田间试验与统计方法4方差与协方差分析

1、田间试验与统计方法田间试验与统计方法 4 方差与协方差分析方差与协方差分析目的目的: :方差分析是从整体上对不同因素（多因素方差分析）或相同因方差分析是从整体上对不同因素（多因素方差分析）或相同因素的不同水平（单因素方差分析）对响应变量的影响是否存在素的不同水平（单因素方差分析）对响应变量的影响是否存在差异进行分析的方法。并能通过对数据变异来源的分析，判断差异进行分析的方法。并能通过对数据变异来源的分析，判断哪些因素或因素间交互效应是影响数据差异的众多因素中的主哪些因素或因素间交互效应是影响数据差异的众多因素中的主要因素。要因素。核心问题：核心问题：从数据变异来源角度看从数据变异来源角度看:

2、:观测变量的数据差异观测变量的数据差异= =控制因素来源控制因素来源+ +随机因素来源随机因素来源方差分析正是要分析观测变量的变动是否主要是由控制因素造方差分析正是要分析观测变量的变动是否主要是由控制因素造成还是由随机因素造成的，以及控制因素的各个水平是如何对成还是由随机因素造成的，以及控制因素的各个水平是如何对观测变量造成影响的。观测变量造成影响的。单因素方差分析单因素方差分析(one-way ANOVA)包括多重比较包括多重比较多因素方差分析多因素方差分析(multiple ANOVA)二因素有重复试验资料的方差分析二因素有重复试验资料的方差分析二因素随机区组试验资料的方差分析二因素随机区

3、组试验资料的方差分析目的目的检验单个控制因素的改变是否会给观察变量检验单个控制因素的改变是否会给观察变量带来显著影响带来显著影响. .包括：包括：固定因素的单因素方差分析固定因素的单因素方差分析随机因素的单因素方差分析随机因素的单因素方差分析步骤步骤AnalyzeCompare means One-way ANOVA实例实例-单因素方差分析单因素方差分析例例 调查调查5个不同小麦品系株高是否差异显著个不同小麦品系株高是否差异显著品品 系系IIIIIIIVV164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063

4、.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和和326.5322.0336.5354.0343.0平均数平均数65.364.467.370.868.6分析：分析：5水平水平5重复的单因素（品系）固定模型的重复的单因素（品系）固定模型的方差分析方差分析实例实例-单因素方差分析单因素方差分析实例实例-单因素方差分析单因素方差分析(结果输出结果输出)目的：目的：如果方差分析判断总体均值间存在显著差异，接下来可通过多如果方差分析判断总体均值间存在显著差异，接下来可通过多重比较对每个水平的均值逐对进行比较，以判断具体是哪些水重比较对每个水平的均值逐对进行比较，以判断具体是哪些水

5、平间存在显著差异。平间存在显著差异。常用方法备选：常用方法备选：LSDLSD法：法：t t检验的变形，在变异和自由度的计算上利用了整个样本信息。检验的变形，在变异和自由度的计算上利用了整个样本信息。DuncanDuncan 新复极差测验法新复极差测验法TukeyTukey 固定极差测验法固定极差测验法DunnettDunnett最小显著差数测验法最小显著差数测验法 等等实现手段：实现手段：方差分析菜单中的方差分析菜单中的“Post hoc test”按钮按钮实例实例-多重比较多重比较Post Hoc Test实例实例-多重比较多重比较(结果输出结果输出1)实例实例-多重比较多重比较(结果输出结

6、果输出2)基本思路基本思路: :以两因素的方差分析为例以两因素的方差分析为例: :SSSS总总=SS=SSA A+SS+SSB B+SS+SSABAB+SS+SSe eSSSSABAB表示两因素间的交互效应表示两因素间的交互效应, ,即即: :两个因素各水平之两个因素各水平之间的不同搭配对响应变量的影响间的不同搭配对响应变量的影响. .步骤：步骤： AnalyzeGeneral Linear Model Univariate方差分析后的多重比较方差分析后的多重比较情形情形1：方差分析仅主效应间差异显著，交：方差分析仅主效应间差异显著，交互作用项不显著。互作用项不显著。仅对差异显著的主效应进行多

7、重比较并找出仅对差异显著的主效应进行多重比较并找出最优水平组合。最优水平组合。情形情形2：方差分析发现交互作用项显著。：方差分析发现交互作用项显著。将交互作用项合并成将交互作用项合并成“一项一项”，并对其进行多重，并对其进行多重比较，找出最优组合。比较，找出最优组合。配方（配方（A）食品添加剂（食品添加剂（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689SPSS 方差分析SPSS方差分析后方差分析后 分析结果表明，分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组合选用配方和添加剂可望得到为优组合，按此组合选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。较好

8、的蛋糕质量。实例实例-两因素方差分析两因素方差分析例例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果，试做方差分析。条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果，试做方差分析。 分析：分析：温度温度(A因素因素)和原料和原料(B因素因素)都是固定因素，每一都是固定因素，每一处理都有处理都有4次重复。需考虑次重复。需考虑A、B因素的交互作用的影响。因素的交互作用的影响。实例实例-两因素方差分析两因素方差分析固定因素栏随机因素栏实例实例-两因素方差分析两因素方差分析从中选择要检验的效应实例实例-两因

9、素方差分析两因素方差分析填加到“作图栏”：即作以原料为横坐标，以响应变量为纵坐标的平面图（以温度区分不同曲线实例实例-两因素方差分析两因素方差分析输出平均值表主效应比较方差齐性检验残差作图实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果输出1)实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果输出2)实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果输出3)实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果输出4)实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果输出5)实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果输出6)实例实例-两因素方差分析两因素方差分析(结果输出结果

10、输出7)课堂练习：课堂练习：LSD 和LSR为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录4 4只昆虫的只昆虫的滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。光照（光照（A）温度（温度（B）250C300C350C5hd-1143138120107101100808389931017610hd-1961037891796183598076616715hd-1798396986071786467587183不同温度

11、及光照条件下某种昆虫滞育天数不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数协方差分析协方差分析例：为研究例：为研究A、B、C三种饲料对猪的催肥三种饲料对猪的催肥效果，用每种饲料喂养效果，用每种饲料喂养8头猪一段时间，测头猪一段时间，测得每头猪的初始重量得每头猪的初始重量(X)与增重与增重(Y)。试分。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否相同析三种饲料对猪的催肥效果是否相同 ？32jX协变量协变量33若不考虑猪的初始重量若不考虑猪的初始重量X对增重对增重Y的影响的影响H0：1=2=3H1：1、2、3不等或不全相等不等或不全相等 =0.05结论：三种不同饲料的催肥效果不同。结论：三种不同饲料的催肥效果不同。34

12、T Te es st ts s o of f B Be et tw we ee en n- -S Su ub bj je ec ct ts s E Ef ff fe ec ct ts sDependent Variable: 增重（kg）1317.583a2658.79211.172.000204057.0421204057.0423460.339.0001317.5832658.79211.172.0001238.3752158.970206613.000242555.95823SourceCorrected ModelIntercept饲料组ErrorTotalCorrected Tota

13、lType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squared = .515 (Adjusted R Squared = .469)a. D De es sc cr ri ip pt ti iv ve e S St ta at ti is st ti ic cs sDependent Variable: 增重（kg）81.75008.34523898.00005.12696896.87508.99901892.208310.5417624饲料组A饲料B饲料C饲料TotalMeanStd. DeviationN3536p如果不考虑猪的初始重量如果不考虑猪的初

14、始重量X对增重对增重Y的影响，的影响，直接直接用方差分析比较各组猪的平均增重，以用方差分析比较各组猪的平均增重，以评价三种饲料对猪的催肥效果，这是不恰当评价三种饲料对猪的催肥效果，这是不恰当的。的。p如何在扣除或均衡这些不可控制因素的影如何在扣除或均衡这些不可控制因素的影响后比较多组均数间的差别，响后比较多组均数间的差别，应用协方差分应用协方差分析。析。p当有当有一个一个协变量时，称协变量时，称一元协方差分析一元协方差分析；当有当有两个或两个两个或两个以上协变量时，称以上协变量时，称多元协方多元协方差分析。差分析。37p协方差分析协方差分析是将是将线性回归线性回归与与方差分析方差分析相结合相结

15、合 的一种分析方法。的一种分析方法。p把对反应变量把对反应变量Y有影响的因素有影响的因素X看作协变量，看作协变量， 建立建立Y对对X的线性回归，利用回归关系把的线性回归，利用回归关系把X值值 化为相等，再进行各组化为相等，再进行各组Y的修正均数间比较。的修正均数间比较。p修正均数是假设各协变量取值固定在其总修正均数是假设各协变量取值固定在其总 均数时的反应变量均数时的反应变量Y的均数。的均数。2)YY( 2)YY( 2)YY( p其实质是从其实质是从Y的总离均差平方和的总离均差平方和 中中 扣除协变量扣除协变量X对对Y的回归平方和的回归平方和 ， 对残差平方和对残差平方和 作进一步分解后再进作

16、进一步分解后再进行方差分析。行方差分析。381.各组协变量各组协变量X与因变量与因变量Y的关系是线性的，的关系是线性的， 即各样本回归系数即各样本回归系数b本身有统计学意义。本身有统计学意义。2.各样本回归系数各样本回归系数b间的差别无统计学意义，间的差别无统计学意义， 即各回归直线平行。即各回归直线平行。3.各组残差呈正态分布。各组残差呈正态分布。4.各协变量均数间的差别不能太大，否则有各协变量均数间的差别不能太大，否则有 的修正均数在回归直线的外推延长线上。的修正均数在回归直线的外推延长线上。 39jX401.1.HH0 0: :各总体增重的修正均数相等各总体增重的修正均数相等 HH1 1

17、: :各总体增重的修正均数不全相等各总体增重的修正均数不全相等 =0.052.计算总的、组间与组内的计算总的、组间与组内的 lXX、lYY、lXY与自由度与自由度1N N)Y)(X(XYl N)Y(Yl N)X(Xl XY2YY2XX 总总:若考虑猪的初始重量若考虑猪的初始重量X对增重对增重Y的影响的影响-协方差分析协方差分析411G N)Y)(X(n)Y)(X(l N)Y(n)Y(l N)X(n)X(l jjjXY2j2jYY2j2jXX 组间组间:42组组间间总总组组间间总总组组间间总总组组间间总总 lll lll lll )(XY)(XYXY)(YY)(YYYY)(XX)(XXXX组内组

18、内:43XX2XYYY2lll)YY( 组组内内总总修修正正均均数数222)YY()YY()YY( 44 3.结论结论 F=31.07F0.01(2,20)=5.85 P0.01 按按 =0.05水准拒绝水准拒绝H0，接受，接受H1， 可以认为扣除初始体重因素的影响后，可以认为扣除初始体重因素的影响后， 三组猪总体增重均数的差别有统计学意义。三组猪总体增重均数的差别有统计学意义。45SPSS软件计算软件计算1.建立数据文件建立数据文件2.绘制散点图与建立直线回归方程绘制散点图与建立直线回归方程3.回归直线平行性假定的检验回归直线平行性假定的检验 初始体重与饲料组无交互作用可认为初始体重与饲料组

19、无交互作用可认为 各组回归直线平行，即初始体重对增各组回归直线平行，即初始体重对增 重的影响在各组间是相同的。重的影响在各组间是相同的。4.修正均数的计算与假设检验修正均数的计算与假设检验46数据输入原则：数据输入原则：一个变量占一列一个变量占一列一个观测对象占一行一个观测对象占一行474849505152观测指标：增重观测指标：增重“处理因素处理因素”：饲料组：饲料组 初始体重初始体重53T Te es st ts s o of f B Be et tw we ee en n- -S Su ub bj je ec ct ts s E Ef ff fe ec ct ts sDependent

20、Variable: 增重（kg）2376.382a5475.27647.640.000706.3851706.38570.805.00024.466212.2331.226.317830.4151830.41583.237.00048.038224.0192.408.118179.576189.976206613.000242555.95823SourceCorrected ModelIntercept饲料组初始重量（kg）饲料组 * 初始重量（kg）ErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squar

21、ed = .930 (Adjusted R Squared = .910)a. 54前面已得出三前面已得出三组斜率相同的组斜率相同的结论，故交互结论，故交互项不需要再引项不需要再引入到模型。入到模型。55作图作图56E E s s t t i i m m a a t t e e s sDependent Variable: 增重（kg）94.959a1.84091.12098.79899.501a1.20396.991102.01182.165a1.96478.06886.263饲料组A饲料B饲料C饲料MeanStd. ErrorLower BoundUpper Bound95% Confid

22、ence IntervalCovariates appearing in the model are evaluated at thefollowing values: 初始重量（kg） = 19.2500.a. T T e e s s t t s s o o f f B B e e t t w w e e e e n n - - S S u u b b j j e e c c t t s s E E f f f f e e c c t t s sDependent Variable: 增重（kg）2328.344a3776.11568.196.000980.4481980.44886.150

23、.000707.2192353.60931.071.0001010.76011010.76088.813.000227.6152011.381206613.000242555.95823SourceCorrected ModelIntercept饲料组初始重量（kg）ErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squared = .911 (Adjusted R Squared = .898)a. 协变量假定均数协变量假定均数57P Pa ai ir rw wi is se e C Co om mp pa

24、 ar ri is so on ns sDependent Variable: 增重（kg）-4.542*2.095.042-8.912-.17312.793*3.409.0015.68219.9044.542*2.095.042.1738.91217.336*2.409.00012.31022.361-12.793*3.409.001-19.904-5.682-17.336*2.409.000-22.361-12.310(J) 饲料组B饲料C饲料A饲料C饲料A饲料B饲料(I) 饲料组A饲料B饲料C饲料MeanDifference(I-J)Std. ErrorSig.aLower Bound

25、Upper Bound95% Confidence Interval forDifferenceaBased on estimated marginal meansThe mean difference is significant at the .05 level.*. Adjustment for multiple comparisons: Least Significant Difference (equivalent to noadjustments).a. 5859例例 ：随机区组设计资料的协方差分析：随机区组设计资料的协方差分析为研究为研究A、B、C三种饲料对增加大白鼠体三种饲料对

26、增加大白鼠体重的影响，有人按随机区组设计将初始体重重的影响，有人按随机区组设计将初始体重相近的相近的36只大白鼠分成只大白鼠分成12个区组，再将每个区组，再将每个区组的个区组的3只大白鼠随机分入只大白鼠随机分入A、B、C三种三种饲料组，但在实验设计时未对大白鼠的进食饲料组，但在实验设计时未对大白鼠的进食量加以限制。三组大白鼠的量加以限制。三组大白鼠的进食量进食量(X)与所与所增体重增体重(Y)如下，问扣除进食量因素的影响如下，问扣除进食量因素的影响后，三种饲料对增加大白鼠体重有无差别后，三种饲料对增加大白鼠体重有无差别 ？60jX61随机区组设计资料方差分析的变异分解随机区组设计资料方差分析的

27、变异分解误误差差区区组组处处理理总总误误差差区区组组处处理理总总 SSSSSSSS总变异处理间变异总变异处理间变异+区组间变异区组间变异+误差误差随机区组设计资料协方差分析的变异分随机区组设计资料协方差分析的变异分解与此相同解与此相同62处理因素处理因素（饲料）（饲料）协变量协变量（进食量）（进食量）区组区组（大白鼠）（大白鼠）反应变量反应变量Y(增重增重)均数均数扣除协变量影响：扣除协变量影响：用线性回归残差平方和表示用线性回归残差平方和表示扣除区组的影响：扣除区组的影响：总变异区组变异处理变异误差总变异区组变异处理变异误差631.H0:各总体增重的修正均数相等各总体增重的修正均数相等 H1

28、:各总体增重的修正均数不全相等各总体增重的修正均数不全相等 =0.052.计算总的、饲料组间、大白鼠间、误计算总的、饲料组间、大白鼠间、误差差 项、饲料项、饲料+误差项的误差项的 lXX、lYY、lXY与与自由度自由度64XX2XYYY2lll)YY( 总变异白鼠间总变异白鼠间误误差差误误差差饲饲料料修修正正均均数数222)YY()YY()YY( 65 3.结论结论: : F=2.190.05 按按 =0.05水准不拒绝水准不拒绝HH0 0，还不能认为扣，还不能认为扣 除进食量因素的影响后，三种饲料对增除进食量因素的影响后，三种饲料对增 加大白鼠体重有差别。加大白鼠体重有差别。664.计算公共

29、回归系数与修正均数计算公共回归系数与修正均数06.59)42.34640.492(4088. 074.118Y C05.75)42.34662.274(4088. 070.45Y B43.67)42.34623.272(4088. 010.37Y A)XX(bYY4088. 0246.36943873.15102llb*C*B*AjCj*jXXXYC 饲饲料料饲饲料料饲饲料料误误差差误误差差未修正前均数：未修正前均数：74.118Y 70.45Y 10.37YCBA 67SPSS软件计算软件计算1.建立数据文件建立数据文件2.绘制散点图与建立直线回归方程绘制散点图与建立直线回归方程3.回归直线

30、平行性假定的检验回归直线平行性假定的检验 进食量与饲料组无交互作用可认为进食量与饲料组无交互作用可认为 各组回归直线平行，即进食量对增各组回归直线平行，即进食量对增 重的影响在各组间是相同的。重的影响在各组间是相同的。4.修正均数的计算与假设检验修正均数的计算与假设检验68697071727374固定因素固定因素随机因素随机因素交互作用交互作用75T Te es st ts s o of f B Be et tw we ee en n- -S Su ub bj je ec ct ts s E Ef ff fe ec ct ts sDependent Variable: 增重891.8241891.8247.752.0122265.66719.695115.038a104.929252.465.462.6372159.30019113.647b3769.56511342.6883.015.0172159.30019113.647b2827.53912827.53924.880.0002159.30019113.647b66.065233.032.291.7512159.30019113.647bSourceHypothesisErrorInterceptHypothesisError