（）：，（）：，（）：，如果R() = R() =3, R() = 4, 则向量组的秩= .4. 若四阶方阵的列向量组满足条件，则的一个解为 .5. 已知阶可逆矩阵的每行元素之和均为，则数 一定是的特征值.6. 设 为正定二次型， 则的

15、取值范围为 .三、计算题（8+10+12+12=42分）1. 设，且 ，求.2. 求向量组，的秩和一个最大无关组，并把其他向量表示成该最大无关组的线性组合.3. 设非齐次线性方程组（）和（）分别为（） （）（1） 求方程组（）的通解；（2） 方程组（）中的参数取何值，方程组（）和（）同解.4. 设二次型，（1）求一个正交变换化二次型为标准形；（2）设为上述二次型的矩阵，求.四、证明题（5+5分）1. 设阶方阵，但存在正整数，使得，证明不能相似于对角阵.2. 设为个线性无关的维列向量，是和均正交的维列向量，证明线性相关.线性代数模拟试题（四）参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1. B 2.

16、 B 3. C 4. C 5. B 6. D二、填空题（每题4分，共24分）1. 2. 9 3. 4 4. 5. 6. 三、计算题（10+10+10+12=42分）1. 解：由得，即 ，因为， 所以 . 2. 解：,所以，是一个最大无关组，并且 ，.3. 解：（1）对方程组（）的增广矩阵作初等行变换，由此得方程组（）的通解为.（2）当()和()同解时，()的通解也是()的通解，将()的通解代入()，即 ，从中解得，.另一方面，将，代入（）后，其增广矩阵 ，的行标准形与的行标准形一样，故当，时,()和()同解.4. 解：，（1） ，所以的特征值为， 由得对应于的特征向量，由得对应于的特征向量，由

17、得对应于的特征向量，取， ，令， 则得所求的正交变换 即 ，且 .（2） 根据（1）知， ,所以 . 四、证明题（5+5=10分）1. 证： 设是的任一特征值，则是的特征值，而，所以，即的特征值全为零，若相似于对角阵，则存在可逆矩阵，使得，从而有，这与条件矛盾，所以不能相似于对角阵.2. 证：设，则是一个矩阵，因为线性相关，所以，故元线性方程组的解空间的维数为1.又是和均正交的，所以是的解，因此必线性相关.线性代数模拟试题（五）一、填空题（每小题4分，共20分）1. 已知，则 .2. 设四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式 .3. 方程的规范正交解为 .4. 设矩阵的秩为2，则 .5. 设

18、，是的一个正交基，则在此基下可线性表示为 .二、选择题（每小题4分，共20分）1. 关于矩阵，下列命题正确的是（ ）. （A）若，则或 （B）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形 （C）矩阵的标准形不惟一 （D）若为初等矩阵，则2. 下列命题正确的是（ ）. （A）维列向量组可以线性无关 （B）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩 （C）维列向量组必线性相关 （D）若方阵，则可逆3. 设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ）. （A）与相似 （B）与有相同的特征向量 （C）与有相同的特征值 （D）与等价4. 已知三阶矩阵的特征值为其对应的特征向量分别是，取，则（ ）. （A） （B

19、） （C） （D）5. 二次型（是对称矩阵）正定的充要条件是（ ）. （A）对任何，有 （B）的特征值为非负数 （C）对任何，有 （D）对任意，有三、计算题（14+14+11+11=50分）1. 设非齐次线性方程组（1）取何值时，方程组（a）有唯一解；（b）无解；(c) 有无数多个解.并且在方程组有无数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解.（2）设该方程组的系数矩阵为，试问取何值时，存在三阶非零矩阵，使得.2. 设，（1） 求一正交相似变换矩阵，使，其中为对角矩阵；（2） 求.3. 设三阶实对称矩阵的特征值为特征值对应的特征向量为，（1） 求对应的特征向量；（

20、2） 求矩阵.4. 判断下面向量组的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量表示成这个极大无关组的线性组合.，.四、证明题（5+5=10分）1. 设与为阶矩阵，则与相似.2. 设为正定矩阵，证明：.线性代数模拟试题（五）参考答案一、填空题（每题4分，共20分）1. ； 2. ；3. ；4. 3； 5 .二、选择题（每题4分，共20分）1. D 2. C 3. B 4. B 5. D三、计算题（14+14+11+11=50分）1. 解：，（1）当且时，此时方程组有惟一解.当时，增广矩阵，显然系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解.当时，增广矩阵 ，所以,令，得，此为时对应方

21、程组的通解. （2）系数矩阵的秩小于3时，线性方程组有非零解，此时存在三阶矩阵，使得.由得或. 2. 解：（1）特征多项式,的特征值为，. 当时，解方程组，得基础解系，于是得到对应的单位特征向量. 当时，解方程组，得基础解系，于是得到对应的单位特征向量. 令，即为所求的正交相似变换矩阵，且. （2）先求，所以， 故 . 3. 解：（1）设对应于2的一个特征向量为，则与正交，即，其基础解系为，这是对应于2的两个线性无关的特征向量.（2）令，取，则. 所以， . 4. 解：由的行标准形显示的列的线性关系，可得，所以向量组线性相关，为最大无关组，并且 .四、证明题（5+5=10分）1. 证：因为，所

22、以可逆，从而有 ，即，所以与相似.2. 证：为正定矩阵，则特征值全为正数. 即若的全部特征值为，则，又由于为正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得，即,所以 .线性代数模拟试题（六）一、选择题（每小题4分，共20分）1. 设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）.（A）的列向量组线性相关 （B）的列向量组线性无关 （C）的行向量组线性相关 （D）的行向量组线性无关 2. 线性无关的充要条件是（ ）.（A）都不是零向量 （B）任意两个向量的分量不成比例 （C）至少有一个向量不可由其余向量线性表示 （D）每个向量均不可由其余向量线性表示3. 设矩阵其中且，则为（ ）. （A）正定矩阵 （B）负

23、定矩阵 （C）初等矩阵 （D）正交矩阵 4. 为阶方阵，是的特征值，则必有（ ）. （A）互异 （B）不等于零 （C） （D）5. 若存在一组数使得成立，则向量组（ ）. （A）线性相关 （B）线性无关 （C）可能线性相关也可能线性无关 （D）部分线性相关二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设，为非零矩阵，则 .2. 设阶方阵的个特征值为1，2，则 .3. 设，则 ， .4二次型的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 .5. 若，则 .三、计算题（8+8+8+14+12分）1. .2确定下列方程组是否有解，若有解，求其通解.3解矩阵方程求，其中， .4设矩阵，问当为何值时，存在可逆矩阵使得

24、，其中为对角矩阵？并求出可逆矩阵和相应的对角矩阵.5设三维向量空间的两组基和的关系是，.（1） 求从基到基的过渡矩阵；（2） 求向量在基下的坐标；（3） 求在基下的坐标.四、证明题（5+5分）1. 设阶矩阵满足，为阶单位矩阵，求证：.2. 设是的一个基，若满足与正交，即，则.线性代数模拟试题（六）参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）1. B 2. D 3. D 4. D 5. C二、填空题（每小题4分，共20分）1. ；2. ； 3. 1， 2；4. 3， 2， 1；5. .三、计算题（8+8+8+14+12分）1. 解：原式 .2. 解：此方程组的增广矩阵为 所以系数矩阵的秩等于增广矩

25、阵的秩，方程组有解.特解为，对应的齐次线性方程组的基础解系为，. 所以通解为，. 3. 解：,所以. 4. 解：由，得，.所以，的特征值有重根，因此对于而言，当方程组有两个线性无关的解时，可以对角化.，若，则，方程组只有一个线性无关的解.当时，所以对应于的线性无关特征向量为，因此当时，存在可逆矩阵使得.另外，可求得对应于的特征向量为，取，即为所求的可逆矩阵，且有. 5解：（1）因为，所以,故从基到基的过渡矩阵.（2） ,向量在基下的坐标.（3） ,在基下的坐标.四、证明题（5+5分）1证：由得 ， 所以 的列向量为方程组的解， 设，则有，所以 ，又，所以,即 ，故. 2证：因为，是的一个基，所

26、以存在个数，使得， 需证，只需证，因为，因此.线性代数模拟试题（七）一、选择题（每小题4分，共20分）1. 设、为阶矩阵，则下面必成立的是（ ）. （A） （B） （C） （D）2. 设，均为阶可逆矩阵，则（ ）. （A） （B） （C） （D）3. 设向量组的秩为3，则（ ）. （A）任意三个向量线性无关 （B）中无零向量 （C）任意四个向量线性相关 （D）任意两个向量线性无关4. 线性方程组，有解的充要条件是（ ）. （A） （B） （C） （D）5. 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是（ ）. （A）的个特征值互不相同 （B）可逆 （C）无零特征值 （D）有个线性无关的特征向量二、填空题（

27、每空格3分，共30分）1. 各列元素之和为的阶行列式的值等于 .2. 设三阶矩阵，则 .3. 设矩阵，则 ， ， （为正整数）.4. 设，则 .5. 设向量组线性无关，则向量组，线性 .6. 设三阶可逆矩阵的特征值分别为2，3，5，则 ，的伴随矩阵的特征值为 .7. 设实二次型为正定二次型，则参数的取值范围是 .三、计算题（6+12+10+12=40分）1. 设，求矩阵.2设有线性方程组为何值时，该方程组（1）无解；（2）有唯一解.3设四维向量组，求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.4 求一个正交变换，将实二次型化为标准形，并判断该二次型是否正定.四、证

28、明题（5+5=10分）1. 设为阶矩阵，如果，则.2. 设为正交矩阵，证明一定是的一个特征值.线性代数模拟试题（七）参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）1. D 2. C 3. C 4. A 5. D二、填空题（每空格4分，共30分）1. 2. 3. ； ； 4. 2 5. 无关 6. 30； 15，10，6 7. 三、计算题（6+12+10+12=40分）1. 解： . 2. 解：线性方程组的系数行列式，（1）当，即且时，方程组有惟一解；（2）当时，此时有；当时，此时也有，所以当或时，方程组无解.3. 解：，所以，为向量组的一个极大线性无关组，且，.4. 解：二次型的矩阵 ， 的特征多

29、项式，所以的特征值为，. 对应的线性无关的特征向量为，单位化得；对应的线性无关的特征向量为，单位化得；对应的线性无关的特征向量为，单位化得. 所求正交变换为 ，二次型的标准形为 ，因为，所以该二次型不是正定二次型. 四、证明题（5+5分）1. 证：由，得，则 ；又 ， 所以 . 2. 证：要证一定是的一个特征值，只需证. 因为为正交矩阵，所以，因此有又因为，所以，从而有，故一定是的一个特征值.线性代数模拟试题（八）一、填空题（每小题4分，共20分）1. 设，则的伴随矩阵 .2. 若向量组线性无关，则向量组是线性 .3. 设二次型为正定二次型，则取值范围为 .4. 若，则 .5. 元齐次线性方程

30、组有非零解的充分必要条件是 ； 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 .二、选择题（每小题4分，共20分）1. 当满足条件（ ）时，矩阵的秩为3.（A） , （B）， （C） （D）2. 设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组（）： 和（）： ，必有（ ）. （A）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解 （B）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解 （C）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解 （D）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解3. 设维行向量，矩阵，其中为阶单位矩阵，则（ ）. （A） （B） （C） （D）4. 设向量组则该向量组的一个最大无关组为（ ）.

31、 （A） （B） （C） （D）5. 若满足条件（ ），则阶方阵与相似. （A） (B) （C）与有相同的特征多项式 （D）与有相同的特征值且个特征值各不相同三、计算题（8+8+12+12+10分）1计算阶行列式.2设，求.3已知方程组（）与（）同解，其中（） （）求的值.4设矩阵，其行列式，又知的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值.5求一个正交变换化下列二次型成标准形：.四、证明题（5+5分）1设是一组维向量，证明：线性无关的充分必要条件是任一维向量都可由它们线性表示. 2设为阶方阵，为矩阵，且，如果，证明.线性代数模拟试题（八）参考答案一、填空题（每小题4分，共20分）

32、1. 2. 无关 3. 4. 5. ；二、选择题（每小题4分，共20分）1D 2A 3C 4B 5D三、计算题（8+8+12+12+10分）1解： = .2解：，因为，所以， 于是，.3解：作方程组（）：因为方程组（）与（）同解，则方程组（）与（），（）也同解，但（）的系数矩阵的秩，所以（）的系数矩阵的秩，由于所以，. 另一方面，当，时，此时，方程组（）与（）的增广矩阵的行标准形相同，故当方程组（）与（）同解时，.4解：根据题目假设，有，两边左乘，得，即，所以，由此可得解之得， 再由，得，即有 ，.5解：二次型的矩阵为，,所以A的特征值为，.当时，由得，当时，由得，当时，由得.于是，所求的正交

33、变换为，的标准形为.四、证明题（5+5分）1证明：（必要性）设线性无关，并设是一个任意的维向量，于是由个向量构成的向量组：,线性相关，由根据假设线性无关，得知必能由线性表示.（充分性）设任一维向量都可以由线性表示，则单位坐标向量组能由向量组线性表示，因此,又，从而，因此线性无关.2证明：因为，所以，由此可知的每一个列向量都是方程组的解，又为矩阵，且，即，所以只有零解，因此，从而有.线性代数模拟试题（九）一、选择题（每小题4分，共20分）1. 设为阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量组线性相关，则（ ）. （A）可由线性表示 （B）不可由线

34、性表示 （C）若，则可由线性表示 （D）若，则可由线性表示3下列结论不正确的是（ ）.（A） 阶方阵可逆的充要条件是（B） 阶方阵可逆的充要条件是存在可逆阵，使得（C） 阶方阵可逆的充要条件是可表成一系列初等矩阵之和（D） 阶方阵可逆的充要条件是可表成一系列初等矩阵之积4设为阶矩阵的特征值，分别是的属于的特征向量，则（ ）. （A）当时，与必成比例 （B）当时，与必不成比例 （C）当时，与必成比例 （D）当时，与必不成比例5. 设阶矩阵的个特征值全为零，则（ ）. （A） （B）只有一个线性无关的特征向量 （C）不能与对角矩阵相似 （D）当与对角矩阵相似时，二、填空题（每空格4分，共28分）1

35、. 设四阶行列式的第一行元素分别为第一行元素的余子式分别为，则 .2. 设，则 .3. 设，则 .4. 设三阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则的特征值为 ， .5. 设是由向量组，所生成的向量空间，则的维数为 .6. 实二次型的矩阵为 .三、计算题（6+6+10+10+10=42分）1计算行列式.2设为阶方阵，计算.3设齐次线性方程组（） （）（1）分别求出方程组（）与（）的基础解系；（2）求方程组（）与（）的公共解.4设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且，（1）求，使得；（2）求.5已知矩阵与相似，其中，（1）求的值；（2）求正交矩阵，使得.四、证明题（5+5=10分）1. 设为阶可逆矩阵

36、，为的伴随矩阵，证明的秩.2. 已知，证明可逆，并求出其逆阵.线性代数模拟试题（九）参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）1. B 2. D 3.C 4. D 5. D二、填空题（每空格4分，共28分）1100 2 32 4； 48536三、计算题（6+6+10+10+10=40分）1解：.2解： ,所以.3解：（1）因为，所以方程组（）的基础解系为因为，所以（）的基础解系为（2）设是方程组（）与（）的公共解，则存在数，使得， 即 解得（为任意常数）,因此方程组（）与（）的公共解为，（为任意常数）.4. 解：（1）, 所以 ； （2）由（1）知 ， ，因为线性无关，所以，因此.5. 解：（

37、1）因为与相似，所以，即，因此.(2) 由（1）知的特征值为当时，解方程组得基础解系，取，当时，解方程组得基础解系，取，当时，解方程组得基础解系，取，由此得所求正交矩阵，且有.四、证明题（5+5=10分）1. 证：因为为阶可逆矩阵，所以， 又因为 ，所以，因而， 所以为阶可逆矩阵，故. 2. 证： ，要证可逆，只需证明，都可逆， 由知，可逆，且；由知，可逆，且； 由知，可逆，且；因此，可逆，并且其逆阵为.线性代数模拟试题（十）一、选择题（每小题4分，共20分）1. 如果行列式，则（ ）. （A）可能为1 （B）不可能为1 （C）必为1 （D）不可能为22设是阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，则（ ）.

38、 （A） （B） （C） （D）3. 设均为维向量，则下面结论正确的是（ ）. （A）如果，则线性相关 （B）若线性相关，则对任意一组不全为零的数，有 （C）若对任意一组不全为零的数，有，则 线性无关 （D）如果，则 线性无关4. 已知，为3阶非零矩阵，且满足，则（ ）.（A）时的秩必为1 （B）时的秩必为2（C）时的秩必为1 （D）时的秩必为25. 设可逆矩阵有一个特征值为2，则有一个特征值为（ ）. （A） （B） （C） （D） 二、填空题（每小题4分，共28分）1. 行列式 .2. 设，则 .3. 设，则 .4. 已知向量组，线性相关，则 .5. 向量组，的一个最大无关组为 .6. 如

39、果线性方程组有解，则常数满足条件 .7. 二次型的秩为 ，正惯性指数为 .三、计算题（10+10+10+12=40分）1. 设矩阵，满足，其中，求.2. 已知,与,为向量空间的两组基，求由到的过渡矩阵.3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，为它的三个解向量，且，,求该方程组的通解.4. 设矩阵，已知线性方程组有解但不唯一，（1）求的值，（2）求正交矩阵，使得使得，其中为对角矩阵.四、证明题（5+5=10分）1. 设，为阶方阵，证明.2. 设，都是为阶方阵，证明与有相同的特征值.线性代数模拟试题（十）参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）1. A 2. A 3. C 4. C 5.

40、 D二、填空题（每小题4分，共28分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ； 2三、计算题（10+10+10+12=42分）1. 解：,，即，即， 因为，所以,所以.2. 解：设由到的过渡矩阵为，则，所以，因此.3. 解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为 其中为任意常数.， 因此，方程组的通解为 .4. 解：(1) ，当线性方程组有解但不唯一，有，所以.（2）当时，的特征多项式，的特征值为 ，当时，由得所对应的线性无关的单位特征向量为，当时,由得所对应的线性无关的单位特征向量为， 当时，由得所对应的线性无关的单位特征向量为，令，即为所求的正交矩阵，且有.四、证明题（5+5=10分）1证： 因为，所以，从而有.2证：设数是矩阵的特征值，则必存在非零向量，使得，两边左乘，得，若，因为，所以，否则的话，由知，这是不可能的，由此可知也是的特征值，对应的特征向量为；若，则，故是不可逆矩阵，于是，因此也为的特征值.以上证明了的任一特征值是的特征值，类似可证的任一特征值也是的特征值，故与有相同的特征值.线性代数模拟试题（十一）一、单项选择题（每题4分，共24分）1设是阶方阵, 且, 则( ).(A) 或 (B) (C) (D) .2. 设为阶矩阵，且，则( ).(A) (B) (C) (D) 43. 设,是齐次线性方