第五章第1讲　平面向量的概念及线性运算

1、抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第1讲平面向量的概念及线性运算讲平面向量的概念及线性运算抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(2)零向量：零向量：_的向量叫做零向量，其方向是的向量叫做零向量，其方向是_的的(3)单位向量：长度等于单位向量：长度等于_的向量叫做单位向的向量叫做单位向量量大小大小方向方向长度长度1向量的有关概念向量的有关概念长度为长度为0任意任意1个单位长度个单位长度抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(4)平行向量：方向平行向量：方向_或或_的的_向量叫做平行向向量叫

2、做平行向量平行向量又称为量平行向量又称为_，任一组平行向量都可以，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：移到同一直线上规定：0与任一向量与任一向量_(5)相等向量：长度相等向量：长度_且方向且方向_的向量叫做相等向的向量叫做相等向量量(6)相反向量：与向量相反向量：与向量a长度长度_且方向且方向_的向量叫做的向量叫做a的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量相同相同相反相反非零非零共线向量共线向量平行平行相等相等相反相反相等相等相同相同抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)向量的加法：向量的加法：定义：求两个向量和的运

3、算，叫做向量的加法定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则：三角形法则；平行四边形法则法则：三角形法则；平行四边形法则运算律：运算律：abba；(ab)ca(bc)(2)向量的减法向量的减法定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法法则：三角形法则法则：三角形法则2向量加法与减法运算向量加法与减法运算抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)实数实数与向量与向量a的积是一个向量，记作的积是一个向量，记作a，它的长度与方，它的长度与方向规定如下：向规定如下：|a|_；当当_时，时，a与与a的方向相同；当的方向相同；当_时，时

4、，a与与a的方向相反；当的方向相反；当0时，时，a0.(2)运算律：设运算律：设、R，则：，则：(a)_；()a_；(ab)_.向量向量b与与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数共线的充要条件是有且只有一个实数，使，使得得_.3向量的数乘运算及其几何意义向量的数乘运算及其几何意义4向量共线定理向量共线定理00|a|()aaaabba抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考向量平行与直线平行的区别向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线向量平行包括向量共线(或重合或重合)的情况，而直线平行不包的情况，而直线平行不包括共线的情况，因而要利用向量平行证明向量所在直

5、线平括共线的情况，因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合行，必须说明这两条直线不重合一个考情分析一个考情分析考查向量的几何表示是本讲的重点，掌握这类问题首先考查向量的几何表示是本讲的重点，掌握这类问题首先要理解向量的加法、减法、实数与向量的积的几何表示，要理解向量的加法、减法、实数与向量的积的几何表示，然后结合平面几何知识把所求的向量用不共线的已知向量然后结合平面几何知识把所求的向量用不共线的已知向量表示出来表示出来【助学助学微博微博】抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点自测考点自测抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘

6、3年高考年高考答案答案抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案1抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考4. 如图，在如图，在ABC中，中，AD，BE，CF分别是分别是BC，CA，AB上的中线上的中线它们交于点它们交于点G，则下列等式中不，则下列等式中不正确的是正确的是_答案答案抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2012镇江调研镇江调研)若平面内两个非零向量若平面内两个非零向量，满足满足|1，且，且与与的夹角为的夹角为135，则，则|的取值范围为的取值范围为_抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个

7、考向揭秘揭秘3年高考年高考若若|ab|a|b|，则，则ab；若若ab，则，则|ab|a|b|；若若|ab|a|b|，则存在实数，则存在实数，使得，使得ba；若存在实数若存在实数，使得，使得ba，则，则|ab|a|b|.考向一考向一考查平面向量的概念考查平面向量的概念【例例1】 (2012浙江卷改编浙江卷改编)设设a，b是两个非零向量，下是两个非零向量，下列正确的是列正确的是_抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析对于，可得对于，可得cosa，b1，因此，因此ab不成不成立；对于，满足立；对于，满足ab时时|ab|a|b|不成立；对于不成立；对于，可得，可得c

8、osa，b1，因此成立，而显然不一定，因此成立，而显然不一定成立成立答案答案 方法总结方法总结 解决这类与平面向量概念有关的命题真假的判解决这类与平面向量概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：模相零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：模相等；方向相同等；方向相同抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若向量若向量a与与b同向，且同向，且|a|b|，则，则ab；(2)若若|a|b|，则，则a与与b的长度相等且方向相同或相反；的长度相等且

9、方向相同或相反；(3)若若|a|b|，且，且a与与b方向相同，则方向相同，则ab；(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量量【训练训练1】 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向二考向二考查平面向量的线性运算考查平面向量的线性运算抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考

10、方法总结方法总结 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解求解抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三考向三共线向量定理及其应用的考查共线向量定理及其应用的考

11、查抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数利系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点2对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌握坐标运算法则，使二者有机结合起来握坐标运算法则，使二者有机结合起来抓住抓住4个考点个考点突破突破

12、3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练3】 设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解kab与与akb共线，共线，存在实数存在实数，使，使kab(akb)，即即(k)a(k1)b.又又a，b是两不共线的非零向量，是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 平面向量的概念和线性运算是解向量问题的基础，平面向量的概念和线性运算是解向量问题的基础，高考以考查线性运算为重点，至多出一道填空题解答题高考以考查线性运算为重点，至多出一道填空题解答

13、题往往以线性运算、数量积为载体，考查三角函数、解三角往往以线性运算、数量积为载体，考查三角函数、解三角形等知识，总体难度不大三角形法则和平行四边形法则形等知识，总体难度不大三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法是向量线性运算的主要方法热点突破热点突破13 高考中向量概念与线性运算的求解方法高考中向量概念与线性运算的求解方法抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考高考经典题组训练高考经典题组训练抓住抓住4个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考ab；ab；|a|b|；abab.正确的序号是正确的序号是_解析解析用几何法，以用几何法，以a，b为邻边构作平行四边形，则由为邻边构作平行四边形，则由|ab|ab|，得这个平行四边形对角线相等，从而它是