西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 矩阵及其运算

1、 矩阵是线性代数的主要研究对象矩阵是线性代数的主要研究对象. 它在线性代它在线性代方法讨论线性方程组的解法及有解的条件方法讨论线性方程组的解法及有解的条件.阵的概念及其运算阵的概念及其运算. 阵的秩、阵的秩、 可逆矩阵以及矩阵的初等变换、可逆矩阵以及矩阵的初等变换、 分块矩分块矩 本章介绍矩阵的概念、本章介绍矩阵的概念、 矩阵的基本运算、矩矩阵的基本运算、矩题可以用矩阵表达并用有关理论解决题可以用矩阵表达并用有关理论解决.数与数学的许多分支中都有重要应用数与数学的许多分支中都有重要应用, 许多实际问许多实际问最后最后, 利用矩阵的有关概念与利用矩阵的有关概念与 (1)212222111211m

2、nmmnnaaaaaaaaaA , 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为，元素是复数，元素是复数例例 如如,012425893421.5315890321 A ( aij )m n 或或 A = ( aij ) .的矩阵称为的矩阵称为 （1）式也可简记为）式也可简记为 只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为(也称为也称为).如如 A = ( a11 ，a12 ，a1n ).12111maaaB如如 只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为(也称为也称为). 若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 行数和

3、列数相同的矩阵称为行数和列数相同的矩阵称为例如例如 引起混淆的情况下，也可记为引起混淆的情况下，也可记为 阵为阵为， m n 零矩阵记为零矩阵记为 m n ，在不会，在不会称为称为 n n 方阵，常称为方阵，常称为 或或，nnaaaA2211都为零的方阵称为都为零的方阵称为，如，如主对角线上的元素不全为零，其余的元素全主对角线上的元素不全为零，其余的元素全 简记为简记为 A= ( aij )n .为为 n 阶对角矩阵阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零其中未标记出的元素全为零, 即即.200010003)21,diag(3,对角矩阵常记为对角矩阵常记为 A = 例如例如 aij = 0 ,

4、i j , i, j = 1, 2, , n , 主对角线上的元素全为主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为的对角矩阵称为.111nnE, 简记为简记为 E 或或 I . 如如 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为nccc, （c 为常数）为常数）. 例如例如 主对角线下主对角线下 (上上) 方的元素全为零的方阵称为方的元素全为零的方阵称为,22211211nnnnaaaaaa.21222111nnnnaaaaaa. 例如例如 在方阵在方阵 A = ( aij )n 中中, 如果如果 aij = aji (i, j = 1, 2, ,475731512.2

5、73702321n) , 则称则称 A 为为. 例如例如称称 A 为为. 如果如果 aij = - -aji (i, j = 1, 2, , , n) 则称则称 A 为为. 如果如果 A 还是实矩阵还是实矩阵,则则 矩阵矩阵 A = ( aij )mn 与与 B = ( bij )pq 如果满足如果满足652413fedcba与与 例如例如 m = p 且且 n = q , 则称这两个矩阵为则称这两个矩阵为 n 个变量个变量 x1 , x2 , , xn 与与 m 个变量个变量 y1 , y2 , , ym 之间的关系式之间的关系式(2)22112222121212121111 ,xaxaxa

6、y,xaxaxay,xaxaxaynmnmmmnnnn表示一个从变量表示一个从变量 x1 , x2 , , xn 到变量到变量 y1 , y2 , , ym 的的，其中其中 aij 为常数为常数.线性变换（线性变换（2）的系数）的系数 aij 构成矩阵构成矩阵 A = ( aij )m n .给定了线性变换（给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩），它的系数所构成的矩阵（称为阵（称为）也就确定）也就确定. 反之，如果给出一反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在在这个意义上，线性变换

7、和矩阵之间存在着一一对应的关系着一一对应的关系.由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可利系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可利用线性变换来解释矩阵的涵义用线性变换来解释矩阵的涵义.例如，线性变换例如，线性变换 32123112,63xxxyxxy.112603 A所对应的矩阵为所对应的矩阵为nnE111单位矩阵单位矩阵所对应的线性变换为所对应的线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为矩阵矩阵 cossinsincos所对所对 cossin,sincos11yxyyxx应的线性变换应的线性变换OxyP1P

8、图图 2. 3 这是把这是把OP（依逆时针方向）旋转（依逆时针方向）旋转 角（即把点角（即把点 P以原点为中心逆时针旋转以原点为中心逆时针旋转 角）的旋转变换角）的旋转变换.设有线性方程组设有线性方程组)I (.,22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa若令若令,21222221111211212222111211 mmnmmnnmnmmnnbaaabaaabaaaBaaaaaaaaaA则矩阵则矩阵 A 称为方程组（称为方程组（I）的）的，矩阵，矩阵 B 称称为方程组（为方程组（I）的）的方程组（方程组（I）与增广）与增广矩阵一一

9、对应，因此，对方程组（矩阵一一对应，因此，对方程组（I）的研究，可）的研究，可变成对增广矩阵变成对增广矩阵 B 的研究的研究. mmnmmnnmnmmnnbaaabaaabaaaBaaaaaaaaaA21222221111211212222111211, mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,二次曲线的一般方程为二次曲线的一般方程为ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (II)(II) 的左端可以用表的左端可以用表xy1xy1abdbcedef来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应来

10、表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应的的 x , y 或或 1 的乘积的系数，而的乘积的系数，而 (II) 的左端就是按这的左端就是按这样的约定所形成的项的和样的约定所形成的项的和. 换句话说，只要规定了换句话说，只要规定了x , y , 1 的次序，二次方程的次序，二次方程 (II) 的左端就可以简单地的左端就可以简单地用矩阵用矩阵 fedecbdbaA来表示来表示. 通常，通常，A 称为二次曲线称为二次曲线 (II) 的矩阵的矩阵.ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 xy1xy1abdbcedef从方程到矩阵的过程如下：从方程到矩阵的过程如下：f

11、edecbdba设设 A, B, C 为同型矩阵为同型矩阵, 则则 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (); (3) A + O = O + A = A, (4) A + ( - -A ) = O .其中其中 O 与与 A 是同型矩阵是同型矩阵; 记记 设设,A730152,B935423.3459C (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求并求其和其和, 哪些不能进行加法运算哪些不能进行加法运算, 说明原因说明原因; (2) 求求 C 的负矩阵的负矩阵.mnmmnnnmijk

12、akakakakakakakakaka212222111211）（, 设设 A, B 为同型矩阵为同型矩阵, k, l 为常数，则为常数，则(1) 1A = A;(2) k(lA) = (kl) A;(3) k(A + B) = kA + kB;(4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的. 设设,B,A22121203且且 B,XA 32求矩阵求矩阵 X .023138 X设有三组变量设有三组变量 x1 , x2 , x3 , x4 ； y1 , y2 , y3 ； z1 , z2 ，它们之间的关系分别为，它们之间的关系分别

13、为) 1 (,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax)2(,232131322212122121111zbzbyzbzbyzbzby求求 x1 , x2 , x3 , x4 与与 z1 , z2 之间的关系之间的关系. 把把 (2) 代入代入 (1) ，得，得31kkikiyax2131jjkjkikzba2131jjkjikkzba3121kjkjikjzba)3(. )4 , 3 , 2 , 1(3121izbajkkjikj如果用如果用21)4()4 , 3 , 2 , 1(jjijiizc

14、x来表示来表示 x1 , x2 , x3 , x4 与与 z1 , z2 之间的关系，比较之间的关系，比较(3) 、(4) 两式，就有两式，就有)5(. )2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(31jibackkjikij用矩阵的表示法，就是，如果矩阵用矩阵的表示法，就是，如果矩阵A = ( aik )4 3 , B = ( bkj )3 2分别表示变量分别表示变量 x1 , x2 , x3 , x4 与与 y1 , y2 , y3 以及以及 y1 , y2 y3与与 z1 , z2 之间的关系，那么表示之间的关系，那么表示 x1 , x2 , x3 , x4 与与 z1 , z2 之间的

15、关系的矩阵之间的关系的矩阵C = ( cij )4 2就由公式就由公式 (5) 决定决定.矩阵矩阵 C 称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的乘的乘积，记为积，记为C = A B .本例中的三个表格可用三个矩阵表示本例中的三个表格可用三个矩阵表示, 设设 1616201625305020A 96801024010480167501815018000C 150150180140160150100120100190180200B显而易见显而易见 矩阵矩阵 A 的列数的列数 = 矩阵矩阵 B 的行数的行数, 矩阵矩阵 C 的行数的行数 = 矩阵矩阵 A 的行数的行数, 矩阵矩阵 C 的列数的列数 = 矩

16、阵矩阵 B 的列数的列数.如果记如果记 A = (aij)24 , B = (bij) 43 , C = (cij) 23 ,则则 cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j , i = 1, 2, j = 1, 2, 3,我们把矩阵我们把矩阵 C 称为矩阵称为矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的的. pkkjik,ba1, 计算两个矩阵的乘积计算两个矩阵的乘积. 549143223 71319715 1673544267541765421 6667632817933015 利用下列模型验证单位矩阵的性质利用下列模型验证单位矩阵的性质. 100010001654321 654321

17、 165748921100010001 165748921 定义了矩阵的乘法运算后定义了矩阵的乘法运算后, 对于线性方程组对于线性方程组,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbb则上述线性方程组可写成如下矩阵形式则上述线性方程组可写成如下矩阵形式: 求矩阵求矩阵63422142B,A的乘积的乘积 AB 及及 BA.例例例例 5 5求矩阵求矩阵63422142B,A的乘积的乘积 AB 及及 BA.解解解解63422142AB2142634

18、2BA,1683216.0000由定义有由定义有63422142AB21426342BA,1683216.0000由定义有由定义有关于矩阵的乘法运算关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点需要注意以下几点: 左乘左乘 B”或或“B 右乘右乘 A”.作乘法时作乘法时,应指明它们相乘的次序应指明它们相乘的次序. 如如 AB 读作读作“A中中AB和和BA 虽然都有定义虽然都有定义, 但但 AB BA.所以所以, 在在使使AB与与BA 都有定义都有定义, 它们也不一定相等它们也不一定相等. 的矩阵的矩阵A 和和 B , AB 有定义有定义, 但但 BA 就没有定义就没有定义. 即即 AB 有定义有定义,

19、 BA不一定有定义不一定有定义.中中,431102311014,20121301BA例例例例 4 4已已知知求求 AB.因因为为 A 是是 24 矩矩阵阵, B 是是 43 矩矩阵阵, A定定义义有有其其乘乘积积 AB = C 是是一一个个 23 矩矩阵阵, 由由矩矩阵阵乘乘积积的的的的列列数数等等于于 B 的的行行数数, 所所以以矩矩阵阵 A 与与 B 可可以以相相乘乘,解解解解如如例例例例 5 5求矩阵求矩阵63422142B,A的乘积的乘积 AB 及及 BA.解解解解由定义有由定义有63422142AB21426342BA,1683216.0000如如 ,OB,CBABC,B,A1122

20、540211113211但但 A C .例如例如. .例如例如 本节本节中中 A O, B O, 但但 BA = O.例例例例 5 5求矩阵求矩阵63422142B,A的乘积的乘积 AB 及及 BA.解解解解由定义有由定义有63422142AB21426342BA,1683216.0000 (1) OkmAmp= Okp , AmpOpn= Omn ; (2) 设设 A 是是 m n 矩阵矩阵, Em 是是 m 阶单位矩阶单位矩 (5) k(AB) = (kA)B = A(kB). (B + C)A = BA + CA;(3) (AB)C = A(BC);(4) A(B + C) = AB +

21、 AC, EmA = A, AEn = A ;阵阵, En 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵, 则则 如果如果 A 是是 n 阶方阵阶方阵, 那么那么, AA 有意义有意义, AmAAA个也有意义也有意义, 因此有下述定义因此有下述定义:. AmmAAAA个另外还规定，另外还规定， 0 = E. 设设 A 为方阵为方阵, k, l 为正整数为正整数, 则则阶方阵阶方阵 A 与与 B , 一般来说一般来说 (AB)k AkBk .又因矩阵乘法一般不满足交换律又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个所以对于两个 n AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl .设设,001001A计算计

22、算 A2, A3, An (n3). 设设 其中其中 E 为三阶单位矩阵为三阶单位矩阵,000100010B所以所以nnBEA)(.! 2) 1(221nnnnBBnnBnE注意到注意到,0000001002B, B3 = B4 = = Bn = O,因而因而nnBEA)(221! 2) 1(BnnBnEnnnnnnnnnnnnn0002) 1(121(n 2).08122351TA 例如矩阵例如矩阵01258231A的转置矩阵为的转置矩阵为, . 设设 A，B，C，A1，A2， ，Ak 是矩阵，且是矩阵，且 (A1A2Ak)T = AkT A2TA1T ;(1) (AT)T = A ;(2) (B + C)T = BT + CT ;(3) (kA)T = kAT;(4) (AB)T = BTAT ; 则则它们的行数与列数使相应的运算有定义，它们的行数与列数使相应的运算有定义， k 是数，是数， (5) 若若 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵, 则则 (Am)T = (AT)m ,A 为反对称矩阵的充要条件是为反对称矩阵的充要条件是 AT = - - A . (6) A 为对称矩阵的充要条件是为对称矩阵的充要条件是 AT = A;m 为正整数为正整数;102324171231102AB,B,A102324171