西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数复习

1、线性代数复习一、矩阵(向量)的运算及性质1 数组的矩阵表示：若有线性变换T：，记称为维列向量或的列矩阵，称为维列向量或的列矩阵，称为的矩阵，则有，或。（一一对应） 特别地，若有，和都为n维列向量，这里，称为阶对角阵，。若，记称为阶单位阵。，称为恒等变换。2矩阵的向量表示：设，记，则的一种分块矩阵，是的个维列向量组，于是称向量是的线性组合。记，则，是的个维行向量组，于是，。（一般地，把行向量写成列向量的 转置）是的两种特殊形式的分块矩阵。3 矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算：加减：若，则，两矩阵相加减必须具有相同行和列。数乘：，矩阵数乘必须每一个元素都数乘。乘积：若，能相乘必须要求的列数的行数

2、。此时，其中，在相乘条件下有分配律：，结合律：，一般说来，即交换律不一定成立。但是，若为阶方阵，为正整数，称是的次幂阵，于是有，。若称为次幂零阵。 若，则阶方阵，由此，若至少有一个为非零，则。 ，一阶方阵为一数，称数是向量的内积（或数量积），线性代数中记为，高数中记为。此时，由乘积结合律。4 转置运算：设，则称，为的转置矩阵，中第行第列元素恰为的第列第行元素。运算规律：，。5 分块矩阵的线性运算，乘积运算和矩阵类似：设，此时，这是的一种分块，是的列向量组。又，这是的另一种分块，是的行向量组。若，则。由矩阵的分块运算，若是同维向量组(分量个数相同)，则的一个线性组合为：，为列向量组；，为行向量组

3、。例：设，求。解：，于是，。类似地，。，这里。二初等变换和初等方阵1 初等行(或列)变换：记(或)交换第行(或列)和第行(或列)对应元素。(或)第行(或列)对应元素乘倍。(或)第行(或列)上元素的倍加到第行(或列)上的对应元素。2 初等方阵：对阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。，。 初等方阵，都是可逆阵。并且，。 对施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在的左方(或右方)乘上一个相应的阶(或阶)初等方阵，即，(行变换左乘初等方阵，列变换右乘初等方阵)。例1：求，使。解：由于，；又，。于是，。例2：选择题，设，则有（ ）。（A），（B），（C），（D）。解：由，故选（C）。三利

4、用行列式的性质计算低阶和阶行列式的值1 行列式的初等变换性质（以行变换为例）：，是作后的行列式；，是作后的行列式；，是作后的行列式。推论：，其中，行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的。若行列式的二行(或二列)对应元素成比例，则。2 ，而，即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的，此时，。3 方阵的行列式性质： ，； ； 若，则，但是不一定等于。4 行列式的Laplace展开法则：设，则，其中是的代数余子式。5 范德蒙行列式：，共有个因子。例：。6. 对角阵和反块对角阵的行列式： 若，则；若，。若为方阵，则。7 阶行列式计算技巧： 利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算。

5、例 求，各行元素之和为常数。解：。例 求第3行(或列)元素都为3。解：。例 求，即求阶对称行列式之值。解：由于的第一行和第行对应元素相加后，每一个元素都为，故，又第二行到第行中相邻二项之差为，故。例 求实对称阵的特征根。解：，由于的每一行元素之和都为，故。，为实对称阵的所有特征根。例5：设，求的根。解：。例6：求。解：。例7：求。解： 某行(或列)有很多零的Laplace展开。例 求。解：按第一行展开：，按第一列展开：。例 求。解：，其中，于是。 建立递推公式和利用数学归纳法计算：例 求。解：按第一行。，设，则。例 设，求。解：由行列式的加法，。，设，则。四求逆阵的四种方法：设，1 若，则或。

6、2 求伴随矩阵，其中，是的代数余子式。于是，对于所有方阵，都有。此时，若，则方阵为可逆阵，且。若，则方阵为不可逆阵或奇异阵。特别地，当时，则为可逆阵，且。例：解矩阵方程。解：，则；，则。于是。3 利用初等行变换或初等列变换：，若解，为可逆阵，则，若解，为可逆阵，则，。4 分块对角方阵的逆阵：若,都是方阵，则可逆都是可逆阵，并且，。例 试证可逆，并求。证：，为可逆阵。,，。例 设，其中，求，。解：，为可逆阵。，。例 设三阶方阵满足，求。解：，。例 设为可逆阵，是的伴随阵， 试证：；。证：，可逆，又，。 由，故。 由，故；又，故。例5：设为阶方阵，求。解：由，故五、可逆阵的性质及判断1 性质：下列

7、条件等价： 阶方阵为可逆阵。 为可逆阵， 为可逆阵，； 时，为可逆阵，； 当为阶可逆阵时，为可逆阵，并且； 为可逆阵，并且。2 判断阶方阵为可逆阵的方法，下面条件是等价的： 为可逆阵，即，为阶方阵，使； ，即为非奇异阵(为奇异阵或为不可逆阵)，且； ，即为满秩阵(为降秩阵)； 的行向量组(或列向量组)是一组线性无关向量组； 的行向量组(或列向量组)是维向量空间中的一组基； 只有零解(无非零解)； 可以表示成有限个初等方阵的乘积； 和等价，即阶非奇异阵，使。例设阶方阵满足，试证：，为整数）都为可逆阵。证：由，于是可逆，。由，于是可逆，。由，为整数，为整数）为可逆阵，。例 设，是维非零列向量，是的

8、转置，证明： ， 当时，是不可逆阵。证：，。 若，则，为非零列向量， 设不全为零，则矩阵，数。若，则，即。当时，。若为可逆阵，则，又，故矩阵，为维零列向量，矛盾。是不可逆阵。例3：设，矩阵满足，是的伴随阵，求矩阵。解：，为可逆阵， ，。六、判断向量组线性相关性的方法1 定义：注：对“”(任意给定的意思)，“”(存在或找到的意思)应有深刻理解若不全为0（即），使，则称向量组是线性相关的。否则，即不全为0，使，则称向量组是线性无关的。因此，若有方程，能解出不全为0的，使上式成立，则线性相关，若上述方程只有零解，则是线性无关的。线性表示：若（不一定不全为0），使， 则称由线性表示。线性表示的矩阵表示

9、。若是中的一组基，则是基下的坐标若向量组由向量组线性表示，则矩阵，使或。2 若向量组是具体向量组，可把组成某一矩阵的列向量组，通过对矩阵的作初等行变换化为含有单位阵的等价矩阵，然后结合子式的值确定向量组的线性相关性（即求其秩，线性无关最大组，其它向量由最大的线性无关组线性表示。例：判断向量组，的线性相关性，求向量组的秩，并写出一个最大的线性无关组。解：。故，线性相关，为最大的线性无关组。例2：设，。求向量组的一个最大的线性无关组；并把其它向量由最大线性无关组线性表示。解：。 于是，线性相关，为向量组的一个最大的线性无关组； 。3 抽象向量组的线性相关性判断 若证明向量组是线性相关的，可直接用定

10、义来证明；若证明向量组是线性无关的，则一般用反证法。 用定理判断向量组的线性相关性。 定理1：（线性相关的向量组关于向量个数延拓性定理）若线性相关，则也线性相关。特别地，含有零向量的向量组必是线性相关向量组。 定理2：（线性无关的向量组关于分量个数延拓性定理）设，则当线性无关时，也线性无关。 定理3： 个维()的向量组(向量个数大于分量个数)必线性相关。 定理4：（向量组之间秩的比较基本定理）A) 设有两个向量组：，若向量组由线性表示，则。B) 等价向量组的秩是相等的。即若组由组线性表示，组由组线性表示，则称、两向量组是等价向量组，此时，。反之不然。即若，则、两向量组不一定是等价向量组。例如：

11、，；，。，但是，由于向量不能用向量表示，故、两向量组不等价。七、矩阵秩的计算方法1 若是具体矩阵， 可用子式的值判断：如果的一个阶子式，则，又包含的所有阶子式都为零，则。 可用初等变换结合子式的值来判断。2 若是抽象矩阵, 可利用行向量(或列向量)组的秩来讨论，即的行(或列)向量组的秩。 可利用解空间维数讨论，即解空间是维的向量空间。3 若，则阶非奇异阵和阶非奇异阵，使，即。4 ；若，则。例 设是一组维向量，证明：它们线性无关任一维向量都由它们线性表示。证：设是一组维线性无关向量组，为任一维向量，个维向量组必线性相关，线性相关，即不全为零，使。现，若不然，时，有。线性无关，矛盾。故，即任一维向

12、量可由线性表示。设任一维向量可由线性表示，都可由线性表示，而也由线性表示。，即个向量线性无关。例 设，且向量组线性无关，试证向量组也线性无关。证1： (用定义)反证法：设线性相关，则不全为0的，使，即，线性无关，满足线性方程组，于是，矛盾，线性无关。证2： (一般方法，用矩阵讨论)（分析：线性无关，由线性表示，只要证也由线性表示即可）。由线性表示，并且，则，显然，为可逆，即由线性表示。和两向量组等价，即线性无关。思考题：(结合例3)设向量组线性无关，试讨论线性相关性，并说明理由。例 设向量组B：能由向量组A：线性表示，于是存在，使，而线性无关，试证线性无关(即的行向量组线性无关)。证：反证法：

13、若，即的行向量组线性相关，则不全为0，使，于是，即也线性相关，矛盾。反证法：设线性相关，则不全为0的，使，于是，。设，线性无关，即，线性相关，矛盾。线性无关。(注：在定理条件下，当时，则线性无关可逆)例 设向量组A和向量组B的秩相等，且A能由B线性表示，则A、B两向量组等价。证：（只要证B由A线性表示即可），则A、B中分别有一个线性无关最大组，设；分别是A、B的一个线性无关最大组，显然A能由B线性表示时，由线性表示，于是，使，由例3注知，线性无关可逆，于是，即由线性表示，从而B由A线性表示，A、B两向量组等价。例 设A、B都为矩阵，证明。证：，阶非奇异阵，使，又，。，于是阶非奇异阵，阶非奇异阵

14、，使，。，都为可逆阵，。例 设，证明。证：，于是，的行向量组由的行向量组线性表示，。又，于是，的列向量组由的列向量组线性表示，。 证。证：设，作向量组，显然，而的列向量组由向量组线性表示，。例 若线性无关，而不能由线性表示， 试证，必线性无关。证：反证法：设，线性相关，则不全为0，有，现，若不然，则有，线性无关，矛盾。， 即由线性表示，矛盾。故，线性无关。思考题：在中，对、都不能表示它前面个向量的线性组合，试证线性无关。例 设，则有（ ）。（A），必有（B），必有（C），必有（D），必有解：设，则，而为阶矩阵，选。例9设向量组A：能由向量组B：线性表示，则有（ ）。 （A）时，B必线性相关（B

15、）时，B必线性相关 （C）时，A必线性相关（D）时，A必线性相关解：向量组A：能由向量组B：线性表示， ，若，向量组A：线性无关时，可以小于s；若时，向量组A必线性相关，选（D）。例10已知向量组：，和向量组：，具有相同秩，并且可由线性表示，求a，b之值。解：， ，是向量组的最大线性无关组，并且； ，；又可由线性表示，即可由线性表示，。八线性方程组解的结构：设，。1 齐次线性方程组解的结构：有非零解(为的列向量个数即未知数个数)，此时，的解集是一个维向量空间，即有个基础解(最大的线性无关解或基)。若是具体矩阵，此时必须把初等行变换到含有一个阶数等于的单位阵，从而由很容易写出的同解线性方程组来确

16、定个基础解。显然，当(方程个数小于未知数个数)，则必有非零解。只有零解。特别地，(阶方阵)，则只有零解，即，有非零解，即。 若是的解，则也是的解。例 解。解：，方程组必有非零解。 ， ，于是同解方程组为，基础解为：， ，是方程组通解。2 非齐次线性方程组解的结构： 有解，把利用初等行变换(不能列变换)结合子式来判断，并且此时必须把初等行变换到含有一个阶数为的单位阵，就可写出的同解方程组，进而确定的通解形式。例 为何值时，方程组有唯一解；无解；无穷多组解。有解时，试写出全部解。解：。 时，有唯一解。，。 时，无解。 时，有无穷多组解。，同解方程组为，通解。 当时，有唯一解。当时，有无穷多组解：通

17、解。其中是的通解，是的一个特解。 若是的两个特解，则是的解。 若，是的个线性无关特解，则，是的个线性无关基础解，从而+，（）是的通解。例 设，试证。 设，,，试证证：设，于是，即是齐次线性方程组的解向量，而的解空间是维向量空间。，。(注：熟知例3的证明思路及其结论)。 令， ，若，则线性相关，于是不全为0，使，即也线性相关，矛盾。故。现证。事实上，由上可知，。例 设阶方阵满足，试证。证：，由例3（1）知，又，。例 已知线性方程组：的一个基础解为。试写出线性方程组：的通解，并说明理由。解：，基础解的个数为。于是，即的行向量组线性无关。令，于是，线性无关，并且令时，有，又令，于是为，。又，是的线性

18、无关解，其个数恰为，从而为基础解。通解。例 设是阶方阵，正整数，有解向量，但，试证：线性无关。证：设线性相关，则不全为0的使。左乘，由，；，左乘，得，左乘，得，从而，矛盾。线性无关。例 设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关为（ ）（A）由线性表示；（B）由线性表示；（C）向量组和向量组等价；（D）矩阵和矩阵等价。解：（A）为充分条件；（B）既非充分又非必要；（C）也为充分条件，反例：，；（D）对。证：，从而。，。例 已知4阶方阵中线性无关，如果，求的通解。解：，求通解。，线性无关，通解。求的一个特解。满足上式。通解。例 设有，均为阶矩阵，现有4个命题：若的解均为的解，则；若，则的解均是的

19、解；若和同解，则；若，则和同解，以上正确的是（ ）：（A）、 （B）、 （C）、 （D）、解：对。，。对。由同解，解空间，。由，通解为；，通解为。 可知，不一定对。选（B）。例 已知是的一个基础解系，、为实数，试问、满足什么关系，也为的一个基础解系。解：， 当时，由线性表示， 线性无关，即为基础解。（1）当为偶数时，；（2）当为奇数时，。例 设是的一个基础解，是的一个特解。试证，线性无关。证：反证法(证明线性无关一般用反证法，切记)：设，线性相关，则不全为0，使，于是，。又为的一个基础解，即线性无关。，矛盾。，线性无关。思考题：向量是的一个基础解，向量不是的解， 试证：必线性无关。例 设是不可

20、逆的阶方阵，是的伴随阵，试证都是的解。证：，是不可逆的阶方阵，即都是的解。思考题：若，试证。例 向量能否表示成的线性组合。其中：，。解1：（一般方法）设有，使，即，有唯一解：，。解2：（特殊方法）对，线性无关，从而是四维向量空间中的一组基，于是任一四维向量都可用线性表示。（如何表示要用解1）3 线性方程组解的结构和平面直线关系： 在上表示一条直线，于是表示两条直线，：，若，则，平行或重合，（平行，重合），此时，无解，即； ，重合有无穷多解，且； ，相交，有唯一解，。对三条直线，（1）重合；（2）三条平行或两两相交；（3）交于一点。 在上表示一平面，于是，表示两平面，关系。 ，不重合；，重合；，

21、相交，此时有交线，是过，的直线，若有解，则，。 ，（1）三平面重合；（2）三平面交于一线；（3）三平面交与一点。例 设是满秩阵，则直线和直线（A）相交于一点；（B）重合；（C）平行但不重合；（D）异面。解：，。，共面，故、不平行，即直线，相交于一点。选（A）。例 已知平面上三条不同直线的方程分别为，试证这三条直线交与一点。证：、交与一点，、为三条不同直线，、不全相等，于是， ，。九、向量的内积、模、正交、正交规范基的定义及性质，向量空间中基的正交归范化1 向量的内积、模、正交的定义：以下向量都指维向量空间列向量。称数为向量，的内积，记为，。称为的模，记为，。 若，称两向量，正交。2 若一组非零

22、向量满足，则称为正交向量组。3 正交向量组必线性无关。4 若个向量是维向量空间中一组正交向量组，则称是的一组正交向量基。特别地，则称为的一组正交规范基。向量组是中的一组正交规范基。5 向量空间中基的正交规范化方法施密顿方法：若是中一组基，现以为例，把化为中一组正交规范基，令，使，使，则是中一组正交基，是中一组正交规范基。6 若线性空间中有两组基，如果，即，称矩阵是由基到基的过渡矩阵。显然为可逆阵。十、方阵的特征值及特征向量1 设，若（复数集）及非零列向量，使，称是方阵的特征值，是的对应于特征值的一个特征向量，特征值可以为复数，特征向量必为非零向量，即。2 方阵的不同特征值对应的特征向量必线性无

23、关。3 方阵的所有特征值由求得，阶方阵的特征多项式是的次多项式。4 方阵的关于特征值的对应特征向量是由解得的所有非零解。5 方阵的特征值的性质： 设的所有特征值为，则(的迹)；。 设是的多项式表达式，则当是的特征值时，是的特征值。例如，是的特征值；是的特征值。方阵至少有一个特征值为零；方阵所有特征值不为零；此时，当是可逆阵的特征值时，是的特征值；是伴随阵的特征值。例 求的所有特征值。解：，设是的任一特征值，则是的特征值，是的特征值，于是，或，又设的所有特征值为，则，于是只有一根为，其余个根全为0。例2设的伴随阵有一个特征值及相应特征向量，且，求，。解：，；,。十一、方阵相似概念，正交阵定义及性

24、质，实对称阵相似特点1 设有方阵，若可逆阵，使，则称方阵相似，称为相似矩阵，运算称为相似变换。2 相似阵的性质： 相似矩阵必为等阶矩阵，反之不然。 相似矩阵的特征多项式、特征值必相同，但是特征向量不一定相同。 阶方阵和对角阵相似有个线性无关特征向量。特别地，当有个互不相同的特征值时，必和对角阵相似。3 正交阵： 若阶方阵满足，即，则称为 正交阵。 下列条件等价： 为阶正交阵。 。 的行向量组(或列向量组)是中的正交规范基，即都是单位向量，且两两正交。 设是正交阵，则，。4 实对称阵：定义： 设，又，则称为实对称阵。性质： 实对称阵所有特征根为实数，从而特征向量也为实向量。 实对称阵不同的特征值

25、对应的特征向量互为正交。 若是实对称阵的重特征根，则，从而的解空间为维向量空间，即实对称阵关于重特征根恰有个线性无关的特征向量。 对阶实对称阵，必正交阵，使，是以的特征值为对角元素的对角阵，的列向量恰是对应对角元素特征值的正交规范化的特征向量，即，此时，。（计算实对称阵的的一种方法）例 设为阶矩阵，是的两个不同的特征值，是分别属于，的特征向量，试证不是的特征向量。证：反证法：设是的特征向量，则使，而，是的两个不同的特征值，对应的特征向量，必线性无关，从而，矛盾。故必不是的特征向量。例 已知和相似，求，求一个满足的可逆阵。解：，相似，比较的系数，。由于为对角阵，为对称阵，且，时，；时，；时，；，

26、可逆，并且有。例 设三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量依次为，又向量，（1）将用，线性表示；（2）求（为自然数）。解：（1），是不同特征值对应的特征向量，从而线性无关，于是为一组基，唯一，使，是的唯一解。，。（2）。例 设三阶实对称阵的特征值为，对应于的特征向量，求。解：对应于的线性无关特征向量，必和正交，是的线性无关解，又，正交，于是，。例 设，求的特征值和特征向量.。其中是的伴随阵，为三阶单位阵。解：，可逆，若的特征值为，则的特征值为，又，和的特征值相同，也为，从而的特征值为。，于是，（二重根）。的特征根，（二重根）。，令，。，为分别对应于特征值，（二重根）的特征向量.。例 设、同解方

27、阵，（1）如果、相似，试证、的特征多项式相等；（2）举一个两阶方阵例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当、均为实对称阵时，试证（1）的逆命题成立。证：（1）、相似，为可逆阵，有，即、的特征多项式相等。（2），但、不相似。反证法：若相似，为非奇异阵，有，矛盾，、不相似。（3）、的特征多项式相等，、的特征根相同，由于、为实对称阵，其特征根均为实数，设为，于是为正交阵，、相似。例 设矩阵，问为何值时，为奇异阵，使为对角阵，并写出和相应的对角阵。解：为非对称阵，和对角阵相似，有个线性无关特征向量，（二重根），。对应特征向量有两个线性无关解，即，当时，；时，则。例 设阶方阵有的特征值，求。解1：有个不同

28、特征值，必有个线性无关特征向量，于是，。解2：是的特征值，。十二、把二次型化为标准型1 二次型：称为关于的二次型。其矩阵表达式为，实对称阵，2 配方法化二次型为标准型。3 正交变换化二次型为标准型：对，第一步：求出的所有特征根(包括重数)；第二步：对每一求的非零解；若为单根，则只有一个线性无关解，若为重根，则有个线性无关解；第三步：正交规范化，单根的特征向量只要规范化(除以模)即可，重根的特征向量应利用施密顿正交化方法进行正交规范化；第四步：由个正交规范化的特征向量依次组成正交矩阵的列向量组，写出正交变换，于是，其中是关于的正交规范的特征向量。十三、惯性定理及正定二次型判定1 二次型的标准式中

29、正项个数和负项个数是一定的。2 是正定二次型(即,)的所有特征值大于0的顺序主子式都大于0。3 是负定二次型(即,)的顺序主子式是负正相间。例 求一个正交变换，化二次型为标准型。解：，(二重根)，。(二重根)，令，使，；， ，。当时，。例 已知二次型，通过正交变换化为标准型，求参数及所用的正交变换矩阵。解：有标准型，即有特征值，于是，。时，；时，；时，。正交变换矩阵为。例 已知二次型的秩为2，求参数及此二次型对应矩阵的特征值。解：，。时，。，。例 设四元线性方程组()，又已知某线性齐次方程组()的通解为，求()的基础解系；问线性方程()和()是否有非零公共解？若有，试求出所有非零公共解，若没有，试说明原因。解：，为()的基础解。非零公共解应不全为0，不全为0，使，时，非零公共解为。例 设