量子力学练习一+解答

1、量子力学练习一1爱因斯坦在解释光电效应时，提出 ；电子的康普顿波长为。 12h-2光量子（光子）h=mv+A c=2.4310 A2m0c2玻尔氢原子理论的三个基本假设是：（1）（2） （3） 。 定态假设 跃迁假设 角动量量子化假设3能量为100eV的电子，其德布罗意物质波的波长为。 1.210-10m4在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数(r)，一般要求波函数满足三个条件即 。根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 波，波函数模的平方(r)表示粒子在空间的几率分布，称为 。而(r)d表示 ，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 。 单值的、连续

2、的、平方可积的；几率或概率 几率密度或概率密度；在空间体积d中找到粒子的几率或概率；归一化5测不准关系xpx /2表明，微观粒子的位置（坐标）和动量，这是 的反映，当 0时，量子力学将回到经典力学，或者说 而Et /2说明原子处于激发态时有一定的时间限制，则原子激发能级有一定 ，这是原子光谱存在 的根源。不能同时具有完全确定的值 粒子的波动粒子两重性 量子效应 宽度 自然宽度 2 2=，6在量子力学中，力学量通常用算符表示，在坐标表象中，动量变为动量算符即p=。 在动量表象中，坐标变为坐标算符，即r-i i p-7设波函数(x)=Ae22 x，为常数，求归一化常数A2222 -(x)dx=A*

3、e-xAe-xdx=A-22-e-2xdx=A222=1其中利用-e-x22dx=A 1/2 1/48已知做直线运动的粒子处于状态(x)=1 1-ix（1）将(x)归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。 解：（1）令'(x)=2C，则由归一化条件可得 1-ixC*C1122dx=C=2C '(x)dx=01+x2=1 -1+ix1-ix-1+x2而01，故 C=dx=arctanx=21+x20归一化的波函数为'(x)= （2）坐标几率密度取极值的条件dd12x W(x)= =-=0 22dxdx 1+x2(1+x)1 即x0时坐标几率密度取极

4、大值，其值为W(0)= 9设粒子归一化波函数为(x,y,z)，求在(y,y+dy)范围内找到粒子的几率。解：波函数已归一化，故在(y,y+dy)范围内找到粒子的几率，应将x,z分量积分掉即 P=(x,y,z)dxdzdy (in)，n为整数 210写出几率守恒的积分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算： 在球坐标系中粒子质量为m的波函数分布为 （1）1(r,)=（2）2(r,)=1exp(ikr)， k为常数 r1 （3）2(r,)=exp(-ikr)，k为常数 r时的几率密度和几率流密度，并根据结果说明粒子的运动情况。ddd=j ds+ j=0 微分形式： sdtdt2 几率密

5、度：=(r,t) 解：几率守恒的积分形式：i *-*)=Im(*) 几率流密度：j=-(2mm11 2（1） 几率密度：=(r,t)=*=exp(-in)exp(in)=22几率流密度： 在球坐标系中= 1 1er+e+e rrrsin*= 1 1 (-in) er+e+e(in)rrsinr 1 in =(-in)e(in)=ersin2rsinn *e 故j=Im()=m2mrsin由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿方向，与r，有关，因此此粒子绕z轴作圆周运动，但几率流密度是量子化的（2） 几率密度：=(r,t)=* 211exp-ikrexpikr=()()2 2rr几率流密度：*=

6、exp(-ikr) 1 1 1er+e+eexp(ikr)rrrsinr 1 11ik =exp(-ikr)er exp(ikr)= -3+2errrrrrk *er 由此可知此粒子运动为向外传播的球面波 故j=Im()=mmr2k *er，即（3） 同理几率密度不变，而几率流密度为j=Im()=-mmr21r粒子运动为向内传播的球面波。11写出定态Schrodinger方程，并写出处于定态的波函数的形式以及处于定态的粒子具有的特征。解：定态Schrodinger方程为2 =-(r)=E2+V(r) H()r 其中H2m定态波函数为(r,t)=E(r)e -iE/ ,E(r)为能量本征函数处于定