弹性力学：有限差分发和变分法

1、2022-3-3第五章用差分法和变分法解平面问题NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导0 xy0312456789101112A1314Bhh,ff x yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxxNORTHEASTERN

2、 UNIVERSITY弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导0,0 xh0,0 xhh22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fxNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程220fx5 51 1差分公式的推导差分公式的推导130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导 65782

3、130068572222214ffffffyyffhhx yxyhhffffh 40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffx yhffffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 51 1差分公式的推导差分公式的推导fxyNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解 当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定

4、边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解1、应力分量（不计体力） 一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。0 xy0312456789101112A1314Bhh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各结点的如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。

5、值，就可以求得各结点的应力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解双调和方程 对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。444422420 xxyy整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解 当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将

6、涉及边界上各结点处的 值，并包含边界外一行的虚结点处的 值。为了求得边界上各结点处的 值，须要应用应力边界条件，即： xyxxxyyylmflmf 在 上s代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解由图（52）可见cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx图5-2因此，式（b）可以改写成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx

7、NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解约去 dy、dx 得： xyddffdsydsx ； （c）关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点 A 到 任意点B ，对 s 积分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解由高等数学可知，ddd.dddxysxsys 将此式亦从 A 点到 B 点沿 s 进行积分，就得到边界上任一点 B 处的 值。为此利用分部积分法，得：

8、 dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx图5-2NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解将式(c),(d)代入，整理得：由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设 已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点B的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()()d()dBBBABABABx

9、ByAAAAxxyyyy psxxpsxy（e）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解于是式(d)，式(e) 简化为：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 讨论：（1）（511）右边积分式表示AB之间， 方向的面力之和；x（2）（512）右边积分式表示AB之间， 方向的面力之和；y（3）（513）右边积分式表示AB之间， 面力对B的力矩之和；y（4）以上结果不能用于多连体的情况。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2

10、应力函数的差分解应力函数的差分解边界外一行的虚节点的 值139141022ABhxhx（514）0 xy0312456789101112A1314Bhh1392Axh14102AyhNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（2）应用公式（514），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相 应结点处的 值来表示。0AAAxy取 （1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于边界方向的导数值。xy（3）对边界

11、内的各结点建立差分方程（510），联立求解这些结点处的 值。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 52 2应力函数的差分解应力函数的差分解（5）按照公式（59）计算应力的分量。 说明： 如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（510）必须加以修正。（4）按照公式（513），算出边界外一行的各虚结点处的 值。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 54 4弹

12、性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 11d d dd dd2ijijUU x y zxyz NORTHEASTERN UNIVERSITY弹

13、性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111,xyxyxyxyUUU（515）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能222121222 1Euvu vvuUxyxyxy 21EE1平面应力 平面应变22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）NORTHEASTERN UNIVE

14、RSITY弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 54 4弹性体的变形势能和外力势能弹性体的变形势能和外力势能,xyffs,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAswf uf v dxdyf uf v ds（517）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 55 5 位移变分方程位移变分方程NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程 设有任一弹性体，在一定外力作用

15、下处于平衡状态。命 为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。, ,u v w 假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移虚位移，或位移变分位移变分, uv,uuuvvv对于三维时：,uuuuuuwww一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）注：变分和微分都是微量，运算方法相同。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程给出弹性体的限制条件：给出弹性体的限制条件：（1）没有温度改变（热能没变）；（2）没有速度改变（动

16、能没变）。根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功）三维：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程）xyxyAsUfufv dxdyfufv ds体力的虚功面力的虚功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程二、虚功方程二、虚功方程按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入

17、位移变分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程对应于二维情况sxyxyAxxyyxyxyAfufv dxdyfufv dsdxdy （524） （524）就是虚功方程虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功虚功。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 55 5位移变分方程位移变分方程三、

18、极小势能原理三、极小势能原理令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds将变分与定积分交换次序，移项0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 极小势能原理极小势能原理： （523） 0UVNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程极小势能原理极小势能原理： （523） 0UV5 55 5位移变分方程位移变分方程 在给定外力作用下，

19、在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。 位移变分方程（极小势能原理或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程5 56 6 位移变分法位移变分法NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程56位移变分法位移变分法：位移变分法：（1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；（2）使它们满足位移边界条件；（3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求 出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。（1）位移分量表达式）位移分量表达式

20、00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐标的函数，是坐标的函数， 为为2m个互不依赖的待定系数个互不依赖的待定系数。00,u v,mmuv,mmABNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程（2）考察是否满足边界条件？56位移变分法令 等于给定约束位移值 ；us,u vus在边界 上，令 等于零。,mmuv边界条件满足边界条件满足（3）怎样满足变分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds体力的虚功面力的虚功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程位移分量的变分56位移变分法,mmmmm

21、muuAvvB注：位移分量的变分是由系数 的变分来实现的。,mmAB（a）形变势能的变分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入变分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uAf vBdsNORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程56位移变分法移项，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB变分 是任意的，互不依赖的，所以系数必须为零,mmAB00 x mx mAsmy my mAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v

22、dsB（526）讨论：（1）由于系数互不依赖，所以可由方程（526）求出各个系数；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求应变和应力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程57位移变分法的例题例1：如图（59）所示薄板，不计体力， 约束和外力如图。图：591 111 11uAuAxvBvB y（1）取位移分量表达式如下（2）考察是否满足边界条件？满足22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形变势能（b）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程57位移变分法的例题形变势能的表达式22111120022 1abEUABA B dxdy 进行积分221111222 1EabUABAB由于不计体力，项数为1，（526）简化为1111xsysUf u dsAUf v dsB（c）（d）（e）代入边界条件积分NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程57位移变分法的例题（d），（e）式就变为1211,UUq abq abAB