西安交大西工大 考研备考期末复习工程数学复变函数共形映射

1、复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）第六章第六章 共共 形形 映映 射射1 1 共形映射概念共形映射概念2 2 分式线性映射分式线性映射复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）G G* *复变函数及其导数的概念复变函数及其导数的概念1.1.复变函数的定义：复变函数的定义：2.2.复变函数的几何意义复变函数的几何意义映射映射f:Gf:GG G* *定义定义若对若对z平面上点集平面上点集D内每一点内每一点z,按照某一法则按照某一法则,有有w平面上确定的复数平面上确定的复数w与之对应与之对应,则称这种对应关系是则称这种对应关系是z的的复变函数复变函数，记作，记作w=f (z)；称；称w是

2、是z在函数在函数f 下的像。下的像。ox xy y( (z z) )G Gouv(w)G Gw=fw=f( (z z) )z zw=fw=f( (z z) )w w复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）3.复变函数复变函数w=f(z)在在z0点处的导数：点处的导数：000000)()(lim)()(lim)(00zzzfzfzzfzzfdzdzfzzzzz,)()(00zfArgzf问题问题：解析函数：解析函数w=f(z)构成的映射有何特性？重要性及构成的映射有何特性？重要性及应用如何？应用如何？结论结论：解析函数：解析函数w=f(z)构成的映射具有共形性（即共形映构成的映射具有共形性（

3、即共形映射）；应用共形映射成功地解决了流体力学、弹性力学、射）；应用共形映射成功地解决了流体力学、弹性力学、电学理论、同轴测量线的设计问题、电学理论、同轴测量线的设计问题、3D模型变形、脑体模型变形、脑体映射以及其他方面的许多实际问题。映射以及其他方面的许多实际问题。复变函数及其导数的概念复变函数及其导数的概念复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）,)(: ttzzC.移移动动的的方方向向增增大大时时点点它它的的正正向向取取zt1. 1. 曲线的切线曲线的切线.)()(000方方向向相相同同与与向向量量则则割割线线的的方方向向向向量量ttzttzpp ，的的参参数数分分别别为为对对应应取

4、取若若ttPPCPPttz,),(, 0)( 00000 设连续曲线设连续曲线)(tzz :C oxy(z)0PP方方向向。增增大大的的对对应应于于参参数数割割线线tpp01 1 共形映射概念共形映射概念复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二） T)(tzz :C oxy(z)0PP的的极极限限位位置置：割割线线方方向向pp0ttzttztzt )()(lim)( 0000.0正正向向一一致致处处的的切切向向量量且且方方向向与与在在曲曲线线CpC.)( ,),(, 0)( 0000就就是是切切向向量量有有切切线线在在则则曲曲线线若若tzzCttz复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）

5、A .)( )1(00方向之间的夹角方向之间的夹角轴轴正向与正向与处切线的处切线的点点曲线曲线正正在在xzCtArgz 之间的夹角.之间的夹角.就是它们的两条切线就是它们的两条切线两曲线正向之间的夹角两曲线正向之间的夹角交点处交点处若曲线若曲线向向正正在在,)2(021zCC相交于点相交于点与曲线与曲线:2C)(2tzz )(1tzz :1Coxy(z)0z 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）2. 2. 解析函数解析函数导数的几何意义导数的几何意义( (辐角和模辐角和模) ), 0)( ,)(00 zfDzDzfw且且内内解解析析在在区区域域设设,)(:0 ttzzCzD引引一一条条

6、有有向向光光滑滑曲曲线线内内过过在在.)(00增增大大方方向向的的曲曲线线，正正向向取取过过点点tzfw )(),(000tzzt 取取0)( 0 tz则则)(:)(:)(tzfwwtzzCzzfw 平平面面上上平平面面上上复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）)(tzz :Co(z)xyov(w)u)(tzfw : )(zfw T T0z0w复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）.,)(,0 记记作作的的转转动动角角在在点点经经映映射射原原曲曲线线间间的的夹夹角角为为正正向向之之线线的的切切线线正正向向与与映映射射后后曲曲称称曲曲线线轴轴的的正正向向相相同同轴轴与与轴轴和和轴轴与

7、与若若视视zzfwCCvyux )( )( )( 000tArgztArgwzArgf 即即 Tu xT 0z0w 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）则则有有关关及及点点仅仅与与映映射射式式由由,)()1(0zzfw 的的几几何何意意义义( (1 1) )导导数数幅幅角角Argf(z).)()0)( )( 000的转动角的转动角映射后在点映射后在点经过经过是曲线是曲线zzfwCzfzArgf .,动角的不变性动角的不变性转转这种性质称为映射具有这种性质称为映射具有与方向无关与方向无关的形状的形状的大小及方向与曲线的大小及方向与曲线转动角转动角C 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学

8、（二）2 .,),2 , 1()()()2 , 1(,)2 , 1(21000 的的夹夹角角为为的的曲曲线线下下映映射射为为相相交交于于点点在在变变换换的的夹夹角角为为在在点点设设izfwzfwiCziCiii oxy(z)1C2C1 0z)(zfw 12 2 1 1 2 ovu(w)0w1212)2 , 1()1( iii有有，由由式式 保角性保角性12 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）由上述讨论我们有由上述讨论我们有 不不变变的的性性质质线线间间夹夹角角的的大大小小与与方方向向这这种种映映射射具具有有保保持持两两曲曲保角性保角性),(),(,2121210)(210 CCwCC

9、zzfw的的过过的的过过的的几几何何意意义义( (2 2) )模模f(z).;,0000之之间间的的弧弧长长与与上上的的对对应应点点表表示示之之间间的的一一段段弧弧长长与与上上的的点点表表示示用用且且设设wwzzCsewwwrezzzii 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）的的在在称称之之为为曲曲线线00)( zCzf .伸缩率伸缩率Co(z)xyov(w)u )(zfw 0z0wzz ww s iiierreezz00iersssersszfzzizz00limlim0复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二） 均均不不变变处处点点在在同同一一时时沿沿任任何何曲曲线线作作映映射射

10、的的形形状状方方向向无无关关而而与与曲曲线线有有关关及及与与映映射射易易见见)( ,)()( ,0000zfAzfzzfwzf.伸伸缩缩率率不不变变性性结论：结论：一个解析函数当其导数不为一个解析函数当其导数不为0时时,具有转动角不变具有转动角不变性和伸缩率不变性。例如性和伸缩率不变性。例如w=z2在在z=0处不具有上述特性处不具有上述特性.复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）解解iifzfzzf4)221()(12)(0 2)4()(0 iArgzfArg转动角转动角伸缩率伸缩率44)(0 izf417221)221(202 iiwzzw映射后切线方程为映射后切线方程为iuuw)16

11、1741(iz2210 zzwoz200正正向向切切线线方方向向平平行行于于过过z z例例1 1 求函数求函数w=f(z)=zw=f(z)=z2 2+z+z对应的映射在点对应的映射在点iz2210动角和伸缩率。此映射将过点动角和伸缩率。此映射将过点z z0 0的平行于向量的平行于向量 正方正方向的切线方向变成向的切线方向变成w w平面上那一条切线方向？平面上那一条切线方向？0oz处的转处的转后后的的切切线线方方向向正正向向逆逆时时针针旋旋转转并并由由过过200 ozw w)417(41uv zzwozTzkk2004410Twk2x xy yu uv vz z0 0w w0 0T TT T1

12、1(z)(z) (w)(w)复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）解解11)(sincos11cieceeeeewttictticiiz 例例2 2 试证明试证明w=ew=eiziz将互相正交的直线族将互相正交的直线族Rez=cRez=c1 1与与Imz=cImz=c2 2依依次变为互相正交的直线族次变为互相正交的直线族v=utancv=utanc1 1和圆周族和圆周族2222cevuictzcz22Im ticzcz 11Re1tancuv )sin(cos222)(titeeeeewcitcictiiz 2222cevu 而而w=ew=eiziz在复平面解析，且在复平面解析，且0 i

13、ziedzdw故故w=ew=eiziz具有保角性，具有保角性， 互相正交的直线族互相正交的直线族Rez=cRez=c1 1与与Imz=cImz=c2 2互相正交的直线族互相正交的直线族v=utancv=utanc1 1和圆周族和圆周族2222cevu 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）3. 3. 共形映射的概念共形映射的概念.)()(内内是是共共形形映映射射在在区区域域则则称称内内每每一一点点都都是是共共形形的的，在在若若DzfwDzfw 定义定义 设函数设函数w=f(z)w=f(z)构成的在构成的在z z0 0的邻域内是的邻域内是一一映射一一映射，在在z z0 0具有具有保角性保角

14、性和和伸缩率不变性伸缩率不变性，则称映射，则称映射w=f(z)w=f(z)在在z z0 0是是共形映射共形映射。为为伸伸缩缩率率。为为转转动动角角且且映映射射，保保角角是是共共形形点点解解析析且且在在若若)( ,)( )()(,0)( )(0000zfzArgfzfwzfzzfw 定理定理复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）解解例例3 3 讨论解析函数讨论解析函数f(z)=z,f(z)=az+b,f(z)=z,f(z)=az+b,和和f(z)=ef(z)=ez z的共形性。的共形性。01)()() 1 ( zfzzff(z)=ef(z)=ez z是周期函数，在是周期函数，在y y 00

15、，2 2 ）的带形域内是一）的带形域内是一一的，因而是共形的。一的，因而是共形的。且且f(z)=zf(z)=z是一一的，故是一一的，故f(z)=zf(z)=z在在z z平面上是共形的。平面上是共形的。azfbazzf )()()2(当当a a 0 0时时, ,f(z)=az+bf(z)=az+b是一一的是一一的, ,在在z z平面上是共形的。平面上是共形的。0)()() 3(zzezfezf处的转动角与伸缩率处的转动角与伸缩率在在求求练习：练习：izz3.性性与与伸伸缩缩率率不不变变性性吗吗？在在平平面面上上处处处处具具有有保保角角3z复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二） 注：共形映射

16、的分类注：共形映射的分类 （1 1）第一共形映射：要求映射保持伸缩率不变，且）第一共形映射：要求映射保持伸缩率不变，且曲线间夹角的大小和方向都不变，曲线间夹角的大小和方向都不变，z z0 0 l l1 1l l2 2w w0 0 1l2l )(zfw （2 2）第二共形映射：要求映射保持伸缩率不变，曲）第二共形映射：要求映射保持伸缩率不变，曲线间夹角的大小不变，但方向相反。线间夹角的大小不变，但方向相反。 ,2211llllzw 是关于实轴的对是关于实轴的对称映射，它把从称映射，它把从z z出发夹角为出发夹角为 两两条曲线映射成夹条曲线映射成夹角为角为- - 的两条曲的两条曲线，是线，是第二共

17、形第二共形映射映射是是第二共形映射第二共形映射复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）2 2 分式线性映射分式线性映射1. 1. 分式线性映射的定义分式线性映射的定义定义定义.,是是复复常常数数其其中中称称为为分分式式线线性性映映射射dcba)1()0( bcaddczbazw映射映射A 。是是必必要要的的0 bcad).(0常数常数复复否则否则cww 2)()1(dczbcadw (2)分式线性映射又称为双线性映射（也称为莫比乌斯分式线性映射又称为双线性映射（也称为莫比乌斯（德国，（德国，1790-1868）映射）；）映射）； 事实上，对固定事实上，对固定w,上式关于上式关于z是线性的，

18、对固定是线性的，对固定z，上式关于上式关于w也是线性的；也是线性的； 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）为双线性映射.为双线性映射.故又称故又称, ,逆映射仍为分式线性的逆映射仍为分式线性的则,则,dczbazwbcadacwbdwzdczbazw 0)()3(4)两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射：两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射：dczbazwzzw 1111, )0)(1111 bcad复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）分式线性映射分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三种特殊映射的复合：映射的复合：zwiiiaazwiibzwi

19、1)()0()()( 称为：称为：平移整线性反演平移整线性反演复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）bzwi )(.21是是一一个个平平移移映映射射故故bzwbyvbxu azwii )(.,)(射射是是旋旋转转和和伸伸缩缩合合成成的的映映倍倍后后就就得得或或缩缩短短伸伸长长再再将将先先转转一一个个角角度度把把azwwazz 21ibbbiyxzivuw 设设)(, iiierwearez则则设设o o(z)(z) (w)(w)z zw wb bo o(z)(z) (w)(w)z zw wrr 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）见见图图）关关于于圆圆的的对对称称点点名名词词介介

20、绍绍(:.,2对对称称于于圆圆周周关关与与则则称称满满足足若若在在半半直直线线上上有有两两点点rzppropoppp定义定义roxyPPA 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心o?呢呢的的对对称称点点找找到到关关于于圆圆周周如如何何由由przp ., , ,即即互互为为对对称称点点与与那那么么交交于于与与的的垂垂线线作作由由连连接接切切线线作作圆圆周周的的从从在在圆圆外外设设pppopTpopToppTppoPTP复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）zwiii1)( 11,1wwzw 令令;, 1111在在同同一一射射线线上上与与wzrrwz ).()2.1)111见图

21、见图关于实轴对称的点即得关于实轴对称的点即得作出点作出点的对称点的对称点关于圆周关于圆周作出点作出点wwwzz 1ox,uy,v1wzw的几何作图的几何作图zw1 .1,1对称对称关于关于 zwz复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）1. 1. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质.,性性质质出出一一般般分分式式线线性性映映射射的的从从而而得得射射的的性性质质先先讨讨论论以以上上三三种种特特殊殊映映保角性保角性)1(定理定理1.,且具有保角性且具有保角性对应的对应的平面上是一一平面上是一一分式线性映射在扩充复分式线性映射在扩充复复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）保保圆圆性性)2

22、(LwlzwCzbazwbazwbazw平平面面上上的的直直线线平平面面上上的的直直线线平平面面上上的的圆圆周周平平面面上上的的圆圆周周伸伸缩缩的的合合成成映映射射旋旋转转是是平平移移 .,.,即即具具有有保保圆圆性性圆圆周周映映射射成成在在扩扩充充复复平平面面上上把把圆圆周周那那么么穷穷大大的的圆圆周周若若把把直直线线看看作作是是半半径径无无bazw 复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）0,0,1)(/1/1 zwzwzzzwiii对对于于0)(:0)(:22221 acvbuvuddcybxyxaCzw 直直线线直直线线圆圆周周直直线线直直线线圆圆周周圆圆周周圆圆周周 CdaCdaCdaCda0, 0