等比数列(教案+例题+习题)

1、二、等比数列1.等比数列的判断方法：定义法，其中或。例1“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，当首项a1<0时，an<0，则an>an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，cR，此时有，但数列a

2、,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。（1）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_；（2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列是等比数列。2.等比数列的通项：或。3.等比数列的前和：当时，；当时，。例2一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a，aq，

3、aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比数列为2，6,18或，。点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。（1）设等比数列中，前项和126，求和公比. （2）等比数列中，2，S99=77，求；（3）的值为_；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。4.等比中项：若成等比数列，那么A叫做与

4、的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。5.等比数列

5、的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.练一练：在等比数列中，公比q是整数，则=_；(2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 练一练：在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_ _；(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 (5) .如设等比数列的公比为，前项和为，

6、若成等差数列，则的值为_ ；(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 ；例3在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189解析：解：设等比数列an的公比为q(q>0)，由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21

7、,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C。等比数列课后练习一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1在等比数列an中，a7·a116，a4a145，则()A.B. C.或 D或2在等比数列an中a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n13设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23 C34 D134已知等比数列an中，an>0，a10a11e，则lna1lna2lna20的值为(

8、)A12 B10 C8 De5若数列an满足a15，an1(nN*)，则其前10项和是()A200 B150 C100 D506.在等比数列an中，a1a2an2n1(nN*)，则aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7数列an中，设数列an的前n项和为Sn，则S9_.8数列an的前n项之和为Sn，Sn1an，则an_.9an是等比数列，前n项和为Sn，S27，S691，则S4_.10设数列an的前n项和为Sn(nN)，关于数列an有下列四个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，则an是等差数列若Sn1(1)n，则an是等比数列若an是等比数列，则Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比数列其中正确的命题是_(填上正确命题的序号)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知数列an中，a11，前n项和为Sn，对任意的自然数n2，an是3Sn4与2Sn1的等差中项(1)求an的通项公式；(2)求Sn.12设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m