西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 一维离散型随机变量

1、二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入随机变量随机变量三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、分布函数的性质四、分布函数的性质 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念就建

2、立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的引入一、随机变量的引入2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eR10即有即有 (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色红色eee (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例1 考察考察“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 则则

3、 的取值范围为的取值范围为.)(),(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eeSeSeeSE二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,

4、由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围

5、更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例2 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(e)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1e1)(2e

6、即即 (e) 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 则则,)(射中目标的次数射中目标的次数e是一个随机变量是一个随机变量.且且 (e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, , 3, 2, 1, 0实例实例4 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所需射击次数所需射击次数e是一个随机变量是一个随机变量.且且 (e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.

7、, 3, 2, 1实例实例5 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此人的等车时间此人的等车时间e是一个随机变量是一个随机变量.且且 (e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 0实例实例7 随机变量随机变量 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例8 随机变量随机变量 为为“射击时偏离靶心的距离射击时偏离靶心的距离”.则则的取值范围为的取值范围为 0, +) .3.随机变量的分类随机变量的分

8、类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数1.概念的概念的引入引入21xxP 12xPxP )(2xF)(1xF21xxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?例如例如.),内的概率内的概率落在区间落在区间求随机变量求随机变量21xx

9、 2.分布函数的定义分布函数的定义说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义 xPxFx .)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF例例1 1 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.例例2 2 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间0,1)上的诸值。旋转该陀螺记停下时圆周上触

10、及上的诸值。旋转该陀螺记停下时圆周上触及桌面的点刻度为桌面的点刻度为，求其分布函数。，求其分布函数。);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 四、分布函数的性质四、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处左连续左连续.重要公式重要公式),()()(aFbFbaP 1).()(aFaP 12 一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结离散型随机变量及其分

11、布律离散型随机变量及其分布律说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp.,),(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量 2121 kpxPxkxkkkk一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxx2121 kpnxxx21nppp21.),(,.的的分分布布律律求求相相互互独独立立的的设设各各组组信信号号灯灯的的工工作作是是号号

12、灯灯的的组组数数它它已已通通过过的的信信表表示示汽汽车车首首次次停停下下时时以以车车通通过过的的概概率率允允许许或或禁禁止止汽汽每每组组信信号号灯灯以以组组信信号号灯灯的的道道路路上上需需经经过过四四设设一一汽汽车车在在开开往往目目的的地地 21,例例1 kp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为 kp0p 11p则称则称 服从服从 (01) 分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 实例实例1

13、 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 服从服从 (01) 分布分布., 1)(e , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 e kp012121其分布律为其分布律为2.等可能等可能分布分布如果随机变量如果随机变量 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 , kp161234566161616161则有则有 ., )(),(服从等可能分布服从等可能分布则称则称其中其中 jiaaji kpnaaa21nnn111将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不

14、影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1) 重复独立试验重复独立试验3.二项分布二项分布(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验伯努利资料伯努利资料. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复

15、地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.nknknnkpqpknpqnqpnk 1110 称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnB 二项分布二项分布1 n两点分布两点分布(3) 二项概率公式二项概率公式例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率

16、为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 服从服从 B(5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0 kp012345.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击1012 PPP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例14. 泊松分布泊松分布 ).(,!, P.0210e210记为记为布布的泊松分的泊

17、松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 kkkPk泊松资料泊松资料泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 电话呼唤次数电话呼唤

18、次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数上面我们提到上面我们提到二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 P1012 PPP),.,(000101000B 例例2 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽

19、车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?5. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 服从服从几何分布几何分布., 1, qp kpk21pqppqk 1 说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “ “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.三、小结三、小结2. 随机变量的分类随机变量的分类: 离散型离散型、连续型连续型.1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的，因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象， 就就需将随机事件数量化需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机把一些非数量表示的随机事件用数字表示时事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念 因此因此随机变量是定义在样本空间上的一种特随机变量是定义在样本空间上的一