实变函数与泛函分析基础

1、.第四章第四章 可测函数可测函数.l可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限极限。问：问：可测函数是否可表示成一列连续函数的可测函数是否可表示成一列连续函数的极限极限？l可测集可测集E上的上的连续函数连续函数为可测函数。为可测函数。.实变函数的三条原理（实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一）任一可测集可测集差不多就是开集（至多可数个差不多就是开集（至多可数个开区间开区间的并）。的并）。，闭集EF , 0设设f(x)为为E上几乎处处有限的可测函数，则上几乎处处有限的可测函数，则 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续。上

2、连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数即：可测函数“基本上基本上”是连续函数是连续函数.（2）任一）任一点点收敛点点收敛的可测函数列差不多就是的可测函数列差不多就是一致收敛列。一致收敛列。（3）任一）任一可测函数可测函数差不多就是差不多就是连续函数。连续函数。.引理：引理： 。），即：），使得：的内点，为开集：另证：由于注处连续。在故，必有，）则令则，又令，必有）使得：，对此上为连续的，在，而使得：由于证明：取，knkkkcknkkkcknkkkknkkkkkkkkkkknkExUExUExExxxfxfxfxfxfExU

3、ExUxkkExxfxfExUxEfkxNkEx000001201202101000000100212002000101000010,()(,(0)(,1)(.| )()(| )()(|,(,(.,min. 0,: ),(dmin.| )()(|,(, 0, 0,上的连续函数。：，则令为连续函数，若两两不交的闭集族设RExfExxfxfREfEEEknkkkkkiini11)(: )()(:. ,.。），即：），使得：的内点，为开集事实上，由于，kkkkckkkkckkkkkkkkExUExUExEx000012012021010,()(,(0)(,上的连续函数。：，则为连续函数，令若均为闭集

4、（两两不交的集族，且：类似结果：设注，RExfExxfxfREfjEEEEkkkkkkkjkkiii111)(: )()(:)., 2 , 1 ,2.证明：由于证明：由于mE|f|=+=0 ，故不妨令，故不妨令f(x)为有限函数为有限函数(1) 当当f(x)为为简单函数简单函数时时，)()(1xcxfiEnii令可测且两两不交）其中iiniEEE,(1), 2 , 1()(, 0niFEmFEEniiiii，使中的闭子集，作及每个ninniiiiiniiniiniFEmFEmFEm11111)()()(iniFF1，闭集EF , 0设设f(x)为为E上几乎处处有限的可测函数，则上几乎处处有限的

5、可测函数，则 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续。上连续。.(2)当当f(x)为为有界有界可测函数可测函数时，时，存在存在简单函数简单函数列列n(x) 在在E上上一致收敛一致收敛于于f(x)，1211)()(nnnnnnFEmFEmEFFF，且，则令由由n(x) 在在F连续连续及及一致收敛一致收敛于于f ，易知易知上连续在且使，存在闭集及每个nnnnnFxFEmEFxn)()()(,02利用利用(1)的结果知的结果知.则则 g(x)为有界可测函数，应用为有界可测函数，应用(2)即得：即得：)| )(|1)()(| )(|1)()(xgxgxfxfxfxg(3)当当f(x)为一般为一

6、般可测函数可测函数时，作变换时，作变换，闭集EF , 0g(x)为为E上几乎处处有限可测函数上几乎处处有限可测函数,则则使得使得 m(E-F)且且g(x)在在F上连续。上连续。故，故，f(x)在在F上为连续函数。上为连续函数。.RE 若若f(x)为为 上几乎处处有限的可测函数，上几乎处处有限的可测函数，使得使得在在F上上g(x)=f(x)且且m(E-F)，且且sup g(x) |xR= sup f(x) |xF； inf g(x) |xR= inf f(x) |xF； （对（对n维空间也成立）维空间也成立）【分】由鲁津定理：【分】由鲁津定理：，闭集EF , 0则 及及R上的上的连续连续函数函数

7、g(x)，闭集EF , 0则 且且f(x)在在F上上连续连续。下面只需将下面只需将f(x)延拓为延拓为R上的上的连续函数连续函数g(x)即可即可。RE 若若f(x)为为 上几乎处处有限可测，上几乎处处有限可测，.aibi由于由于FC为为R上的开集，根据上的开集，根据R上开集构造，上开集构造，FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间开区间的并：的并： 。),(iiicbaF,.),(),(,),(),(,),(),)()()(,),()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiabaxbfbbaxafbabaxaxabafbfafFxxfxg当当有限当（

8、当b iai则则g(x)满足要求，且在满足要求，且在R上连续上连续.（参见课本（参见课本p91）.，闭集EF , 0设设f(x)为为E上几乎处处有限的实函数，若上几乎处处有限的实函数，若 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续，则上连续，则f(x)在在E上为上为可可测函数测函数。.)()(.)(. 0)(,1)()()(.)(,)(,1)(,111上可测函数为上可测函数为又上可测函数为则令上连续（可测函数），在使得：闭集则证明：FFExfFExfFEmnFEmFEmFEmFxfFFFxfnFEmFFnnnnnnnnn.),()(eaxfxfi)(xfieaxfxgni.),()(。于依

9、测度收敛于即Exfxgn)()(1|0,()0(0)ngfnnmEm EFn从而 )()(xgxfini令 ，即得我们所要的结果。 nnnnnnnFEmxfxgFxgREF11)()()(),(,且上使在上的连续函数，及闭集证明：由鲁津定理另外的形式知再由Riesz定理，存在 的子列使 a. e.于E，)(xgni)(xgn.),()(eaxfxfn)(xfn.为可测集。上可测函数，故为上可测函数，故为为可测集，而由于为可测集。显然证明：,ln)()*ln(,ln)()*ln()()(ln*)()(ln)(,|)(ln,| ,. 0, 0,)(axfxgaaxfxgaxfEExfxgExfex

10、fExxaxfExxRaEaEaEERaxg上可测函数。为上可测函数，则均为若ExfExgxfxfxg)()()(),(, 0)(. 1均为可测函数。则）上一个连续函数族，（为记)(inf)(),(sup)(1 , 0. 2xfxxfxEff为开集（可测）。所以，内点。为即，使得：，为连续函数，故，由使得：存在，事实上，为开集（可测）。，则下面说明为可测函数。证明：只证)()(0)(0000000000)(0)()(,)().(,)().(,)()()(,)(,)(,)(,)(axaxaxaxaxaxEExExxxxxaxxxxaxfxxxfaxfxfaxExEERax.,)(1,)(, 0,

11、.,)(0)(,m(A)0. 3000BxkxfkBAmkABEeaxfAxf使得：及自然数存在证明：于上可测函数，且为设.,.)(| )()(|, 0)(lim)()(,), 3 , 2 , 1()(1,|. 0)()(,)(,|,0)(,|00011212121即得结论取使得：为递增可测集列。则又令证明：显然令kkkkkkkkkkkABAAmAmAmkkkAmAmAmAZZAAkkxfkAxxAZmZmxfAxxZxfAxxZ.。于使得：上连续函数问是否必有上几乎处处连续函数，为）若上几乎处处连续函数？必定是问于上连续函数，为）设,.),()()(,)(2,)(,.),()(,)(.14b

12、aeaxgxfxfbabaxgbaxgbaeaxgxfbaxf矛盾）。），（），处的任意去心邻域（，），处的任意右邻域（，），处的任意左邻域（则于使得：上连续函数则若有如。于使得：上连续函数）未必有上处处不连续。在但，如：上几乎处处连续函数。未必是）解：(1)01 (0)01 ()()(|)()(|11111)()(|111)()(|111,.),()()(,)(,.),()()(,2 1 , 0)(,. 1 , 0, 0, 1 , 0, 1)(,1 , 00)(,)(1c), 1ffxgxfxxgxfxxxgxfxxxgxfxxReaxgxfxfbaxgbaeaxgxfxfbaxgQxQxx

13、gxxfbaxgC. 0|)(|sup:(lim0., 0)(lim)( ,)(. 5jn），有于上可测函数，则为设xfExmEeaxfExfEmkjkkk. 0)()()(lim).()lim()(lim,(|. 0)(lim, 0)()(,1|)(|sup:. 01|)(|sup: :(lim. 0|)(|sup: :(lim00)(j)(j0)(j)(j)(j)(j)()()(j0)(jjkkkfnjnjfnjnjnjnjnjnjnjfkjknjkjkkjkEEmSmSmEESSmSmSmEmmSNjSSmNnEEmnxfExSnxfExmNnxfExm所以，证。），（自己用极限定义反而故）为递减集列，且事实上，由于，有而下证：已知令），有），有证明：显然，. 0)()1|)(:|(0)1|)(:|(.)()1|)(:|()1|)(:|(1|)(:|1|)(:|.(, 00(lim. 0)1|)(:|()(,1|)(:|. 0(lim,1|)(|sup:)(0111)(1)(1)(00