无限长单位冲激响应数字滤波器的设计

1、1数数 字字 信信 号号 处处 理理Digital Signal Processing2第五章第五章 无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIRIIR）数字滤波器的设计数字滤波器的设计3学习重点学习重点 掌握数字滤波器的类型、性能指标以及数字掌握数字滤波器的类型、性能指标以及数字滤波器设计的基本步骤。滤波器设计的基本步骤。 熟悉原型模拟滤波器特性、原理及设计步骤熟悉原型模拟滤波器特性、原理及设计步骤（主要是巴特沃斯模拟低通型）。（主要是巴特沃斯模拟低通型）。 掌握冲激响应不变法设计掌握冲激响应不变法设计IIRIIR数字滤波器的数字滤波器的基本原理与应用。基本原理与应用。 掌握双线性变换法设

2、计掌握双线性变换法设计IIRIIR数字滤波器的基数字滤波器的基本原理与应用。本原理与应用。 掌握模拟域频率变换法设计掌握模拟域频率变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）。（低通、高通、带通、带阻）。 掌握数字域频率变换法设计掌握数字域频率变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器（低通、高通、带通、带阻、）。（低通、高通、带通、带阻、）。45.1 5.1 引言引言1.1.无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIRIIR）数字滤波器，属）数字滤波器，属于递归型滤波器。这类滤波器设计的一种主要方于递归型滤波器。这类滤波器设计的一种主要方法是借助于模拟滤波器成熟的设

3、计技术进行设计。法是借助于模拟滤波器成熟的设计技术进行设计。依据模拟滤波器的设计技术和已有的完善设计图依据模拟滤波器的设计技术和已有的完善设计图表，可以较为方便地对无限长单位脉冲响（表，可以较为方便地对无限长单位脉冲响（IIRIIR）数字滤波器进行设计。数字滤波器进行设计。2.2.介绍滤波器的定义、分类（介绍滤波器的定义、分类（IIRIIR滤波器的分类）、滤波滤波器的分类）、滤波器性能指标等。器性能指标等。3.3.详细介绍归一化模拟低通原型滤波器的设计方法和详细介绍归一化模拟低通原型滤波器的设计方法和步骤（最基本的）。步骤（最基本的）。4.4.主要有两种离散化方法主要有两种离散化方法冲激响应不

4、变法和双线性冲激响应不变法和双线性变换法，将模拟滤波器离散成数字滤波器的系统函数。变换法，将模拟滤波器离散成数字滤波器的系统函数。55. 5. 用频率变换法设计用频率变换法设计IIRIIR数字滤波器，有两种频率数字滤波器，有两种频率变换设计方法变换设计方法a a、模拟频率域变换法设计、模拟频率域变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器b b、数字频率域变换法设计、数字频率域变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器* * *频率变换法设计频率变换法设计IIRIIR数字滤波器均以归一化模拟数字滤波器均以归一化模拟低通原型滤波器的设计方法为重要基础，在此基低通原型滤波器的设计方法为重要基础，在此

5、基础上进行设计的拓展和延伸。础上进行设计的拓展和延伸。=01( )531MrrrkNkkkb zH zaa z，（其中不全为零）（）IIRIIR和和FIRFIR两种滤波器的传递函数（系统函数）分别为两种滤波器的传递函数（系统函数）分别为如下形式。如下形式。无限长单位脉冲滤波器（无限长单位脉冲滤波器（IIRIIR）的系统函数（递归型）：）的系统函数（递归型）：6 有限长单位脉冲响应滤波器（有限长单位脉冲响应滤波器（FIRFIR）的系统函数）的系统函数（非递归型）（非递归型）11( )( ),(54)NnnH zh n z滤波器滤波器： 对输入信号频率成分进行选择的器件、系统和对输入信号频率成分进

6、行选择的器件、系统和装置，让某些频率分量通过滤波器的同时，抑制其它频率装置，让某些频率分量通过滤波器的同时，抑制其它频率分量。分量。数字滤波器数字滤波器：是指输入是指输入/ /输出均为数字信号，通过一输出均为数字信号，通过一 定定运算关系调整输入信号所含频率成分的相对比例，同时运算关系调整输入信号所含频率成分的相对比例，同时抑制或滤除某些频率成分的器件、装置和系统。抑制或滤除某些频率成分的器件、装置和系统。5.2 滤波器性能指标与设计步骤滤波器性能指标与设计步骤5.2.1 5.2.1 滤波器概述滤波器概述7数字滤波器设计数字滤波器设计： 构建因果稳定的构建因果稳定的LSILSI系统（保证可实现

7、性和可用系统（保证可实现性和可用性），并使之具有所期望的频率选择特性（满足性能性），并使之具有所期望的频率选择特性（满足性能指标要求）。通常指标要求）。通常按频率选择特性不同可以分为低通、按频率选择特性不同可以分为低通、高通、带通、带阻等类型。高通、带通、带阻等类型。如图如图5-25-2和图和图5-35-3所示。所示。1.1.无限长冲激响应滤波器（无限长冲激响应滤波器（IIRIIR）2.2.有限长冲激响应滤波器（有限长冲激响应滤波器（FIRFIR）数字滤波器分类数字滤波器分类（冲激响应（冲激响应）：8 图图5-2 5-2 模拟滤波器的类型模拟滤波器的类型 图图5-3 5-3 数字滤波器的类型数

8、字滤波器的类型9（1 1）图）图5-25-2表示模拟低通、高通、带通和带阻滤波器。表示模拟低通、高通、带通和带阻滤波器。 （2 2）滤波器的幅度特性（或衰减特性）均是理想化的，）滤波器的幅度特性（或衰减特性）均是理想化的，即通带和阻带之间没有过渡带。即通带和阻带之间没有过渡带。 （3 3）幅度特性为理想化的滤波器，都是不可实现的，只）幅度特性为理想化的滤波器，都是不可实现的，只能用实际的滤波器的特性逼近该特性。能用实际的滤波器的特性逼近该特性。1 1模拟滤波器的类型及其特点模拟滤波器的类型及其特点（4 4）频率）频率 是连续变量，从是连续变量，从00连续变化连续变化102 2数字滤波器的类型及

9、其特点数字滤波器的类型及其特点（1 1）图）图5-35-3表示数字低通、高通、带通、带阻滤波器表示数字低通、高通、带通、带阻滤波器 （2 2）滤波器的幅度特性（或衰减特性）均是理想化的，）滤波器的幅度特性（或衰减特性）均是理想化的，即通带和阻带之间没有过渡带。即通带和阻带之间没有过渡带。 （4 4）数字频率）数字频率 变化从变化从00包括所有频率，与连续频包括所有频率，与连续频率的重要区别，且幅度特性呈现周期性重复。率的重要区别，且幅度特性呈现周期性重复。 （5 5）数字频率，低频频率成分位于数字频率，低频频率成分位于的偶数倍附近，的偶数倍附近，而高频成份位而高频成份位的奇数倍附近。的奇数倍附

10、近。 （3 3）幅度特性为理想化的滤波器，都是不可实现的。）幅度特性为理想化的滤波器，都是不可实现的。115.2.2 5.2.2 数字滤波器性能指标数字滤波器性能指标滤波器的特性主要由频率响应表述滤波器的特性主要由频率响应表述( (设设DFDF的单位脉冲响应为的单位脉冲响应为h(nh(n)| )(|jeH其中其中称为滤波器的称为滤波器的幅度响应幅度响应)(je称为滤波器的称为滤波器的相位响应相位响应对于相位响应，令对于相位响应，令()dd 称为滤波器的群延迟响应称为滤波器的群延迟响应当滤波器的群延迟响应当滤波器的群延迟响应为常数时，称为线性相位滤波器为常数时，称为线性相位滤波器jjjjj ()

11、e(e)( )e( )(e) enznHh nH zH 反映滤波器对信号幅频和相频的处理功能反映滤波器对信号幅频和相频的处理功能 12要求不失真传输，则滤波器必须具有线性相位特性，同时要求不失真传输，则滤波器必须具有线性相位特性，同时对幅度特性有严格要求。即必须同时具备如下两个条件：对幅度特性有严格要求。即必须同时具备如下两个条件： 在通带内滤波器幅度特性为常数；在通带内滤波器幅度特性为常数； 在通带内相位函数为在通带内相位函数为 的线性函数。的线性函数。线性相位函数有两种情况，一种是通过坐标原点线性相位函数有两种情况，一种是通过坐标原点的线性函数，另一种是在纵坐标上有截相（的线性函数，另一种

12、是在纵坐标上有截相（ ）/2的线性相位函数（相角与频率的关系成直线关系）。的线性相位函数（相角与频率的关系成直线关系）。13 理想滤波器对应的时域响应为非因果的（不可实理想滤波器对应的时域响应为非因果的（不可实现），因而实际的滤波器频率特性是用一个具有因果现），因而实际的滤波器频率特性是用一个具有因果冲激响应的系统函数对理想滤波器频率特性的逼近。冲激响应的系统函数对理想滤波器频率特性的逼近。11|() |1jH e2|)(|jeHsp|过渡带过渡带p|通通带带p通通带带截截止止频频率率1通通带带容容限限|s阻带阻带s阻带截止频率阻带截止频率2阻带容限阻带容限低通滤波器幅频特性低通滤波器幅频特性

13、0p通带截止频率通带截止频率p通带通带 通带容限通带容限 1| )(|jeH通带阻带过渡带111 2ps14通带和阻带的衰减用分贝数表示为通带和阻带的衰减用分贝数表示为通带最大衰减通带最大衰减p01|() |20 lg20 lg |() |20 lg(1)|() |ppjjpjHeHeHe 阻带最小衰减阻带最小衰减s02|() |20 lg20 lg |() |20 lg|() |ssjjsjHeHeHe 此时此时 为为 截止频率，对应的带宽为截止频率，对应的带宽为3 3dB带宽带宽通常通常1|)(|0jeH当当22|)(|pjeH时时，3,pdBdB3通带最大衰减，越小越好通带最大衰减，越小

14、越好 阻带最小衰减，越大越好阻带最小衰减，越大越好 p15IIRIIR数字滤波器设计主要工作：数字滤波器设计主要工作：用一因果稳定的离散用一因果稳定的离散LSILSI系统逼近给定的性能指标系统逼近给定的性能指标01( )5101MkkkkNkkkb zHzaa z（ 其 中 系 数不 全 为 零 ）（） 主要的方法是首先设计一个模拟滤波器系统函数主要的方法是首先设计一个模拟滤波器系统函数H H( (s s) )，然后通过离散化的方法转换成数字滤波器的系，然后通过离散化的方法转换成数字滤波器的系统函数统函数H H( (z z) )。 由式（由式（5-105-10）可见，设计一个）可见，设计一个I

15、IRIIR数字滤波器，实数字滤波器，实质上是寻找一组系数质上是寻找一组系数 a ak k、b bk k 合适的值，使数字滤波器合适的值，使数字滤波器的性能指标满足给定的指标要求的性能指标满足给定的指标要求 本质上是属于数学逼近问题。这与模拟滤波器的本质上是属于数学逼近问题。这与模拟滤波器的设计思想是完全一致的。设计思想是完全一致的。16 根据具体设计任务，确定滤波器性能指标。根据具体设计任务，确定滤波器性能指标。 转换数字滤波器指标成模拟低通指标（一般需两次转换数字滤波器指标成模拟低通指标（一般需两次转换转换, ,低通除外低通除外) )。( (通、阻带边界频率和通、阻带通、阻带边界频率和通、阻

16、带衰减）衰减） 设计一个满足设计指标的归一化模拟滤波器系统函设计一个满足设计指标的归一化模拟滤波器系统函数数 。 去归一化并转换成与数字滤波器同型的模拟滤波器去归一化并转换成与数字滤波器同型的模拟滤波器系统函数即系统函数即 H Ha a( (s s) ) 将设计的模拟滤波器系统函数将设计的模拟滤波器系统函数H Ha a( (s s) )离散化成数字滤离散化成数字滤波器系统函数波器系统函数H HD D( (z z) )IIRIIR滤波器设计主要步骤滤波器设计主要步骤( )aHs( )aH s 175.2.3 5.2.3 常用模拟滤波器设计方法常用模拟滤波器设计方法1 1 由幅度平方函数确定系统函

17、数由幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应用幅度平方函数表示模拟滤波器幅度响应用幅度平方函数表示2*|() |()(),aaaHjHjHj 模拟滤波器的理论已经相当成熟，滤波器设计有严模拟滤波器的理论已经相当成熟，滤波器设计有严 格的设计公式，还有完善的曲线和图表供设计者使用，格的设计公式，还有完善的曲线和图表供设计者使用， 这些以归一化低通原型为基础，常见的模拟滤波器包括巴这些以归一化低通原型为基础，常见的模拟滤波器包括巴特沃斯（特沃斯（ButterworthButterworth）滤波器、切比雪夫（）滤波器、切比雪夫（ChebyshevChebyshev）滤波器、椭圆函数滤波器（滤波器

18、、椭圆函数滤波器（EllipseEllipse或或CauerCauer）、贝赛尔）、贝赛尔（BesselBessel）滤波器等。）滤波器等。 重点介绍巴特沃斯（重点介绍巴特沃斯（Butterworth）模拟归一化）模拟归一化低通滤波器的设计方法。低通滤波器的设计方法。 18因为滤波器冲激响应因为滤波器冲激响应 是实函数，则有是实函数，则有)(tha)()(*jHjHaa所以所以2|()|()()( )( )|aaaaas jH jH jHjH s Hs )(sHa 为模拟滤波器的系统函数为模拟滤波器的系统函数, ,它是关于它是关于s s的多项的多项式之比的形式（关于式之比的形式（关于s s的有

19、理函数）的有理函数） 可见为频率响应函数与频率响应函数取共轭之积可见为频率响应函数与频率响应函数取共轭之积 其中其中:19 模拟滤波器设计是根据一组设计指来设计模拟滤模拟滤波器设计是根据一组设计指来设计模拟滤波器的系统函数波器的系统函数H Ha a( (s s) )，使其逼近某个理想幅度，使其逼近某个理想幅度特性。例如逼近理想模拟低通滤波器的幅频特性，特性。例如逼近理想模拟低通滤波器的幅频特性，具体如图具体如图5-55-5所示。所示。 图5-5 5-5 理想模拟低通滤波器的幅频特性理想模拟低通滤波器的幅频特性这是根据幅度平方函数来逼近的。这是根据幅度平方函数来逼近的。202 2 巴特沃斯滤波器

20、巴特沃斯滤波器( (模拟滤波器）模拟滤波器）巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为NCajH22)(11| )(|N N为滤波器阶次为滤波器阶次为滤波器截止频率为滤波器截止频率C巴特沃斯低通滤波器的巴特沃斯低通滤波器的特点：特点：（1 1）处无衰减处无衰减0 , 1| )(|02 jHa为为3 3dB dB 频率频率, ,且对应于巴特沃斯低通滤波器的且对应于巴特沃斯低通滤波器的3dB3dB带宽带宽C（2 2）21|() |2CaHj 21| )(jHa|( 0) |20 lg3,|() |pCHjdBHj为通带最大衰减为通带最大衰减, ,越小滤波越好越小滤波越

21、好p与数字滤波器类似则有与数字滤波器类似则有21且在且在 处处0（3 3）C前（前（2N2N1 1）阶导数为）阶导数为0 02| )(|jHa即具有最大平坦幅度特性，即具有最大平坦幅度特性， 附近最平坦附近最平坦, ,在通带内单调减小，在通带内单调减小，阶次越高，衰减越慢。（通带内）阶次越高，衰减越慢。（通带内）2| )(|jHa（4 4）C2| )(|jHa的增加而快速减小。阶次越高，衰减越快。（阻带内）的增加而快速减小。阶次越高，衰减越快。（阻带内）随着随着可见巴特沃斯滤波器的幅频滤波特性由滤波器的阶次决定。可见巴特沃斯滤波器的幅频滤波特性由滤波器的阶次决定。NCaaajssHsHjHjs

22、22)(11)()(| )(| 0图图5-6 巴特沃斯低通的幅度特性与巴特沃斯低通的幅度特性与N的关系的关系221121222( 1)()1,2,3,2kjNNCCksjekN 极点（特征根）极点（特征根） 的极点分布特点如图的极点分布特点如图5-75-7所示。所示。 极点为：以虚轴为对称轴，且不会分极点为：以虚轴为对称轴，且不会分布在虚轴上。布在虚轴上。 N N为奇数时，实轴上有两个极点，为奇数时，实轴上有两个极点，N N为偶数时，实为偶数时，实轴上没有极点。轴上没有极点。 极点间隔为极点间隔为 。取左半取左半s s平面极点，即为平面极点，即为H Ha a( (s s) )的极点，这是由于滤

23、波的极点，这是由于滤波器必须是稳定的，因此系统函数的极点必须在器必须是稳定的，因此系统函数的极点必须在s s平面平面的左平面。的左平面。2211()01()NNCCssjjaa( )()Hs Hs特征方程特征方程aa( )()Hs Hs巴特沃斯低通滤波器的系统函数和极点分别为：巴特沃斯低通滤波器的系统函数和极点分别为： / N23图图5-7 5-7 三阶巴特沃斯滤波器的极点分布三阶巴特沃斯滤波器的极点分布1/Crad s 012( )()()()aNKHsssssss02012( )aNNKHsaa sa sa s当当 时时, ,称为归一化频率，通常在设计中频率都称为归一化频率，通常在设计中频

24、率都采用归一化形式采用归一化形式 归一化后的低通滤波器为原型滤波器。归一化后的低通滤波器为原型滤波器。 或或NkessssHNkjCkNkkNCa,3 , 2 , 1)()(212211当 C1rad/s24【例【例5-1】试写出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函试写出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设数，设解：三阶巴特沃斯归一化原型滤波器系统函数为解：三阶巴特沃斯归一化原型滤波器系统函数为sradC/20230123( )aKHsaa sa sa s由附录由附录A-1可查出可查出 所以所以2,221aa023( )122aKHssss若令若令 ，则有，则有1)0(anH10K在在 频率下频率下

25、sradC/2 Ca238( )( )()884saasCsHsHsHsss在设计中用在设计中用 替代替代 中的中的 ( (即去归一化），得到所需即去归一化），得到所需要的实际滤波器系统函数要的实际滤波器系统函数Cs( )aHss( )aHs253 3 根据实际滤波器性能指标设计巴特沃斯滤波器根据实际滤波器性能指标设计巴特沃斯滤波器通带最大衰通带最大衰减减阻带最小衰减阻带最小衰减 给定给定ps| )(|jH通带阻带过渡带1psps滤波器类型转换衰减指标不变滤波器类型转换衰减指标不变26从该题的求解过程中，可以总结出由从该题的求解过程中，可以总结出由N N求实际低通求实际低通 滤波器的系统函数的

26、步骤如下。滤波器的系统函数的步骤如下。 由给定指标（两个边界频率和两个衰减等），由给定指标（两个边界频率和两个衰减等），计算出滤波器的阶数。计算出滤波器的阶数。 根据根据N N查找归一化表格（有三种形式，根据需要查找归一化表格（有三种形式，根据需要选一种，附录选一种，附录A A提供两种），得到归一化原型低通提供两种），得到归一化原型低通滤波器的系统函数。滤波器的系统函数。 根据选定的归一化频率，进行去归一化，求出根据选定的归一化频率，进行去归一化，求出实际的低通滤波器的系统函数。实际的低通滤波器的系统函数。如何利用实际滤波器给定的性能指标，推导出求巴特如何利用实际滤波器给定的性能指标，推导出求

27、巴特沃斯低通滤波器的阶数沃斯低通滤波器的阶数N和求归一化截止频率和求归一化截止频率c公式？公式？ 27分别由通带最大衰减和阻带最小衰减求分别由通带最大衰减和阻带最小衰减求N N和归一化频率和归一化频率| )(|lg20| )(| )0(|lg20papaapjHjHjH| )(|lg20| )(| )0(|lg20sasaasjHjHjH代入代入NCajH22)(11| )(|)(1lg102NCPp)(1lg102NCSs 有有及及212)(11| )(|NCppajH 212)(11| )(|NCssajH 1.求求 N28lg2/ 110110lg101 . 01 . 0spSPN2.2

28、.求求:C阻带指标满足，通带指标有富裕量阻带指标满足，通带指标有富裕量通带指标满足，阻带指标有富裕量通带指标满足，阻带指标有富裕量NsCs211 . 0 110NpCp211 . 0 110NPCCPNNCPppp2110/2110/210/) 110() 110()(110 (取大于或等于计算取大于或等于计算结果的整数结果的整数N)29例例5-2设要求在通带频率低于设要求在通带频率低于1kHz时，允许幅度误差在时，允许幅度误差在1dB以内，在频率大于以内，在频率大于1.8kHz的阻带内，衰减大于的阻带内，衰减大于14dB。试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器。试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器。解

29、：解： 模拟低通滤波器的两个边界频率和衰减指标分别为模拟低通滤波器的两个边界频率和衰减指标分别为巴特沃斯低通滤波器阶数为巴特沃斯低通滤波器阶数为取取N=4，根据根据N值查附录值查附录A得到归一化模拟低通滤波得到归一化模拟低通滤波器的系统函数为器的系统函数为 pp22000 rad/sfp1dB ss23600 rad/sfs14dB，通带最大衰减，阻带最小衰减sp0.1 s0.1 p1011.9692lg/2lg3.85700.5105101N30将通带边界频率和通带最大衰减值代入上式有将通带边界频率和通带最大衰减值代入上式有Css10.12101pNCp a2341( )12.6131 +3

30、.41422.6131Hsssss 去归一化，求出实际滤波器的系统函数。去归一化，求出实际滤波器的系统函数。 C7439rad/sc1.1840kHz (2 )ff（去归一化）得到实际模拟低通系通函数（去归一化）得到实际模拟低通系通函数 c caLPaLP234=4 c432234 c c c c151512824341( )( )12.6131 +3.41422.61312.61313.41422.61313.0624 103.0624 101.0757 101.8893 101.9438 10ssssHsHsssssssssssss315.3 5.3 冲激响应不变法冲激响应不变法5.3.1

31、5.3.1变换原理变换原理( )()ah nThnT冲激响应不变法是用数字滤波器对应的时域单位脉冲冲激响应不变法是用数字滤波器对应的时域单位脉冲响应响应h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应模仿模拟滤波器的冲激响应h(t)。其过程如下。其过程如下aa( )( )( )( )tnTZHsh th nH z 拉氏反变换离散化变换a( )h ttnTa( )h ta( )h t对模拟滤波器的系统函数求拉氏逆变换，得到模仿模拟对模拟滤波器的系统函数求拉氏逆变换，得到模仿模拟滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应 ，用，用 离散化离散化 ，使使h(n)的的序列值正好等于序列值正好等于 的离散点上的采样值，即有的离散

32、点上的采样值，即有a( )()h nh nT由由h(n)的的Z变换和抽样信号变换和抽样信号的拉氏变换之间的变换关系的拉氏变换之间的变换关系aae12( )( )(j)sTzkkH zHsHsTT取取 32两者之间的转换是两者之间的转换是s平面与平面与z平面之间的映射关系即平面之间的映射关系即 esTz 下面讨论下面讨论s平面到平面到z平面的映射关系，由图平面的映射关系，由图5-9可见：可见：图图5-9 冲激响应不变法映射关系冲激响应不变法映射关系332/T2/T2/T( )H za( )HsesTz s s平面左半平面纵轴方向，每条宽度为平面左半平面纵轴方向，每条宽度为 横条都重叠横条都重叠地

33、映射到地映射到z z平面的单位圆内。平面的单位圆内。 s s平面右半平面纵轴方向，每条宽度为平面右半平面纵轴方向，每条宽度为 横条都横条都重叠地映射到重叠地映射到z平面的单位圆外。平面的单位圆外。，在单位圆上兜一圈。这些特点正是反映了在单位圆上兜一圈。这些特点正是反映了 和和之间的变换关系，即之间的变换关系，即 s平面的虚轴上都映射到平面的虚轴上都映射到z平面的单位圆上。这部分平面的单位圆上。这部分也是重叠映射，也是重叠映射，s平面的虚轴上每段长度为平面的虚轴上每段长度为注意：注意：a.此种映射关系不遵从简单代数映射关系此种映射关系不遵从简单代数映射关系 b.b.用这种方法离散化在频率高时必然

34、混叠用这种方法离散化在频率高时必然混叠 c.这种离散化方法不会对稳定性带来问题。这种离散化方法不会对稳定性带来问题。345.3.2 5.3.2 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)()()(对应滤波器的冲激响应为对应滤波器的冲激响应为)(tha对对 求求z变换，变换，得到数字滤波器的系统函数得到数字滤波器的系统函数 )(nh 为了使讨论问题简单化，假定模拟滤波器的系统函为了使讨论问题简单化，假定模拟滤波器的系统函数数H Ha a( (s s) )只有单阶极点（共轭和重阶也可参照信号与系统只有单阶极点（共轭和重阶也可参照信

35、号与系统处理），且分母的阶次大于或等于分子的阶次处理），且分母的阶次大于或等于分子的阶次（模拟滤波器的可实现性要求）将（模拟滤波器的可实现性要求）将H Ha a( (s s) )展开部分分式展开部分分式形式，其形式为形式，其形式为110110( )( )(e)(e)kkNNs Ts TnnnkknnkknH zh n zTAzTAz351e1ks Tzeks Tz若若 或或 ，级数收敛，级数收敛，Z Z变换存在，利用变换存在，利用等比级数前等比级数前N N项和公式有项和公式有111011( )(e)1 ekkNNs Tnkks TknkH zTAzTAz与模拟系统滤波器系统函数部分分式展开形式

36、比较，则与模拟系统滤波器系统函数部分分式展开形式比较，则a111( )( )1 ekNNkks TkkkATAHsH zsszeks Tz 0ksse0ks Tz 两者的系统函数比较有如下的对应关系。两者的系统函数比较有如下的对应关系。两者部分分式展开式差一个系数两者部分分式展开式差一个系数T T 。eks Tz s s平面单极点平面单极点s s= =s sk k变换到变换到z z平面上平面上 处单阶处单阶极点，极点， 和和 为各自系统的特征方程为各自系统的特征方程（求极点）。（求极点）。稳定的模拟滤波器一定映射为稳定的数字滤波器。稳定的模拟滤波器一定映射为稳定的数字滤波器。36 设计滤波器时

37、，设计滤波器时， 都是实数，因此都是实数，因此 的极点一定的极点一定是以共轭形式出现。对于这种共轭极点，是以共轭形式出现。对于这种共轭极点， 形成二阶的形成二阶的基本节，其模拟滤波器的二阶基本节与数字滤波器二阶基本基本节，其模拟滤波器的二阶基本节与数字滤波器二阶基本节的对应的两种形式节的对应的两种形式)(tha)(sHa)(sHa22()kkkss kkkjs极点极点TkTkTkkkezTezTez2211cos21cos11 1。2 2。22()kkks kkkjs 极点极点12121sin12coskkkTkTTkz eTz eTze37冲激响应不变法设计的数字滤波器具有模拟滤波器的冲激响

38、应不变法设计的数字滤波器具有模拟滤波器的相似特性（两者频率成现性关系相似特性（两者频率成现性关系 ）。）。5.3.3 5.3.3 冲激响应不变法实现步骤冲激响应不变法实现步骤T 用冲激响应不变法设计数字滤波器（低通和带通）的主用冲激响应不变法设计数字滤波器（低通和带通）的主要步骤如下要步骤如下: : 1 1确定数字滤波器性能指标确定数字滤波器性能指标 数字低通指标：两个边界频率数字低通指标：两个边界频率 、 和两个和两个衰减衰减 、 。pp()(),ss 、（pspsps。 数字带通指标：通带上、下边界频率，阻带上、数字带通指标：通带上、下边界频率，阻带上、下边界频率和两个衰减下边界频率和两个

39、衰减 、 。2 2将数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标将数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标 数字低通指标转换成模拟低通指标（用公式数字低通指标转换成模拟低通指标（用公式 T、） 衰减不变衰减不变38 数字带通指标转换成模拟带通指标（用公数字带通指标转换成模拟带通指标（用公式式 ）。）。Tp1 p2 p s1s2 s(、），（，） 模拟带通指标转换成模拟低通指标模拟带通指标转换成模拟低通指标、两个衰减保持不变。两个衰减保持不变。3 3按照模拟滤波器的设计方法，设计归一化模拟低通按照模拟滤波器的设计方法，设计归一化模拟低通滤波器。滤波器。4 4求实际模拟滤波器的系统函数求实际模拟滤波器的系统函数

40、（去归一化）（去归一化）a( )Hs5 5利用冲激响应不变法离散化，将模拟滤波器系统函利用冲激响应不变法离散化，将模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数。数转换成数字滤波器系统函数。 模拟低通到数字低通直接离散化。模拟低通到数字低通直接离散化。 数字带通滤波器设计，则要将模拟低通变换为模拟数字带通滤波器设计，则要将模拟低通变换为模拟带通，再将其离散化成数字带通滤波器。带通，再将其离散化成数字带通滤波器。39a23( )54Hsss1T a2311( )1454Hsssss【例【例5-35-3】 设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为 , , 试利用冲激响应不变法设计试利用冲激响应

41、不变法设计IIRIIR数字滤波器。设采数字滤波器。设采样周期为样周期为 。解：模拟滤波器系统函数展开为部分分式（两个解：模拟滤波器系统函数展开为部分分式（两个一阶节一阶节）所以数字滤波器系统函数与之对应的一阶的形式如下所以数字滤波器系统函数与之对应的一阶的形式如下114( )1e1eTTTTH zzz将采样周期将采样周期 代入则有代入则有1T 1120.34956( )1 0.38620.0067zH zzz40aa2j3(j )( )5j4sHHs jjjej2j0.3496e(e)( )10.3862e0.0067zHH z 模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为数字滤波器的频率响应

42、为数字滤波器的频率响应为415.3.4 5.3.4 冲激响应不变法的优点和缺点冲激响应不变法的优点和缺点 冲激响应模仿模拟滤波器，时域特性逼进近程度好。冲激响应模仿模拟滤波器，时域特性逼进近程度好。 模拟角频率和数字角频率之间为线性关系即模拟角频率和数字角频率之间为线性关系即T冲激响应不变法的优点如下冲激响应不变法的优点如下保证频率之间不存在失真，保持离散化后的不变性保证频率之间不存在失真，保持离散化后的不变性 转换关系简单，并有现成的一阶和二阶基本节，转换时转换关系简单，并有现成的一阶和二阶基本节，转换时所需的部分分式展开形式亦可借助于所需的部分分式展开形式亦可借助于MATLAB环境。环境。

43、冲激响应不变法的缺点如下冲激响应不变法的缺点如下 高频频谱混叠高频频谱混叠 混叠是冲激响应不变法固有的缺点混叠是冲激响应不变法固有的缺点仅适合于低通、带通滤波器设计仅适合于低通、带通滤波器设计425.4 5.4 双线性变换法双线性变换法5.4.15.4.1变换原理变换原理 为了克服冲激响应不变法离散化产生的频率混叠失真，为了克服冲激响应不变法离散化产生的频率混叠失真，双线性变换法采用两次映射的方法，如下所述。双线性变换法采用两次映射的方法，如下所述。 频率轴压缩频率轴压缩 多值映射转化成一一对应的单值映射多值映射转化成一一对应的单值映射 稳定性不变性稳定性不变性问题：频率畸变性（连续频率与数字

44、频率转换的非线性）问题：频率畸变性（连续频率与数字频率转换的非线性）映射关系如图映射关系如图5-15所示所示 43图图5-15 双线性变换映射关系双线性变换映射关系TT（）第一，第一，s平面映射到平面映射到s1平面上的水平带域平面上的水平带域（相当于频率轴压缩）。（相当于频率轴压缩）。44第二，第二，s s1 1平面上的水平带域平面上的水平带域 映射至映射至z z平面。平面。TT（）第三，稳定性不变性。第三，稳定性不变性。 通过上述两次映射，将整个通过上述两次映射，将整个s平面到平面到z平面上多值映射平面上多值映射 变成一点对一点的单值映射，消除了多值映射造成的混变成一点对一点的单值映射，消除

45、了多值映射造成的混叠。由三个平面之间的映射关系，决定了双线性变换法叠。由三个平面之间的映射关系，决定了双线性变换法保证系统稳定性不会因离散化而带来稳定性问题。保证系统稳定性不会因离散化而带来稳定性问题。455.4.2 5.4.2 模拟滤波器数字化方法模拟滤波器数字化方法11jsjs 可得可得s s平面到平面到s s1 1平面的关系为平面的关系为 / /TT（）把把s s平面映射到平面映射到s s1 1平面的水平带域平面的水平带域取两个平面之间的变换关系为：取两个平面之间的变换关系为： 1tan2Tc当当 频率轴压缩频率轴压缩 1T ，C：为预畸变待定常数，：为预畸变待定常数， ：是：是s平面的

46、连续频率，平面的连续频率， 1 ：是：是s s1 1平面的频率，平面的频率， 1T 利用欧拉公式改写上式为利用欧拉公式改写上式为 1 1 1 1 1jj22jj 1222jsinee2jj2cosee2TTTTTccT令令46 1 1 1 1 1jj22jj 1222jsinee2jj2cosee2TTTTTccT1es Tz 利用利用 （代入上式）的变换关系，映射（代入上式）的变换关系，映射s s1 1平面到平面到z z平面，则有平面，则有1111zscz以及以及scscz上式称为双线性变换上式称为双线性变换(分子、分母均为线性关系）分子、分母均为线性关系）C C：用来调解模拟频率和数字频率

47、之间的对应关系：用来调解模拟频率和数字频率之间的对应关系（频率预畸变，（频率预畸变，选择选择c通常有两种方法通常有两种方法,如下所述如下所述 ）（1 1）在低频频率处使模拟滤波器和数字滤波器有较确切）在低频频率处使模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应关系的对应关系，（即（即 ，条件是低频时），条件是低频时） 147 1 1tan22TTcc由由令令 有有 122tantan22TTT12cT 1T1)T 可见模拟与数字频率相等（利用可见模拟与数字频率相等（利用，当低频时当低频时, ,且且）。 s s平面和平面和z z平面的映射关系（双线性变换）为平面的映射关系（双线性变换）为 1122 12/

48、tan,22/1zTsszTTTsz可见在低频时，模拟滤波器和数字滤波器的特性很相近可见在低频时，模拟滤波器和数字滤波器的特性很相近（模拟和数字频率近似相等）。（模拟和数字频率近似相等）。48T由对应关系由对应关系 ，若希望有，若希望有 CC对于对于）（）（22)2tan()2tan(1ccccottanccTc c则有：则有：)2cot(cCc cc cT（2 2）模拟滤波器在某一特定频率处（）模拟滤波器在某一特定频率处（ ）和数字滤波器和数字滤波器的某一频率（的某一频率（ ）有严格的对应关系。即）有严格的对应关系。即 第二种方法选择第二种方法选择c c，仅仅保证模拟滤波器特定频率点，仅仅保

49、证模拟滤波器特定频率点及其附近频率与数字滤波器频率的某个频率对应，而且及其附近频率与数字滤波器频率的某个频率对应，而且频率响应完全相等，可以准确控制截止频率的位置。但频率响应完全相等，可以准确控制截止频率的位置。但在其他点，两个平面的频率呈现非线性关系。当强调某在其他点，两个平面的频率呈现非线性关系。当强调某一点及其附件的频率响应时，用第二种方法。一点及其附件的频率响应时，用第二种方法。强调：强调：双线性变换方法消除频率混叠是以牺牲频率的双线性变换方法消除频率混叠是以牺牲频率的线性变换关系为代价的。线性变换关系为代价的。495.4.3 5.4.3 双线性变换法实现步骤双线性变换法实现步骤)2t

50、an(c利用双线性变换法设计利用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器的步骤如下。数字低通滤波器的步骤如下。ps、ps、确定数字低通滤波器指标设计（两个边界频率：通带确定数字低通滤波器指标设计（两个边界频率：通带和阻带边界频率，分别为和阻带边界频率，分别为 ；两个衰减：通带最两个衰减：通带最大衰减和阻带最小衰减，分别为大衰减和阻带最小衰减，分别为数字低通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标数字低通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标（两个边界频率和两个衰减，利用（两个边界频率和两个衰减，利用 转换边界转换边界频率：频率： ，两个衰减保持不变）。两个衰减保持不变）。 c css，按照转换过来的技术指标

51、设计归一化模拟低通滤波器按照转换过来的技术指标设计归一化模拟低通滤波器（设计方法同前），去归一化得到所要求的实际的模拟（设计方法同前），去归一化得到所要求的实际的模拟滤波器的系统函数滤波器的系统函数a( )Hs利用双线性变换公式，将模拟低通滤波器系统函数转利用双线性变换公式，将模拟低通滤波器系统函数转换为数字低通滤波器系统函数（直接代入双线性公式，换为数字低通滤波器系统函数（直接代入双线性公式，参见下式）。参见下式）。50111a1( )( )zs czH zHs一般情况下，一般情况下，c c取取2/2/T T，T T取取1 1（还可以按特定频率（还可以按特定频率确定取确定取c c值，即值，即

52、 ） 双线性变换法从根本上消除了频率混叠。双线性变换法从根本上消除了频率混叠。c ccot2c采样周期采样周期T T可任选，为简化取可任选，为简化取T T = 1 = 1。 ca c( )Hss【例【例5-55-5】 已知一阶模拟低通滤波器系统函数为已知一阶模拟低通滤波器系统函数为其中其中 为其为其3dB3dB带宽。用双线带宽。用双线性变换法将其转换为数性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数字滤波器的系统函数H(z)，并要求其，并要求其3dB带宽为带宽为p0.1解：解：1将数字低通滤波器指标（两个边界频率和两个将数字低通滤波器指标（两个边界频率和两个衰减）转换为模拟低通滤波器指标：衰减）转换为

53、模拟低通滤波器指标： c51利用频率转换公式利用频率转换公式 , ,将数字滤波器将数字滤波器3dB3dB带带宽频率宽频率 ,转换为模拟滤波器的通带转换为模拟滤波器的通带3dB3dB截止频率截止频率 ，模拟滤波器的通带截止频率为模拟滤波器的通带截止频率为cctan2c p p 两个衰减两个衰减 cctan(/2)ctan(0.1 57.3 0.5)0.1583cc本题对衰减指标没要求，给出一阶模拟低通滤波器的系本题对衰减指标没要求，给出一阶模拟低通滤波器的系统函数，因此省略了求一阶模拟低通系统函数的步骤，统函数，因此省略了求一阶模拟低通系统函数的步骤，确定模拟滤波器的通带确定模拟滤波器的通带3d

54、B3dB截止频率截止频率 后，直接离散化后，直接离散化. c将将 代入模拟滤波器的系统函数中，则有代入模拟滤波器的系统函数中，则有 c0.1583c c c0.1584( )0.1584cH sssc522 2利用双线性变换公式利用双线性变换公式 将模拟低通滤波器将模拟低通滤波器系统函数转换为数字低通滤波器的系统函数系统函数转换为数字低通滤波器的系统函数 1111zscz111111111110.1584(1)0.1367(1)0.1584( )( )110.1584(1)1 0.72650.15841zs czzzcH zH szzzzccz（注意：已经求出的（注意：已经求出的 是预畸变的）

55、。是预畸变的）。c( )H z3. 求数字滤波器的频率响应（令求数字滤波器的频率响应（令 代入代入 ),则有则有） jezjjjej0.1367(1 e)(e)( )1 0.7265ezHH z4.4.验证指标验证指标0时，时， j201(e)0g H0.1时，时， j201g(e)3dBH 满足设计要求。满足设计要求。 53总结双线性变换的优点和缺点。总结双线性变换的优点和缺点。优点：优点： 从根本上避免了频率混叠现象；从根本上避免了频率混叠现象； 通过常数通过常数c c 的选择可以预畸变（可以在低频或在的选择可以预畸变（可以在低频或在特定频率点处）；特定频率点处）； 离散化简单，只需将离散

56、化简单，只需将 代入模拟低通滤波代入模拟低通滤波器的系统函数中替换器的系统函数中替换s即可。即可。1111zscz对于低通、高通、带通和带阻滤波器均可离散化对于低通、高通、带通和带阻滤波器均可离散化 缺点：缺点： 连续与数字频率之间为非线性关系，转换后的幅频连续与数字频率之间为非线性关系，转换后的幅频和相频特性与原模拟滤波器的幅相特性有偏离。和相频特性与原模拟滤波器的幅相特性有偏离。 545.5 5.5 模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器本节介绍用频率域变换法设计本节介绍用频率域变换法设计IIR滤波器，有两种方法：滤波器，有两种方法：数字频率数字频率数字频率变

57、换（简称为数字域频率变换数字频率变换（简称为数字域频率变换模拟频率模拟频率模拟频率变换（模拟域频率变换或模拟频率变换（模拟域频率变换或s域频率变换法）域频率变换法）法，或法，或z域频率变换法）。域频率变换法）。1 1模拟域频率变换法设计模拟域频率变换法设计IIRIIR滤波器的基本步骤滤波器的基本步骤 确定的数字滤波器的性能指标，按照某种频率转确定的数字滤波器的性能指标，按照某种频率转换关系，转换成与数字滤波器同一类换关系，转换成与数字滤波器同一类型型（低通、高通、（低通、高通、带通和带阻滤波器）的模拟滤波器的性能指标（注意：带通和带阻滤波器）的模拟滤波器的性能指标（注意：冲激响应不变法和双线性

58、变换法离散化，频率转换用冲激响应不变法和双线性变换法离散化，频率转换用不同的公式）。不同的公式）。55 用模拟域频率变换转换成模拟低通指标，设计归一用模拟域频率变换转换成模拟低通指标，设计归一化模拟低通原型滤波器。化模拟低通原型滤波器。 用频率域变换转换成与数字滤波器同一类型的用频率域变换转换成与数字滤波器同一类型的模拟滤波器（高通、带通和带阻滤波器）。模拟滤波器（高通、带通和带阻滤波器）。 用离散化方法（注意方法适用范围），将模拟滤波器用离散化方法（注意方法适用范围），将模拟滤波器系统函数离散化成要设计的数字滤波器的系统函数。系统函数离散化成要设计的数字滤波器的系统函数。2数字域频率变换法设

59、计数字域频率变换法设计IIR滤波器的基本步骤滤波器的基本步骤 将数字滤波器的性能指标转换为与数字滤波器同一类将数字滤波器的性能指标转换为与数字滤波器同一类（低通、高通、带通和带阻滤波器）型的模拟滤波器指标（低通、高通、带通和带阻滤波器）型的模拟滤波器指标（冲激响应不变法和双线性变换法离散化，频率转换用不（冲激响应不变法和双线性变换法离散化，频率转换用不同的公式）。同的公式）。56 用模拟域频率变换转换成模拟低通指标，设计归一化用模拟域频率变换转换成模拟低通指标，设计归一化模拟低通原型滤波器。模拟低通原型滤波器。 用离散化方法（两种方法选择其中之一，根据滤波器的用离散化方法（两种方法选择其中之一

60、，根据滤波器的类型而定），将模拟低通滤波器系统函数离散化成数字类型而定），将模拟低通滤波器系统函数离散化成数字低通滤波器的系统函数。低通滤波器的系统函数。 用数字域频率变换法将数字低通滤波器系统函数转换用数字域频率变换法将数字低通滤波器系统函数转换成所要设计的数字滤波器的系统函数。成所要设计的数字滤波器的系统函数。两种频率设计法的流程以框图形式给出，如图两种频率设计法的流程以框图形式给出，如图5-18所示。所示。57图图5-18 通过频率变换法设计通过频率变换法设计IIR滤波器滤波器模拟域频率变换法设计模拟域频率变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 用模拟频率用模拟频率模拟频率变换方法设计，在