理论力学考研备考期末复习专业课第十二章动量矩定理

1、第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理12-1 12-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量质点的动量矩矩对点对点O O的动量的动量矩矩对对 z z 轴的动量轴的动量矩矩 单位：单位：kgm2/s 2 2质点系的动量质点系的动量矩矩 对点的动量矩对点的动量矩 对轴的动量矩对轴的动量矩 等于等于 对点对点O的矩。的矩。 是代数量是代数量，从从 z z 轴正向看轴正向看，逆时针为正逆时针为正，顺顺时针为负时针为负。（1） 刚体平移。可将全部质量集中于质心刚体平移。可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。作为一个质点来计算。，（2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动惯量转

2、动惯量 即即 12-2 12-2 动量矩定理动量矩定理 1 1质点的动量矩定质点的动量矩定理理设设O O为定点，为定点，有有其中：其中： （O为定点）为定点）直角坐标投影式：直角坐标投影式：因此因此 称为称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。得得称为称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理：质点系对某定点：质点系对某定点O O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力外力对于同一点的矩的矢量和。对于同一点的矩的矢量和。2.2. 质

3、点系的动量矩定质点系的动量矩定理理 由于由于 N N个方程相加个方程相加后后第第i i个质个质点点直角坐标投影式：直角坐标投影式：内力不能改变质点系的动量矩内力不能改变质点系的动量矩。上述表达式形式只适用于对固定点或固定轴。上述表达式形式只适用于对固定点或固定轴。例例12-1 12-1 已知：小车已知：小车 ，不计摩擦，不计摩擦。求小车的加速度求小车的加速度 。解解：由由 ， ， 得得例例12-3：已知已知 ， ， ， ， ， ，不计摩擦。不计摩擦。求求（1） （2）O O处约束力处约束力 （3）绳索张力绳索张力 ， 由由 ，得得解：解：（1） （2 2）由质心运动定）由质心运动定理理 （3）

4、 研究研究（4）研究研究3 3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 ，则则 常矢量；常矢量；若若 ，则则 常量常量。例：面积速度定理例：面积速度定理有心力有心力：力作用线始终通过某固定点，：力作用线始终通过某固定点， 该点称该点称力心力心。由于由于 ，有有 常矢量常矢量（2） 常量常量即即 常量常量由图由图， 因此因此， 常量常量 称面积速度称面积速度。（1） 与与 必在一固定平面内，即点必在一固定平面内，即点M M的运动的运动 轨迹是平面曲线。轨迹是平面曲线。tAdd求：剪断绳后，求：剪断绳后， 角时的角时的 。例例12-412-4：两小球质量皆为：两小球质量皆为 ，初始角速度，初始角速度 。时

5、，时， 时，时，由由 ，得得解解： 12-3 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程主动力主动力：约束力约束力：即即：或或或或例例12-512-5：已知：已知： ，求求 。解解：摆动的周期摆动的周期 。例例12-6 12-6 物理摆（复摆），物理摆（复摆），已知已知 ，求微小求微小解解：微小摆动时微小摆动时，即即：通解为通解为 称称角振幅角振幅， 称称初相位初相位，由初始条件确定。由初始条件确定。周期周期例例12-7：已知：已知 ，动滑动摩擦系数，动滑动摩擦系数 ，求制动所需时间求制动所需时间 。解：解：例例12-8：已知：已知 ，求：，求： 。解：解：因因 ， ，得，得1

6、2-4 12-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 单位：单位：kgm2 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算（1 1）均质细直杆对一端的转动惯量）均质细直杆对一端的转动惯量 由由 ，得，得（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量式中：式中： 或或2. 2. 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） 或或3平行轴定理平行轴定理 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴， 为为与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对即

7、：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。证明：证明：因为因为有有 ，得，得例例12-912-9：均质细直杆，已知：均质细直杆，已知 。求：对过质心且垂直于杆的求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。对一端的对一端的 轴，有轴，有要求记住三个转动惯量要求记住三个转动惯量（1 1） 均质圆盘对盘心轴的均质圆盘对盘心轴的转动惯量转动惯量（2 2） 均质细直杆对一端的均质细直杆对一端的转动惯量转动惯量（3 3） 均质细直杆对中心轴均质细直杆

8、对中心轴的转动惯量的转动惯量则则解：解：4 4组合法组合法求：求： 。例例10：已知杆长为：已知杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 质量为质量为 。解：解：例例12-11：已知：已知： ， 解：解：其中其中由由 ，得，得求求 。5实验法实验法例：求对例：求对 轴的转动惯量。轴的转动惯量。将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O 上，作微幅摆动。上，作微幅摆动。由由其中其中 已知，已知， 可测得，从而求得可测得，从而求得 。解：解：6. 查表法查表法均质物体的转动惯量均质物体的转动惯量薄壁薄壁圆筒圆筒细直细直杆杆体积体积惯性半惯性半径径转动惯量转动惯量简简 图图物体物体的形的形状状薄壁薄壁空

9、心空心球球空心空心圆柱圆柱圆柱圆柱圆环圆环圆锥圆锥体体实心实心球球矩形矩形薄板薄板长方长方体体椭圆椭圆形薄形薄板板12-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理1对质心的动量矩对质心的动量矩由于由于（因（因 ） 有有得得其中其中即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。对任一点对任一点O的动量矩：的动量矩：2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理由于由于即即质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质点系相对于质心的动量矩定理

10、：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。的外力对质心的主矩。或或12-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程以上各组均称为刚体平面运动微分方程。以上各组均称为刚体平面运动微分方程。应用时一般用投影式：应用时一般用投影式： 例例12-12 半径为半径为r，质量为，质量为m的均质圆轮沿水平的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为 ，作用，作用于轮的力偶矩为于轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为地面的滑动摩擦因数

11、为f，问力偶，问力偶M必须符合什么条必须符合什么条件不致使圆轮滑动件不致使圆轮滑动?解：解：其中其中得得纯滚动的条件：纯滚动的条件：即即 例例12-13 均质圆轮半径为均质圆轮半径为r质量为质量为m ， 受到轻受到轻微扰动后，在半径为微扰动后，在半径为的圆弧上往复滚动，如图所的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。 求：质心求：质心的运动规律。的运动规律。解解:由于由于其解为其解为式中式中运动方程为运动方程为得得得得由由 时时 例例1414 两质量各为8 kg的均质杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA 处于水平位

12、置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O 的反力。解解： 选T 字型杆为研究对象； 受力分析如图示； 运动分析：刚体绕O 轴转动； 根据定轴转动微分方程求解：5 . 025. 0mgmgIO2222121712131mlmlmlmlIO22srad75.205 . 08 . 9825. 08 . 985 . 081217再根据质心运动定理有：N 964375. 0 82 2 2CxOamXN 3 .32 75.20375. 0 828 . 98222CyOmamgYOCxXam )2(mgYamOCy2)2(2OCaaCnCxOCaaCCy运动学补充方程：例例15 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求求： 圆柱B下落时质心的加速度。若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。选圆柱B为研究对象rTrgPB212TPagPC运动学补充方程 ：BACrraTrrgPA221解：选圆柱A为研究对象由、式