材料力学(机械工业出版社)知识小结：第七章 应力状态与应变状态分析

1、第七章应力状态与应变状态分析7应力状态的概念一、一点的应力状态：过受力构件内一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态二、为什么要研究应力状态？三、怎样研究应力状态单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、每个平面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。四、普遍状态下的应力表示（图略6）五、剪应力互等定理过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。六、原始单元体（已知单元体）：七、主单元体、主平面、主应力1、主单元体：各侧面上剪应力均为零的单元体

2、。2、主平面：剪应力为零的截面。3、主应力：主平面上的正应力。4、主应力排列规定：按代数值大小，5、三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。6、二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。7、单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。72平面应力状态分析解析法一、任意斜截面上的应力规定：1、sa截面外法线同向为正；2、ta绕研究对象顺时针转为正；3、a逆时针为正。二、极值应力73平面应力状态分析图解法一、应力圆对上述方程消去参数（2a），得：，此方程曲线为圆应力圆二、应力圆的画法1、建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）2、在坐标系内画出点A(sx，txy)和B(sy，tyx)3、AB

3、与sa轴的交点C便是圆心4、以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆三、单元体与应力圆的对应关系1、a面上的应力(sa，ta)应力圆上一点(sa，ta)2、a面的法线应力圆的半径3、两面夹角a两半径夹角2a；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx ,txy)B(sy ,tyx)x2a12a0s1s2s3例8求图示单元体的主应力及主平面的位置。解法1图解法：1、主应力坐标系如图2、在坐标系内画出点3、AB的垂直平分线与sa轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆解法2解析法（略35）74梁的主应力及其主应力迹线已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上

4、各点主应力大小及主平面位置。单元体：，主应力迹线：主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。xy11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bcd75三向应力状态研究应力圆法1、空间应力状态2、三向应力分析a.弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。b.整个单元体内的最大剪应力为：76平面内的应变分析一、位移与应变分量（自：略47，很复杂，而且没什么用）二、任意方向应变公式（自：略49，很复杂，而且没什么用）坐标变换公式（自：略50）二、应变分析图解法应变

5、圆1、应变圆与应力圆的类比关系：2、已知一点A的应变（），画应变圆a.建立应变坐标系如图b.在坐标系内画出点A(ex，gxy/2) B(ey，-gyx/2)c.AB与ea轴的交点C便是圆心d.以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆三、a方向上的应变与应变圆的对应关系1、a方向上的应变(e a，g a/2)应变圆上一点(ea，g a/2)2、a方向线应变圆的半径3、两方向间夹角a 两半径夹角2a ；且转向一致。四、主应变数值及其方位，五、应变分析与应变测量测得一点在某一平面内的a1、a2、a3方向上的线应变分别为ea1、ea2、ea3，可求该面内的主应变。i=1,2,3这三个方程求出 e x，e y，g x y；然后再求主应变。77复杂应力状态下的应力-应变关系（广义虎克定律）一、单拉下的应力