141曲边梯形的面积与定积分１

1、1.4.1曲边梯形的面积与定积分教学目标：1) 定积分概念的引入2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 教学重点：定积分概念的引入 教学过程一、复习：导数的概念及应用二、引入新课1 曲边梯形的面积 我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长

2、江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那BACD 长江三峡溢流坝断面一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。假设抛物线方程为 将 等分成n等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用宽为，高为 的矩形代

3、替， 它的面积 所求的总面积我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; sn=sum(1/n)*(1-x.2) bar(x,y,m) sn = 0.7150 clf, n=50; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; sum(1/n)*(1-x.2) bar(x,y,m), axis(0,1,0,1) ans =0.6766 clf, n=100; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; sum(1/n)*(1-x.2) bar(

4、x,y,m) ans = 0.6717S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 由此可知，分割越细，越接近面积准确值 。 再看一个变力做功的问题。F(x)AB设 质点 m 受力 的作用，沿直线由A点运动到B 点，求变力作的功F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，1） 对作分割 当每个小区间的长度都很小时，小区间 上的力 在 上，力F作的功 2）求和 力F在 上作的功分割越细，近似程度，分割无限细时，即分割细度 ，3）取极限 对上面和式取极限，极限值,就是力在 上作的功。从上面两个例子看

5、出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义：（简要定义见教材，这里给出严格定义，供参考）定义 设 是定义在区间上的一个函数，在闭区间上任取n-1个分点 把 a,b 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示, 分割的细度用表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点，作和式 以后简记为 此和式称为 在上属于分割T的积分和（或黎曼和，设是一个确定的数，若对任意总

6、存在某个，使得 上的任何分割T，只要它的细度，属于分割T的所有积分和 都有 则称在上可积，称J为函数在区间上的定积分(或黎曼积分)，记作 其中称为积分函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分 的上限和下限。利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为 变力作功问题可表示为 例 用定义求积分 .注：理解定积分定义要注意以下三点：1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。2）定积分是积分和的极限，积分值与积