3圆锥曲线常用结论

1、圆锥曲线常用结论（选择）一、椭圆1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点P 处的外角.2.PT 平分PF1F2 在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.4.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x2y2x xy y+ = 1上，则过 P0 的椭圆的切线方 0 + 0 = 1.若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆5.a2b2a2b2x2y2+ = 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点b2若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆 a26.x

2、0 x + y0 y = 1.弦 P P1 2 的直线方a2b2x2y2椭圆+= 1 (ab0)的左右焦点分别为 F1 ，F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点7.a2b2= b2 tan g2ÐF PF= g ，则椭圆的焦点角形的面积为 S.12DF1PF2x2y2+ = 1（ab0）的焦半径公式：8.椭圆a2b2| MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a - ex0 ( F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) M (x0 , y0 ) ).设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和9.AQ 分别交相应于焦点 F 的

3、椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点 M，A2P 和A1Q 交于点 N，则MFNF.x2y2AB 是椭圆+= 1 的不平行于对称轴的弦， M (x , y ) 为 AB 的中点，则a2b20011.b2kOM × kAB= -，a2b2 x即 K= -0 。ABa 2 y0x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆 a2 + b2 = 1 内，则被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方12.x 2y 2x xy y 0 + 0 = 0 + 0 .a2b2a2b2

4、x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆 a2 + b2 = 1 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方13.第1页，共8页x2y2x xy y+= 0 + 0 .a2b2a2b2二、双曲线点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点P 处的内角.PT 平分PF1F2 在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：1.2.3.4.P 在）x2y2- = 1（a0,b0）上，则过 P 的双曲线的切线

5、方程b20若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 a25.x xy y是 0 - 0= 1.a2b2x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 a2 - b2 = 1（a0,b0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切6.x0 x - y0 y = 1.线切点为 P 、P ，则切点弦 P P的直线方121 2a2b2x2y2- = 1（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意7.双曲线a2b2= b2co t g .一点ÐF PF = g ，则双曲线的焦点角形的面积为 S12DF1PF22F2 (c, 0)x2y2双曲线-= 1（a0,bo）的焦半径公式：

6、( F (-c, 0) ,a2b21当 M (x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 - a .8.时， | MF1 |= -ex0 + a , | MF2 |= -ex0 - a当 M (x0 , y0 ) 在9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点

7、N，则MFNF.x2y2AB 是双曲线-= 1（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M (x , y ) 为 ABa2b20011.b 2 xb 2 x的中点，则 K× K=0 ，即 K=0 。OMABABa 2 ya 2 y00x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 a2 - b2 = 1（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的12.x 2y 2x xy y 0 - 0 = 0 - 0 .方a2b2a2b2第2页，共8页x2y2若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 a2 - b2 = 1（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方13.x2y2x xy y-=

8、0 - 0 .a2b2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭圆x2y2椭圆+= 1（abo）的两个顶点为 A (-a, 0), A (a, 0) ，与 y 轴平行的直a2b2121.x2y2-= 1.线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与A2P2 交点的轨迹方a2b2x2y2过椭圆+= 1 (a0, b0)上任一点 A(x , y ) 任意作两条倾斜角互补的直a2b200b2 x2.线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且k=0 （常数）.BCa2 y0x2y2若 P 为椭圆+= 1（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点,3.a2b2abÐ

9、PF F = a , ÐPF F = b ，则 a - c = tanco t.221 22 1a + cx2y2设椭圆+= 1（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上4.a2b2任意一点，在PF1F2 中，记ÐF1PF2 = a ,ÐPF1F2 = b, ÐF1F2P = g ，则有sinac= e .sin b + sin gax2y2若椭圆+= 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 05.a2b2e 2 -1时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是P 到对应准线距离 d 与PF2 的比例中项.x2y

10、2P 为椭圆+= 1（ab0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A6.为椭圆内一定点，a2b2则 2a- | AF2 |£| PA | + | PF1 |£ 2a+ | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.(x - x( y - y)2)2椭圆0+0= 1 与直线 Ax + By + C = 0 有公共点的充要条件是7.a2b2A2a2 + B2b2 ³ (Ax + By + C)2 .00第3页，共8页x2y2已知椭圆+= 1（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .8.a2b24a2b21111+=+;（2

11、）|OP|2+|OQ|2 的最大值为;（3）S（1）DOPQa2 + b2| OP |2| OQ |2a2b2a2b2的最小值是.a2 + b2x2y2过椭圆+= 1（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦9.a2b2MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则| PF |e=.| MN |2x2y2已知椭圆+= 1（ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分10.a2b2线与 x 轴相交于点 P(x0 , 0) , 则-a2 - b2a2 - b2< x0 <.aax2y2设 P 点是椭圆+= 1（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为

12、其焦点11.a2b2g2b2F1PF2 = q ，则(1) | PF1 | PF2 |= 1+ cosq .(2)记Ð= b tan.22SDPF F1 2 x2y2设 A、B 是椭圆+= 1（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，12.a2b2ÐPAB = a , ÐPBA = b , ÐBPA = g ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab2 | cosa |2a2b2(1) | PA |=- c co s g .(2) tan a tan b = 1- e .(3)a222=- a cot g .b222SDPABx2y2已知椭圆+=

13、 1（ ab0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F13.a2b2的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C 在右准线l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数第4页，共8页e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内点与非

14、焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线x2y2双曲线-= 1（a0,b0）的两个顶点为 A (-a, 0), A (a, 0) ，与 y 轴a2b2121.x2y2+= 1.平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与A2P2 交点的轨迹方a2b2x2y2过双曲线-= 1（a0,bo）上任一点 A(x , y ) 任意作两条倾斜角互a2b2002.b2 x补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 k=-（常数）.0BCa2 y0x2y2若 P 为双曲线-= 1（a0,b0）右（或3.除顶点外的任一点,F1,a2b2c

15、 - aab，则=ÐPF F = a, ÐPF F = btanco t（或 22F是焦点,21 22 1c + abac - a= tanco t）.c + a22x2y2设双曲线-= 1（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）4.a2b2为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 在 PF1F2 中 ， 记 ÐF1PF2 = a , sinacÐPF F = b , ÐF F P = g ，则有= e .1 212±(sin g - sin b )ax2y2若双曲线-= 1（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2

16、，左准线为 L，5.a2b22 +1时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是P 到对应准线距离则当 1ed 与PF2 的比例中项.x2y2P 为双曲线-= 1（a0,b0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线6.a2b2内一定点，则| AF2 | -2a £| PA | + | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和第5页，共8页A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立.x2y27. 双曲线-= 1（a0,b0）与直线 Ax + By + C = 0 有公共点的充要条a2b2件是 A2a2 - B2b2 £ C2 .x2y28. 已知双曲线

17、-= 1（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，a2b2且OP OQ .4a2b21111+=-;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为;（3）S（1）DOPQ| OP |2| OQ |2a2b2b2 - a2a2b2的最小值是.b2 - a2x2y2过双曲线-= 1（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于9.a2b2M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则| PF |e=.| MN |2x2y2已知双曲线-= 1（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的10.a2b2垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0 , 0) , 则 x0 &

18、#179;a2 + b2a2 + b2或 x0 £- .aax2y2设 P 点是双曲线-= 1（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F211.a2b22b2为 其 焦 点 记 ÐF1PF2 = q， 则 (1) | PF1 | PF2 |= 1- cosq.(2)g= b cot.22SDPF F1 2 x2y2设 A、B 是双曲线-= 1（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的12.a2b2一点， ÐPAB = a , ÐPBA = b , ÐBPA = g ，c、e 分别是双曲线的半焦距2ab2 | cosa | a2 - c2co s2 g |离心率，则有(1) | PA |=.2a2b2(2) tan a tan b = 1- e .(3)=+ a cot g .b222SDPABx2y2已知双曲线-= 1（a0,b0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲13.a2b2线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C 在右准线l 上，且 BC x轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.第6页，共8页15. 过双曲线焦半径