量子力学期末考试试题整理

1、量子力学期末考试试题整理一、 填空1. 波尔磁子：2. 回转磁比率：3. 薛定谔方程表达式：4. 算符对易的定义:5. 在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换，粒子内部运动状态并无改变，则这种散射称为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变，则称为非弹性散射。6. 散射粒子的方向与入射粒子的方向间的夹角，称为散射角。7. 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的例子为全同粒子。全通粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。8. 全同粒子的不可区分性：在两个波重叠在一起的区域，无法区分那个是第一个粒子的波，哪个是第二个例子的波。也就是说，无法区

2、分哪一个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，因此，全同离子在量子力学中是不可区分的。9. 自旋为奇数倍的粒子称为费米子。在量子力学中，由费米子组成的体系称为费米狄拉克统计。自旋为整数倍的粒子称为波色子。在量子力学中，由波色子组成的体系称为波色爱因斯坦统计。10. 克莱因-戈尔登方程：11. 狄拉克方程：12. 被填满的负态称为费米海。如果空穴的能量为，质量为，电荷为，这种空穴称为正电子。13. 波函数的量子化称为二次量子化。14. 概率流守恒定律：，概率流的定义：15. 光电效应的实验结果表明（1）存在临界频率：当入射光的频率时，无论光强度多大，都无光电子逸出，只有在时，即使光强度较弱，但只要光照

3、到金属面上，几乎在s的极短时间内，就能观测到光电子。（2）出射的光电子的能量只与入射光的频率有关，而与入射光的强度无关。（3）入射光的强度只影响光电流的强度，即只影响单位时间内由单位面积上逸出的光电子数目。16. 厄米共轭算符定义，厄米算符的定义：。17. 力学量有确定值的条件是,不同力学量同时有确定值的条件。18. 维里定理：19. 普朗克公式：20. 矢量的内积表示为：21. 奇宇称:,偶宇称:22.态的叠加原理：如果是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数也是体系的一个可能状态：，当体系处在态时，出现的概率是，出现的概率是，以此类推，n可以是有限的，也可以是无限的。这个原理称为态

4、叠加原理。23. 我们把粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态称为束缚态。二计算1.设粒子在半壁无限高，半壁谐振子势中运动，求该粒子的能谱。解：本题是在半区中的一维谐振子，它的薛定谔方程式 在的半区内与普通谐振子的相同，在负半区中。一般谐振子的函数（x）满足薛氏方程式： （1）作自变量变换 （）并将波函数变换：得u的微分方程： （2）但 （3）设（2）的解是级数： （4）将（4）代入（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种： s=0时， （5） s=1时， （6）为了使波函数（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形

5、中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1，则在（6）式中取n为最高幂时： 由（3）得 (7)式中的m=0,1,2,3,4,（7）式即我们需求的粒子的能级。本题的波函数是 但 是归一化常数，是奇阶数厄米多项式。4.证明先设然后对它求对的各阶导数，并注意算符与是对易的，与也对易，于是有：= = =可循此类推，假定n阶导数是： （含有n个，一个 （3）将此式再求导一次： = = （含有n+1个，一个） （4）但n=1适用，而根据数学归纳法，n=2,3,都适用，故

6、（3）是普遍规律。 ，当是一个任意参数时将在附近展成泰勒级数： （4）另一方面，在等式 中令，得 再在（4）式中也令得 命题得证。3.用数学归纳法证明:证明: 时, 时, 设时,等式成立,即有则当时,有且4.一维谐振子处在状态，求：（1） 势能的平均值；（2） 动量的概率分别函数；（3） 动能的平均值。 解：（1） 所以所以势能平均值（2）将波函数从坐标表象变到动量表象有而所以（4） 动能平均值5.一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S方程 在各区域的具体形式为 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，