西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第四部 分向量组的线性相关性(带答案)

1、第四章 向量组的线性相关性基础练习一 填空1若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 答案：线性无关2设非齐次线性方程组的两个解为的秩为，则的一般解 .答案：3已知向量组的秩为2,则 答案：34设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关.则秩 答案：n5设都是4维列向量,且4阶行列式，则4阶行列式_答案：n-m6 已知线性相关,不能由线性表示则线性 _答案：相关7设线性相关, 线性无关,则线性_.答案：相关8设线性相关,则满足关系式_答案：9设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量,则的一个基础解系为_.答案：10设，已知向量与线性相关，则 。答案：-111已知为阶方阵，是的列向量组，行

2、列式，其伴随矩阵，则齐次线性方程组的通解为 。答案：是的极大线性无关组；12已知4阶矩阵的秩 ，则齐次线性方程组的基础解系含 个线性无关的解向量。答案：313向量 。答案： 二 选择题1设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。答案：B2 设,是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列向量组中不再是的基础解系的为_(A) ,+,+,+；(B) +,+,+,-；(C) +,-,+,+；(D) +,+,+,+。答案：D3设向量组是向量组的线性无关的部分向量组，

3、则_ (A) 向量组是的极大线性无关组(B) 向量组与的秩相等(C) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价(D) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价答案：D4已知解向量组是齐次线性方程组的基础解系，以下解向量组中，也是的基础解系的是 ； ； ； 答案：C5 向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。答案：B6设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是 A. L； B. L；C. L； D. L。答案：A7设为维列向量组

4、，矩阵，下列选项中正确的是 A. 若线性相关，则线性无关；B. 若线性相关，则线性相关；C. 若线性无关，则线性无关；D. 若线性无关，则线性相关。答案：C8已知向量组 （ ）。A、-1 B、-2 C、0 D、1答案：C9向量组（ ）A、 B、中有两个向量的对应分量成比例C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示答案：D10向量组可由线性表出，且线性无关，则s与t的关系为 A、s=t B、s>t C、s<t D、st答案：D11设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（ ）（A）A的列向量线性无关；（B）A的

5、列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关。答案：A 三 计算题1 设向量组A:，求向量组A的秩及一个最大无关组.答案：令，则因而，构成一个极大无关组，且2设中的两组基为:其中 求基到基的过渡矩阵答案：3设的基为 ， 。(1) 试由构造的一个标准正交基 ；(2) 求由基 的过渡矩阵；(3) 已知向量，求向量在基下的坐标。答案：(1),，(2) ，(3) 。 4设线性空间中的向量组为=，=，=，=，=，=（1）求由,生成的子空间L(,)的维数与一个基；（2）从,中选出属于L(,)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。答案：(,) （1） dim L(,)=2； ,

6、可作为其中一个基 （2）(,)，+；(,)5设已知非齐次线性方程组 的三个解为， ， ，求：(1) 齐次线性方程组的通解；(2) 非齐次线性方程组的通解答案：由题设知 ， 是 两个线性无关的解，因此 因此可得方程组的通解为=，为任意常数6设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。答案：(1)；(2)；(3), A。四 证明题1设且线性无关, 证明:线性无关. 答案：令由 以及线性无关得线性无关。2设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.答案：3设1 ,2 , ,n ,n+1线性相关，而其中任意 n个向量均

7、线性无关， 证明:必存在（n+1）个全不为零的数k1 ,k2 , kn ,kn+1使得k11 + k22 + + knn + kn+1n+1 = 0答案：4设向量组线性无关，且可由向量组线性表示。证明：(1) 向量组线性无关；(2) 向量组与等价；(3) 向量组中存在某个向量，使得向量组线性无关。答案：(1) ，故， (2) ，且可由线性表示,故向量组与等价 （3）若不，则对任意， 线性相关，线性无关,故由线性表示，矛盾。5设 是欧氏空间的标准正交基,证明:也是的标准正交基。答案：证：因为所以是V的标准正交基。6已知向量组且证明：向量组与向量组有相同的秩。答案：记矩阵则可得于是存在，得因而两向

8、量组可互相线性表示，即它们等价.故两向量组有相同的秩.7设是三个维向量，又,，证明：线性无关的充分必要条件是线性无关。答案：因为,，故两向量组与等价，因而同秩，故线性无关当且仅当线性无关。自测题一、 填空题1和是的两组基，且，若由基到基的基变换公式为()=()A，则A= 答案：2 设向量组线性无关，则必满足关系式 答案：3已知向量组的秩为2，则 答案：34从的基到基的过渡矩阵为 答案：5已知向量与向量正交，则 答案：-2二、 选择题1若向量组线性无关，则向量组线性无关的充分必要条件是（ ）（A）向量组可由向量组线性表示；（B）向量组可由向量组线性表示；（C）向量组与向量组等价；（D）向量组与向

9、量组的秩相等答案：D2设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）答案：C3设向量组线性无关，向量可由线性表示，而不能由线性表示，则对任意常数，必有（ ）（A）线性无关；（B）线性相关；（C）线性无关；（C）线性相关答案：A4设，则（ ）时，可由线性表示（A）(2，0，0) （B）（-3，0，4）（C）（1，1，0） （D）（0，-1，0）答案：B5设，则向量组的秩是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3答案：C 三、 计算题1设向量组 求向量组的秩及其一个极大无关组.答案：2设向量组 确定的值,使向量组的秩为2,并求一个极大线性无关组.答案：令，则对其

10、进行行的初等变换有，由得，其中一个极大无关组为：3已知和是线性空间的两组基,其中 1. 求由基到基的过渡矩阵A.2. 设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标.答案：4设的两个基，；， （1） 求由基 的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐标；(3) 求在基下有相同坐标的所有向量。答案：(1) 设, (2) ，坐标 （3） 设 则 解得，故。5设，已知存在实矩阵，使。（1）求常数；（2）问满足的所有实矩阵是否构成的子空间？若是，写出它的一个基。若不是，请说明理由。答案：（1）；（2）是子空间，基为，基为。6给定向量组。当为何值时，向量组线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表示。答案：由向量组为列向量组作矩阵当时，向量组线性相关。向量组的极大线性无关组是且答案：四、 证明题1设向量线性无关,且证明向量组线性无关. 答案：2设 是齐次线性方程组 的基础解系，向量满足，证明：向量组 线性无关。答案：作矩阵，A的第1至第列均减去第+1列，得B=易知B的列向量组线性无关，