1211方程的根与函数的零点课件

1、 方程的根方程的根 和和 函数的零点函数的零点方程方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根方程的根函数函数函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与函数的图象与x轴的交点轴的交点探究：探究：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根无实数根2-2-43-11 2Oy423-11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点两个交点 (-1,0)，(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点xy=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3以以a a0 0为为例例方程方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根方

2、程的根函数函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与函数的图象与x轴的交点轴的交点结论：一元二次方程的实数根就是结论：一元二次方程的实数根就是相应二次相应二次函数图象与函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标归纳：归纳：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根无实数根2-2-43-11 2Oy423-11 2xOxy423-11 2Oxy两个交点两个交点 (-1,0)，(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点判别式判别式 0= 00)的根的根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1 、x2有两个相等的有

3、两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根x1x2x1(x1,0)，(x2,0)(x1,0)方程的根与相应函数图象有什么联系方程的根与相应函数图象有什么联系 对于函数对于函数y=f(x) 我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点（的零点（zero point)。注意：注意：零点指的是一个实数。零点指的是一个实数。零点是点吗？零点是点吗？互动交流互动交流2、区别：区别：1、联系：联系：数值上相等：求函数零点就是求方程的根数值上相等：求函数零点就是求方程的根.存在性相同：存在性相同：函数函数y=f(x)有零点有零点 方程方程f(x)=0有实数根有实

4、数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言零点对于函数而言，根对于方程而言问题问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？函数的零点与方程的根有什么联系和区别？方程方程f (x)=0有实数根有实数根函数函数y=f (x)有零点有零点 函数函数y=f (x)的图的图象与象与x轴有交点轴有交点辨析练习辨析练习：求下列函数的零点1.1.f(x)x23x2； 2.2.f(x)2x3.f(x)log2(x1)求函数零点的方法：(1) 方程法(2) 图象法甲原来在河的北岸甲原来在河的北岸,现在在河的南岸现在在河的南岸,能断定甲过河了吗能断定甲过河了吗?过

5、了几趟过了几趟?乙原来在河的北岸现在还在河的北岸乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河乙有没有过河?过了几趟过了几趟?甲甲 甲甲乙乙 乙乙观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”) 在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c) _ 0(“”或或“”) 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d) _ 0(“”或或”) 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyOabcd零点存在性的探究：零点

6、存在性的探究：思考：思考：在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数yf(x)在区间在区间a,b上存在零点？上存在零点？ 观察下面函数图象思考观察下面函数图象思考: :虽然函数虽然函数f(x) 满足了满足了f(-1)f(1)0,但它在但它在区间区间(-1,1)上却没有零点上却没有零点,为什么为什么? 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是连续不断的一条曲线象是连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f

7、(x)=0的根。的根。函数零点存在性定理：函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc例例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，上连续，且且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（ ）（3）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，且在区间上连续，且在区间(a,b)内存内存在零点，则有在零点，则有 f (a) f(b) 0（ ）（4）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b 满足满足f (a) f(b) 0，则

8、，则f(x)在在区间区间(a,b)内存在零点内存在零点.（ ）abOxyabOxyabOxy画图象举反例：画图象举反例：函数零点存在定理的三个注意点：函数零点存在定理的三个注意点： 1 1 函数是连续的。函数是连续的。 2 2 定理不可逆。定理不可逆。 3 3 至少存在一个零点，不排除更多。至少存在一个零点，不排除更多。例例3. .求证求证:函数函数f(x)= x3+x2+1在区间在区间(-2，-1)上存在零点上存在零点. 证明证明: 因为因为 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-30且函数且函数f(x)的图象在区间的图象在区间-2,-1上是不间断的上是不间断的,所以函数所以函数f(x)

9、在区间在区间(-2,-1)上存在零点上存在零点 f(-2) f(-1)0解法解法1：利用计算机作出函数的图像，然后判断利用计算机作出函数的图像，然后判断与与X轴交点的个数轴交点的个数例例4 求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，的零点的个数，并确定并确定零点所在的区间。零点所在的区间。零点存在性定理的应用：零点存在性定理的应用：由表可知由表可知f(2)0，从而，从而f(2)f(3)0， 又又f(x)在区间在区间2,3上连续上连续 函数函数f(x)在区间在区间(2,3)内有零点内有零点由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，内是增函数，所以它仅有一个零点所以它

10、仅有一个零点用计算器或计算机列出用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：的对应值表：例例4 求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，的零点的个数，并确定并确定零点所在的区间。零点所在的区间。解法解法2零点存在性定理的应用：零点存在性定理的应用：问题问题6:如何说明零点的唯一性？如何说明零点的唯一性？ 108642-2-451 2346xyOx123456789f(x)- -4- -1.31.13.45.67.810.0 12.1 14.2f(x)=lnx+2x 6解法解法3：y=2x +6y= lnx例例4 求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，的零点的个数，并确

11、定并确定零点所在的区间。零点所在的区间。零点存在性定理的应用：零点存在性定理的应用：6Ox1 2 3 4y数形结合数形结合lnx+2xlnx+2x6=06=0的根的根lnxlnx=-2x+6=-2x+6的根的根可看成可看成y=y=lnxlnx与与y=-2x+6图像交点的横坐标图像交点的横坐标学以致用学以致用求求f(x)= +3x-7 +3x-7零点的个数零点的个数x x2 2 f(1)f(2)0 又又f(x)在区间在区间1,2上连续上连续函数函数f(x)在区间在区间(1,2)内有零点内有零点方法一方法一： f(1)0 f(1)0f(2)0函数函数f(xf(x) )仅有一个零点仅有一个零点函数函

12、数f(x)在定义域在定义域(-,+)内是增函数内是增函数方法二：方法二：0732 xx732xxxy273 xyx0246105y241086121487643192 2学以致用学以致用思考思考： 1 1. .设设m m为常数，讨论函数为常数，讨论函数 的零点个数的零点个数. .2 2. .若函数若函数 在区间（在区间（-1-1，1 1）内有零点，求实）内有零点，求实数数m m的取值范围的取值范围. .2f(x)x4 x5m 2( )23f xxxm归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识本节课你收获了什么？本节课你收获了什么？一个关系：一个关系：函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系: :函数函数方程方程零点零点根