信号与系统教案第2章

1、信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-1页电子教案第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、卷积积分一、卷积积分 二、卷积的图示二、卷积的图示2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积的代数运算一、卷积的代数运算 二、函数与冲激

2、函数的卷积二、函数与冲激函数的卷积 三、卷积的微分与积分三、卷积的微分与积分点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-2页电子教案 LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故，故称为称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。是学习各种变换域分析法的基础。 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI

3、2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-3页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应微分方程的经典解：微分方程的经典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）1、齐次解、齐次解yh(

4、t)是是 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解的解yh(t)的形式的形式是是Cet ，是是齐次方程齐次方程对应的对应的特征方程特征方程的根的根特征方程特征方程：n+an-1n-1+a0=0 有有n个根（个根（1，2，., n)当当1，2，., n是不相等的实根时是不相等的实根时 nitithieCCety1)( 例：例：3重实根重实根244321 ttttheCetCteCeCty234224140)( 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-4页电子教案2、特解、特解yp(t)形式与激励的形式有关。形式与激励的形式有关。信号与系统信号与系统南通大学

5、电子信息学院第2-5页电子教案齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-6页电子教案3 3、全解、全解y(t) niptiphtyeCtytytyi1)()()()( )(为单实根为单实根i n阶微分方程需由阶微分方程需由n个个初始条件初始条件：求待定系数求待定系数Ci)0(),.,0(),0( ),0()1( nyyyy

6、求求全解全解y(t)的步骤：的步骤：1）求齐次解）求齐次解)()(待定待定itihCeCtyi 2）求）求特解特解yp(t)：根据激励的形式确定：根据激励的形式确定yp(t)的形式，将的形式，将 yp(t)代入代入原微分方程原微分方程求待定系数求待定系数3）求系数）求系数Ci：将初始条件代入全解：将初始条件代入全解y(t)求得求得信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-7页电子教案例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全

7、解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 解解: (1) 特征方程为特征方程为 2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3 齐次解为齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 当当f(t) = 2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t) = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是特解为于是特解为 yp(t) = e t信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-8页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连

8、续系统的响应连续系统的响应全解为：全解为：y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齐次解同上。）齐次解同上。当激励当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重时，其指数与特征根之一相重由表知：其特解为由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分

9、方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。不能求得。信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-9页电子教案全解为全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的

10、系数C1+P0= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而，因而也不能区分自由响应和强迫响应。也不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-10页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定时接入系统，则确定待定系数待定系数Ci时时用用t = 0+时刻的时刻的初始值（初始条件）初始值（初始条件），即即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于

11、描述系统的包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。历史信息。 在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系系统的历史情况统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或或起起始值始值。 通常，对于具体的系统，通常，对于具体的系统，初始状态初始状态一般容易求得。这一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态初始状态y(j)(0-)设设法求得法求得初始条件初始条件y(j)(0+)。下列举例说明。下列举例说明。 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-11页电

12、子教案例例： y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解： y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t)(t)函数平衡法函数平衡法：故：故y”(t)在在t=0处应含冲激函数，从而处应含冲激函数，从而y(t)在在t= 0处有阶跃，处有阶跃，y(t)在在t=0处是连续的处是连续的采用降阶法，方程两边求积分采用降阶法，方程两边求积分 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应）（ 0-0 0000000000)(6)(2)(2)(

13、3)( dttdttdttydttydtty y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2-0 0)( ty0000信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-12页电子教案所以所以 y(0+) = y(0-)=2 ， y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可见，由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.1 LTI2

14、.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-13页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分别用经典法求解。也可以分别用经典法求解。注意注意：对：对t=0时接入激励时接入激励f(t)的系统，初始值的系统，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，n-1)的计算。的计算。 y(j)(0-)= yx(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)对于对

15、于零输入响应零输入响应，由于激励为零，故有，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)对于对于零状态响应零状态响应，在，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面举例说明的求法下面举例说明。信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-14页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应例例：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)

16、。求该系统的零输。求该系统的零输入响应和零状态响应。入响应和零状态响应。 解解：（：（1）零输入响应零输入响应yx(t) 激励为激励为0 ，故，故yx(t)满足满足 yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0该齐次方程的该齐次方程的特征根特征根为为1， 2，故，故 yx(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系数为代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得，代入得 yx(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 信号与系统信号与系统南通大学电子信息

17、学院第2-15页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应（2）零状态响应零状态响应yf(t) 满足满足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，从而，从而yf(t)跃变，即跃变，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0连续，连续，即即yf(0+) = yf(0-) = 0，积分得，积分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+20=2 00000000d)(62

18、d)(2)( 3)(ttttydttydttyfff 因此，因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-16页电子教案对对t0时，有时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 )()()(tyeCeCtyeCtyptfitxiptiiii 自由响应（齐）自由响应（齐） 强迫（特）强迫

19、（特）零输入零输入零状态零状态自由响应自由响应)0()( jy)0()( jxy)0()( jfy信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-17页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 求求h(t)的方法的方法0)0()0( )0( hhh由由平衡法平衡法 的的初初始始条条件件不不全全为为转转成成0),0(),0( ),

20、0( hhh然后求然后求t0后的后的零输入零输入响应响应)()()(1teCthtniii )(为单实根为单实根i 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-18页电子教案 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 因方程右端有因方程右端有(t)，故利用，故利用(t)平衡法。平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(

21、0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1 00)( dtth信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-19页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应考虑考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2

22、，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-20页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 : 令h1”(t) + 6h1(t) + 5h1(t) =f(t)则由例一知则由例一知h1(t)=(

23、 e-2t - e-3t)(t) 由由LTI的线性性质得：的线性性质得：h(t)=h1”(t)+2h1(t)+3h1(t) =(4e-2t -9 e-3t)(t) +(t) + (-4e-2t +6e-3t)(t) + (3e-2t -3e-3t)(t) =(t) + (3e2t 6e3t)(t)信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-21页电子教案二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)= T 0 ， (t)ttgthhtgtd)(d)(,d)()( 由于由于(t) 与与(t) 为微积分关系，故为微积分关系，故 由单位阶跃函数由单位阶跃函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位

24、阶单位阶跃响应跃响应，简称阶跃响应，记为，简称阶跃响应，记为g(t)。信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-22页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、卷积积分一、卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tptf信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-23页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)(

25、 f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为、宽度为，用，用p(t + +)表示为表示为： f ( - - ) p(t + + ) nntpnftf)()()( d)()()()(lim0tftftf信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-24页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应L LT TI I

26、系系统统零零状状态态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性： d)()( tf d)()( thff (t)yf(t) d)()()( thftyf卷积积分卷积积分信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-25页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()

27、(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 )(*)(d)()()(thtfthftyf 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-26页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t) d)(1e6e)(2tt当当t t

28、时，时，(t -) = 0 ttttfty d)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-27页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图示二、卷积的图示 dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意

29、：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-28页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2时时4121d21)(1 ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故

30、故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d21)(221 tttytf 0h( )f (t - )2013信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-29页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的

31、上下限是关键。例例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解： d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-30页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分

32、的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积的代数运算一、卷积的代数运算满足乘法的三律：满足乘法的三律：交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)1. 3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t

33、) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-31页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、函数与冲激函数的卷积二、函数与冲激函数的卷积1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(d)()()(*)(tftftft f(t)*(t t0) = f(t t0)()(*)(2121tttfttttf )()(*)(2121ttttttt )()(*)(21tftftf 若若)()(*)(212211tttfttfttf 则则信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-32页电子教案2. f(t)*(t) = f

34、(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftft f(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t) tftf d)(d)()(t) *(t) = t(t)例例?)3(*)2( tt )1()1()32-()32-( tttt 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-33页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微分与积分三、卷积的微分与积分1. nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121 证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) *

35、 f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121 tttftftffff证：上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信号与系统信号与系统南通大学电子信息学院第2-34页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入