必修213空间几何体表面积体积知识点

1、陵柱柱体：圆柱柱体、链像台体的衰面快与体枳必修21.3空间几何体的表面积、体积及面积：S&-2$出(S力神.r怖一(/)体根：YKIt=SA表面积:S收=2"?十2k/体枳：V'楣柱=7tr2h表面板:5裳S.十S底(§正.柞部=J('h棱雄I体租4%田=；5A表面枳wH衣=4-1"C/nr+kH体,iK.衣面积工5盘=Se+Sf+§M(5正.行创=；(+(")/)楼台体枳W莅对二4(S十JS彳+S')A衣面积？5嶷=51+5f+5#i(5*长君=-(C+匕"H=穴"+r'"

2、解台体积工V国詹二*t(H+4+/?)14例1已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体SABC(图6),求它的表面积图6分析：由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求SBC的面积，过点S作SDLBC,交BC于点D./222a233SB-BD=a-)=-a,所以Sasbc=1BCSD='a=3a2.39因此，四面体S-ABC的表面积S=4Xa24变式训练1 .已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱侧面积为S,求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为1,因为圆柱的侧面积为S,圆柱的底面半径为r,即S圆柱

3、侧=S,根据圆柱的侧面积公式SS可得：圆柱的母线(高)长为,由题意得圆锥的高为,又圆锥的底面半径为r,根据勾股定理，圆2 r2r'2,S、2一锥的母线长l=1.r+()，根据圆锥的侧面积公式得：2二rc2/S、2,4二2r4S2S圆锥侧=兀1=兀rr+()=.、2二J22.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是()A.1：2：3B.1：7：19C.3：4：5D.1：9：27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1：2：3,于是自2 2二12上而下二个圆锥的体积之比为(-rh)：(2r)2h:(3r)3

4、h=1：8：27,所以圆锥被分成的三3 33部分的体积之比为1：(81):(27-8)=1：7：19.答案：B3.三棱锥VABC的中截面是A1B1C1,则三棱锥VA1B1C1与三棱锥A一ABC的体积之比是()A.1：2B.1：4C.1：6D.1:8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4,将三棱锥A-AiBC转化为三棱锥AiABC,这样三棱锥VA1B1C1与三棱锥A一ABC的高相等，底面积之比为1：4,于是其体积之比为1：4.答案：B例2如图7,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长为15cm.为了美化花盆

5、的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆?兀取3.14,结果精确到1毫升)图7解：如图7,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积°15 2 15201.5 2S=it （一）+M15 + 一父15-兀（一）=12222000（cm2）=0.1（m2）.涂100个这样的花盆需油漆：0.1>100X100=1000（毫升）答：涂100个这样的花盆需要1000毫升油漆.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50cm,横截面半径为10cm的圆柱形刷子给一块面积为10m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完

6、成任务所需的时间是多少？(精确到0.01秒)解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,圆柱的侧面积为S侧=2兀1=2兀0.10.5=0.1兀m2,又二.圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动,圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5兀m2,2因此油漆工完成任务所需的时间t=10m2=206.3秒.0.5二m二2.已知三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,则三棱锥体积的最大值是.分析：由题意得三棱锥的体积是lxlxy=lx（4-x）=-1（x-2）2+-,由于x>0,则当x=2时，三棱锥的3 26632体积取最大值2.3-2答案：23例3有一堆规格

7、相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8kg,已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个？（兀取3.14）图8解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=X122X6M0-3.14(X10)2X1042956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为5.8X1000+(7.8X2.956)*52(答：这堆螺帽大约有252个.变式训练如图9,有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立.（精确到0.01秒）方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的

8、时间解：如图10,设水面的半径为图9r,则EH=r-2分米，BG=2分米,图10在ABG中，EH/BGAHEH=.,.,AH=2分米，AGBG2.，r=14分米.525当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V水=1兀3：（14）2+14>4+42=876工立方分米,35525876二，所用的时间为3=当丝=36.6部.325答：所用的时间为36.69秒.自我测试1 .正方体的表面积是96,则正方体的体积是（）A.48、6B.64C.16D.96分析：设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,则正方体的体积是a3=64.答案：B2 .如图19所示，圆锥的底面半径为1,高为J3,则圆

9、锥的表面积为（）A.兀B.2%C.3ttD.4tt国19分析：设圆锥的母线长为l,则1=百11=2,所以圆锥的表面积为S=兀X1N1+2）=3兀.答案：C3 .正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2-73,则这个正三棱锥的体积是（）27927.393A.B.-C.D.分析：可得正三棱锥的高h=（2，与）2_（J3）2=3,于是丫=13'?2?"91.344答案：D4 .若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的倍.分析：圆柱的体积公式为V圆柱=兀2乩底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体

10、积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.答案：4 165 .图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA i的中点.现在沿 GFH所在平面锯掉正方体的一个 角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以 HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形 AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥解：设正方体的棱长为 a,则正方体的体积为 a3.三棱锥的底面是 RtAAGF,即/ FAG为90° , G、F又分别为 AD、AAi的中点，所以11110以4A

11、GF的面积为max a=a .又因AH是三棱锥的局，H又是AB的中点，所以2228 111c1c掉的部分的体积为1 1a1a2='a3.3 28481 331.1又因一 a3 -：- a3 = 一，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的一.484848C 1AF=AG= a .所21-AH= a .所以锯26 .已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S,则圆锥的底面面积是 分析：如图21,设圆锥底面半径为r,母线长为1,由题意得-l2 =S. 一 S 一 一 一«2'解得厂，士-,所以圆锥的底面积为, c2 二二 1 = 2 r,兀 r2=二图217.如图22,一个正三棱柱容器，底面边长为a,高为2a,内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面,如图23,这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是.Cl图22图23分析：图22中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S“Bch.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底33 3S.ABC*2a3