大学物理课件考研备考期末复习 刚体的转动

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并描写刚体定轴转动的物理量，并掌掌握握角量与线量的关系角量与线量的关系. 二二 理解理解力矩和转动惯量概念，力矩和转动惯量概念，掌握掌握刚体绕刚体绕定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理. 三三 理解理解角动量概念，角动量概念，掌握掌握质点在平面内运质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 能运用以上规律能运用以上规律分析分析和和解决解决包括质点和刚体包括质点和刚体的简单系统的力学问题的简单系统的力学问题. 四四 理解理解刚体定轴转动的转动动能概念，能刚体定轴转

2、动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用应用机械能机械能守恒定律守恒定律 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）组）刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动平动、转动转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动平动：若刚体中所有点：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置

3、间的连线 . 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+角速度角速度x一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度z参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴角加速度角加速度

4、t dd定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示示 .00zz匀变速匀变速1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； ,a, v2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .二二 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚

5、体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比角线角线三三 角量与线量的关系角量与线量的关系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22dddda例例飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 rad75)6(2)5(22202220srad6srad3050 t 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求

6、：试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开始后始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动 00时，时， t = 0 s （2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5 . 2sm42

7、. 0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra转过的圈数转过的圈数r5 .372752N2226 .31)4(2 . 0smran 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00

8、解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当t=300s 时时11srad600minr18000 所以所以 3322srad75srad30060022tc转子的角速度转子的角速度232srad15021tct由角速度的定义由角速度的定义23srad150ddtt得得tttdsrad150d0230有有33srad450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022N32srad)75(2tc力矩力矩Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在

9、刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩 MzOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF3） 刚体内作用力和刚体

10、内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM转定律转定律Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFsinrFM mrmaFtt2iejjjjrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .rmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)rmM

11、jjjj2e( 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejFi惯量惯量mrJrmJjjjd,22三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元：质量元md2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体

12、分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22例例lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例1 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒OROR4032d2

13、RrrJRr dr 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量2mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯

14、量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CJmddCOm注意注意2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量RmO竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 例例3 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.

15、滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，其速时，其速率是多少？（率是多少？（3）若滑轮）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力略，并设它们间的摩擦力矩为矩为fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyO

16、T2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F（3） 考虑滑轮与轴承

17、间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 例例4 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定